2023人教A版高中数学-等式性质与不等式性质讲义

第二章一元二次函数、方程和不等式

2.1等式性质与不等式性质

例I比较(x+2)(x+3)和(x+l)(x+4)的大小.

分析：通过考察这两个多项式的差与0的大小关系，可以得出它们的大小关系.

解：因为

(x+2)(x+3)-(x+l)(x+4)

—+5x+6)-(x2+5x+4)

=2〉0.

所以(x+2)(x+3)>(x+l)(x+4).

例2已知a>h>0,c<0,求证£>£

ah

cc11

分析：要证明一>7,因为c<0.所以可以先证明一<二利用已知。>匕>0和性质3,即

abab

可证明

ah

证明：因为。>匕>0.所以">0,—>0.

ab

十口171

十是。--->b-----,

abab

即L>L

ba

由c<0,得一>一.

ab

练习

1.用不等式或不等式组表示下面的不等关系：

(1)某高速公路规定通过车辆的车货总高度〃(单位:〃?)从地面算起不能超过4/72；

(2%与b的和是非负实数；

(3)如图，在一个面积小于350m2的矩形地基的中心位置上建造一个仓库，仓库的四周

建成绿地，仓库的长L(单位6)大于宽W(单位:祖)的4倍.

L>4W〉0,

【答案】(l)0<//W4;(2)a+4.0;⑶,八

(L+1m0)m(W/+10)<350.

【解析】

【分析】

由题意转化为不等关系即可

【详解】(1)0</?<4；

(2)a+b>0；

(3)由题，则矩形地基的长为(L+10)/«，宽为(W+10)加则

Z>4W>0

’(L+10)(W+10)<350

【点睛】本题考查不等关系在实际中的应用，属于基础题

2.比较(x+3)(x+7)和(x+4)(x+6)的大小.

【答案】(x+3)(x+7)<(x+4)(x+6).

【解析】

【分析】将两式作差即可比较大小.

【详解】解:(x+3)(x+7)-(x+4)(x+6)

=X2+10X+21-(X2+10X+24).

=-3<0

所以(x+3)(x+7)<(x+4)(x+6)

【点睛】本题考查了作差法比较大小，考查了基本运算求解能力，属于基础题.

3.已知。>6,证明。>史二>8.

2

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】

由通过分别考查。与字的差、字与匕的差与0的大小关系，即可证明

22

【详解】证明:因为所以。-。>0乃-。<0,

〜，，a+b2a-(a+h)a-b八

所以a>学，

a+b,(a+b)-2ha-b八

因为-----b=\——-——=----->0,

222

a+b,

所rr以三一>仇

综上,时,a>------>b.

2

【点睛】本题考查利用作差法证明不等式，属于基础题

练习

4.证明不等式性质1,3,4,6.

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】

作差后利用差与0的关系及“同号得正，异号得负''即可判断两式大小，进而证明即可

【详解】证明：

①证明不等式性质1：

a>b,：.a-h>Q,.'.—(a-b^<0,：.b-a<0,:.h<a；

b<a,：.b-a<0,-a)>0,：.a-b>0,:.a>b.

②证明不等式性质3:

a>ba—b>Q,-'\ci+c)—(b+c)=a+c-b—c=a—b>0,a+ob+c

③证明不等式性质4:

(I)-.-a>b,：.a-b>0,Qc>O,.'.ac-hc=(a-b)c>O,：.ac>bc；

(2)-.a>b,：.a-b>0,c<0,ac-bc=(a-h^c<0,ac<be

④证明不等式性质6:

a>b>0,:.a-b>0,Qc>0,.'.ac-bc=(<a-h)c>0,：.ac>bc；

c>d>0,:.c-d>0,b>0,.".bc-bd=h(c-d)>0,：.bc>bd；

.1.ac>be>力d,即ac>bd

【点睛】本题考查作差法证明不等式性质，考查“同号得正，异号得负”的应用

5.用不等号“〉”或填空：

⑴如果〃，。，,〈区那么a-cb-d;

(2)如果a>b>0,c<d<0,那么％bd;

(3)如果a>b>Q，那么_r___;

ab~

(4)如果a>/?>c>0,那么—____y-.

ab

【答案】①.>②.<③.<@.<

【解析】

【分析】

根据不等式的性质依次填写即可

【详解】c<d,：.-c>-d.：a>b,：.a—c>b—d.

(2)Qc<d<0,:.-c>-d>0.-.a>b>0,:.-ac>-be>-bd,ac<bd.

(3)a>b>Qcib>0,—>0,<2,—>h,—>0,—>—>0,

yabababba

>

\ciJ吗(5■

(4)a>">0,所以曲>0,-^-〉0.于是即，>▲，即

abababbaab

Qc>0.

ab

故答案为：(1)>;(2)<；(3)<；(4)<

【点睛】本题考查利用不等式性质判断不等关系，熟练掌握不等式性质是解题关键

习题2.1

复习巩固

6.举出几个现实生活中与不等式有关的例子

【答案】见解析

【解析】

【分析】

举生活中的儿童乘车票价和桥洞通道限高，答案不唯一.

【详解】解：(I)身高1.2~1.5机的儿童随同成年人乘坐火车，享受半价优惠，则享

受半价优惠儿童的身高〃(附的范围.

(2)限高5%的桥洞通道.

【点睛】本题主要考查了生活中的不等关系，属于基础题.

7.某市环保局为增加城市的绿地面积，提出两个投资方案：方案A为一次性投资

500万元；方案8为第一年投资100万元，以后每年投资10万元，列出不等式表

示，，经过〃年之后，方案8的投入不少于方案A的投入”.

【答案】«..41

【解析】

【分析】

根据题意得出经过〃年之后，方案8的总投入的表达式，解不等式

100+10(n-l)..500,即可得出结论.

【详解】方案4一次性投资500万元；

方案3：第一年投资100万元

两年后总投资为(1()0+1。)万元

三年后总投资为(100+10x2)万元

〃年后总投资为U00+105T)］万元

由于〃年之后，方案8的投入不少于方案A的投入，所以100+10(“-1)-500,即

.41.

【点睛】本题主要考查了利用不等式表示不等关系，属于基础题.

8.比较下列各组中两个代数式的大小：

(1)f+5工+6与2*2+5x+9;

(2)。-3)2与(x-2)(x-4)；

(3)当x>l时，/与/一工+1；

(4)Y+y2+1与2(x+y-1).

【答案】(1)X2+5X+6<2%2+5X+9,(2)(X-3)2>(x-2)(x-4).(3)x2>x2-x+1.

(4)x2+y2+l>2(x+j-1).

【解析】

【分析】

利用作差法比较大小即可.

【详解】解：(1)因为(％2+5》+6)-(2/+5》+9)=-/一3<0,所以

x2+5x+6v2/+51+9.

(2)因为(％—3)2-。_2)(%_4)=(X2_6]+9)_(%2_6尤+8)=]>0,所以

(x—3)">(x—2)(x—4).

22

(3)因为/一12_%+1)=%_1>0,所以当%>1时，%>x-x+l.

(4)因为

x2+/+l-2(x+y-l)=x2+/+l-2x-2y+2=(x-l)2+(y-l)2+l>0,所以

x2+y2+l>2(x+y-l).

【点睛】本题主要考查了利用作差法比较大小，属于基础题.

9.一个大于50小于60的两位数，其个位数字比十位数字大2,试用不等式表示上

述关系，并求出这个两位数(用。和b分别表示这个两位数的十位数字和个位数

字).

【答案】57

【解析】

【分析】

根据不等关系得出不等式组，求解即可得出结论.

’50<10。+。<60

b-a-243

【详解】解：由题意知八C，解得4Va<5.

0<q,9711771T1

噫-9

又aeN"a=5

.•2=7,.♦.所求的两位数为57.

【点睛】本题主要考查了利用不等式表示不等关系，属于基础题.

10.已知2<a<3,-2<h<-\,求2。+力的范围.

【答案】2<2a+b<5

【解析】

【分析】根据不等式的性质可得出答案.

【详解】解：2<a<3,

4<2a<6,—2<b<—1,

:.2<2a+h<5.

11.证明：c〈b,b<a=>c<a.

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】根据同向不等式的可加性证明即可.

c<b=>c—b<Q]

[详解]证明：,,与+3-a)<0nc_a<0nc<a.故得证.

b<a=>b-a<0]

综合运用

e

12.已知。>Z?>0,c<d<0,e<0,求证：>t.

a-cb-a

【答案】——>---

a-cb-a

【解析】

【分析】通过c<d<0可知一c>一d>0,从而a-c>〃一d>。，求倒数可知

——<-―-<0,两边同时乘以负数即得结论.

a-cb-a

【详解】Qc<d<0,

-c>一d>0,

又a>b>0,

:.a-c>b-d>0,

11八

---<----<0,

a—cb-d

又，e<0,

ee

---->-----.

a-cb-d

【点睛】本题考查不等式的证明，利用不等式的性质是解决本题的关键，注意解题

方法的积累，属于中档题.

13.下列不等式中成立的是（）

A.若a>方>0,则或2>历2B.若a>Z?>0,贝!It?〉/??

C.若a<。<0,贝！I/<a。</D.若a<b<0,则,<?

ab

【答案】B

【解析】

【分析】A,如c=0时，ad=bc2,所以该选项错误；BCD,利用作差法比较大小

分析得解.

【详解】A.若。>匕>0,则以〉机2错误，如c=o时，ac?=bd,所以该选项错

、口

沃；

B.若。>匕〉0,则。2—从=3+力（4-6）>0,.../>/,所以该选项正确；

C.若夕</?<0,贝ij/一次?二a（a—8）>0,.,.a2,所以该选项错误；

D.若a<h<0,则工一：=々>0,所以该选项错误.

ababab

故选：B

14.证明：圆的面积大于与它具有相同周长的正方形的面积，并据此说明，人们通

常把自来水管的横截面制成圆形，而不是正方形的原因.

【答案】见解析

【解析】

【分析】

设圆的周长与正方形的周长均为X,由圆的面积以及正方形的面积公式求出圆和正

方形的面积，利用作差法证明圆的面积大于正方形的面积，即可得出相同周长的圆

和正方形的截面，圆的截面面积大.

%、2二

【详解】证明，设圆的周长与正方形的周长均为x,则圆的面积E=兀

2万,4万

、22222

正方形的面积，$2=］；

=—S]-Sy-—=—(4-^-)>0,S]>S2.

16124万16164

•••相同材料制成的自来水管，截面为圆的截面面积大，因而出水快.

【点睛】本题主要考查了利用作差法比较大小，属于中档题.

15.己知克糖水中含有a克糖的＞。＞0）,再添加加克糖（机＞0）（假设全部溶

解），糖水变甜了，请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立.

【答案】:〈产，证明见解析

bb+m

【解析】

【分析】

根据添加后的浓度大于之前的浓度，得出:〈户，利用作差法证明不等式

bb+m

产成立即可.

bb+m

【详解】解：6＞。＞0,根＞0时，

bb+m

aa+"?a(b+m)-b(a+ni)ab-vam-ba-bmm(a-b)

证明如下：---------=-------------------=-----------------=--------，

bb+mb(b+m)b(b+m)b(b+rri)

b>a>0,:.a-b<0,b>0,m>0,.\b+m>0,

机一〃)<0。<。+机

b(b+m)bb+m'

【点睛】本题主要考查了利用不等式表示不等关系以及作差法证明不等式，属于中

档题.

拓广探索

16.已知a>匕>0,求证近>扬.

【答案】见解析

【解析】

【分析】

利用作差法证明不等式即可.

【详解】证明：，a>h>0,:.a-h>O,\[a+-Jh>0,

...G启&-沙彳+扬=^^〉0,.6>扬