《微积分》各章习题及详细答案

《微积分》各章习题及详细答案一、填空题x喻-伪7、lim8、设f(x)的定义域就是[0,1],则f(lnx)的定义域就是。10、设a就是非零常数,则lim(x+a)x=。12-x2-2)=。二、选择题1、设f(x),g(x)就是[-l,l]上的偶函数,h(x)就是[-l,l]上的奇函数,则中所给的函数必为奇函(A)f(x)+g(x);(B)f(x)+h(x);(C)f(x)[g(x)+h(x)];(D)f(x)g(x)h(x)。(A)a就是比β高阶的无穷小;(B)a就是比β低阶的无穷小;3(A)-;(B)-;(C)1;(D)0。4、数列极限limn[ln(n-1)-lnn]=。(A)1;(B)-1;(C)伪;(D)不存在但非伪。|x|xxcos-《微积分》各章习题及详细答案(A)连续点;(B)可去间断点;(C)跳跃间断点;(D)振荡间断点。6、以下各项中f(x)与g(x)相同的就是()(A)f(x)=lgx2,g(x)=2lgx;(B)f(x)=x,g(x)=x2;(A)1;(B)-1;(C)0;(D)不存在。1x喻0(A)1;(B)-1;(C)e;(D)e-1。9、f(x)在x的某一去心邻域内有界就是limf(x)存在的()0x喻x0(A)充分必要条件;(B)充分条件;(C)必要条件;(D)既不充分也不必要条件、x喻构1(A)1;(B)2;(C)-;(D)0。2(C)极限limac不存在;(D)极限limbc不存在。x2-1-1xx2-1-1x-1(A)等于2;(B)等于0;(C)为构;(D)不存在但不为构。三、计算解答1、计算下列极限x喻0xtanx33、试确定a,b之值,使xl-4、利用极限存在准则求极限-ax-b=12且x《微积分》各章习题及详细答案nx-n-x5、讨论函数nx-n-xnx-x6、设f(x)在[a,b]上连续,且a<f(x)<b,证明在(a,b)内至少有一点ξ,使f(ξ)=ξ。2、0。2、0。《微积分》各章习题及详细答案一、填空题223、高阶。x喻0xx喻0xx喻0x喻0xx喻0limexxx喻伪x喻x喻0x喻17、-217、-2y1,x12。1223213、013、01111x2x2x2x214、ln2a=e3a00《微积分》各章习题及详细答案32n1、选(D)令F(x)=f(x)g(x)h(x),由f(x),g(x)就是[一l,l]上的偶函数,h(x)就是[一l,l]上的奇函a31xax3故不正确20一x喻0x喻09、选(C)由函数极限的局部有界性定理知,limf(x)存在,则必有x的某一去心邻域使f(x)有界,而0x喻x00x喻x10、选(C)x2x21=11=12x2x2x2《微积分》各章习题及详细答案11、选(D)(A)、(B)显然不对,因为有数列极限的不等式性质只能得出数列“当n充分大时”的情况,不可能得出“对任意n成立”的性质。(C)也明显不对,因为“无穷小·无穷大”就是未定型,极限可能存在也可能不存在。x2一x2一lim──ex一1x11三、计算解答1、计算下列极限:(1)解:lim2nxxlim2nx.=x2x212x喻伪 x-2x喻x喻-x喻x喻1x喻-+1x喻-+1x喻02x2x喻02x2x喻02x2=+=-x喻0-—>a2a>a2a《微积分》各章习题及详细答案=_____a=1:—11-21xkxkk数列{x}有下界,n再证{x}单调减,nn:limxn:limx存在,设limx=A,xxnn:x:limx=a5、解:先求极限得f(x)=limn2xn2x||x喻0+x喻0x喻0+x喻06、解:令F(x)=f(x)一x,则F(x)在[a,b]上连续《微积分》各章习题及详细答案一、填空题,f(3h)f(3),f(3h)f(3)2、f,(0)存在,有f(0)=0,则limf(x)=。6、y=ln[arctanx)],则dy=。-二、单项选择1(D)2。2(D)2。2x喻05、设f(x)可导,则(A)0;(B)=limf2(x5、设f(x)可导,则(A)0;(B)=Δx喻0Δx(D)2f(x).f,(x)。2f(x)(D)2f(x).f,(x)。6、函数f(x)有任意阶导数,且f,(x)=[f(x)]2,则f(n)(x)=。(A)n[f(x)]n+1;(B)n![f(x)]n+1;(C)(n+1)[f(x)]n+1;(D)(n+1)![f(x)]2。7、若f(x)=x2(A)2x;(B)x;(C)4x;(D)4x。8、设函数f(x)在点x处存在f,(x)与f,(x),则f,(x)=f,(x)就是导数f,(x)存在的()(A)必要非充分条件;(B)充分非必要条件;(C)充分必要条件;(D)既非充分又非必要条件。《微积分》各章习题及详细答案(A)xf,(一x2)dx;(B)一2xf,(x2)dx;(C)2f,(x2)dx;(D)2xf,(x2)dx。2三、计算解答1、计算下列各题d2y(50)d2ydd4、一气球从距离观察员500米处离地匀速铅直上升,其速率为140米/分,当此气球上升到500米空中时,5、若函数f(x)对任意实数x,x有f(x+x)=f(x)f(x),且f,(0)=1,证22、f,(0)x喻0xx喻0x0x2]2《微积分》各章习题及详细答案=一2]4.34-242txxxx0x+yysin(xy)t再对x求导,由复合函数求导法得x3t二、选择题5、选(D)lim=[f2(x)],=2f(x)5、选(D)lim=[f2(x)],=2f(x).f,(x)6、选(B)f,,(x)={[f(x)]2},=2f(x).f,(x)=2f3(x)0《微积分》各章习题及详细答案8、选(C)：f(x)在x处可导的充分必要条件就是f(x)在x点的左导数f,(x)与右导数f,(x)都9、选(D)x喻0x12、由函数f(x)在x=0处可导,知函数在x=0处连续f(x)f(0)f(x)f(x)f(0)f(x)f(0) x x又f三、计算解答1、计算下列各题--d2y9t21t3,：d2ysin2dxx2x2x1t3,12.(y2y3y222n492《微积分》各章习题及详细答案—xx,f(x)f(0),f(x)f(0)x喻axa则f,(0)=f,(0),且f(x)在x=0处连续。即limf(x)=limf(x)=f(0)+一x喻0x喻0+x喻0xx喻0xx喻0x对x2y2y0-bxx2x20x2xyx4、设t分钟后气球上升了x米,则tana=—x两边对t求导:5、证明:f,(x)=《微积分》各章习题及详细答案2C4limf(x+h)f(x)=limf(x).f(h)f(x+0)=limf(x).f(h)f(x).f(0)=limf(x)f(h)f(0)=f(x).f,(0)=f(x)2113《微积分》各章习题及详细答案一、填空题1、limxlnx=。2、f(x)=2x-cosx在区间______________单调增。-3x的拐点坐标就是。7、若f(x)在含x的(a,b)(其中a<b)内恒有二阶负的导数,且,则f(x)就是f(x)在(a,b)上的x喻0x喻0x2xtanx-x2的上凸区间就是。x-x-1的单调增区间就是。二、单项选择x喻0x2(A)不存在;(B)0;(C)-1;(D)-2。2(A)单调增凹的;(B)单调减凹的;(C)单调增凸的;(D)单调减凸的。3、f(x)在(a,b)内连续,xe(a,b),f,(x)=f,,(x)=0,则f(x)在x=x处()(A)取得极大值;(B)取得极小值;(C)一定有拐点(x,f(x));(D)可能取得极值,也可能有拐点。4、设f(x)在[a,b]连续在(a,b)内可导,则Ⅰ:在(a,b)内f,(x)=0与Ⅱ:在(a,b)上f(x)=f(a)之(A)Ⅰ就是Ⅱ的充分但非必要条件;(B)Ⅰ就是Ⅱ的必要但非充分条件;(C)Ⅰ就是Ⅱ的充分必要条件;(D)Ⅰ不就是Ⅱ的充分条件,也不就是必要条件。5、设f(x)、g(x)在[a,b]连续可导,f(x)g(x)子0,且f,((A)f(x)g(x)<f(a)g(a);(B)f(x)g(x)<f(b)g(b);f(x)f(a)g(x)g(a)(C)g(x)<g(a);(D)f(x)>f(a)。(A)无实根;(B)有唯一实根;(C)有两个实根;(D)有三个实根。7、已知f(x)在x=0的某个邻域内连续,且f(0)=0,limf(xx喻0(A)不可导;(B)可导,且f'(0)子0;(C)取得极大值;(D)取得极小值。x喻08、设f(x)有二阶连续导数,且f'(0)=0,lim=1,则(x喻0《微积分》各章习题及详细答案(A)f(0)就是f(x)的极大值;(B)f(0)就是f(x)的极小值;(C)(0,f(0))就是曲线y=f(x)的拐点;(D)f(0)不就是f(x)的极值点。9、设a,b为方程f(x)=0的二根,f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,则f'(x)在(a,b)内()10、在区间[-1,1]上满足罗尔定理条件的函数就是()x2f(x)=x2-2x-1。11、函数f(x)在区间(a,b)内可导,则在(a,b)内f'(x)>0就是函数f(x)在(a,b)内单调增加的()0(A)x的某个邻域单调增加;(B)x的某个邻域单调减少;(C)x处取得极小值;(D)x处取得极大值。三、计算解答1、计算下列极限ln(1-x);x喻0x32、证明以下不等式ba。sinx,利用泰勒公式求y(6)(0)。4、试确定常数a与n的一组数,使得当x喻3a3f(b)3a3f(b)b-af(a)6、作半径为r的球的外切正圆锥,问此圆锥的高为何值时,其体积V最小,并求出该体积最小值。7、若f(x)在[0,1]上有三阶导数,且f(0)=0《微积分》各章习题及详细答案一、填空题1xx232m3x32300x喻0xsin2xx喻0x喻0x3x喻03x21-6x喻0x2tanxx喻0x3x喻03x23x喻0x2----二、选择题1、选(C)2、选(B)x喻0x2x喻02xx喻02《微积分》各章习题及详细答案24、选(C)由f(x)在(a,b)内f,(x)三0的充分必要条件就是在(a,b)内f,(x)三C(C为常数),又因为f(x)在[a,b]内连续,所以C=f(a),即在(a,b)上f(x)三f(a)。5、选(C)由f,(x)g(x)<f(x)g,(x)常f,(x)g(x)一f(x)g,(x)<0g(x)g(x)常[f(x)],<0常f(x)单调减少,xe(a,b)g(x)g(x)g(x)f(b)7、选(D)利用极限的保号性可以判定fx喻0(x)的正负号:8、选(B)由极限的保号性:limf"(x)=1>0常f"(x)>0(在x=0的某空心邻域);由此f"(x)>0(在x=0的x喻0域),f'(x)单调增,又由f'(0)=0,f'(x)在x=0由负变正,由极值第一充分条件,x=0就是f(x)9、选(B)由罗尔定理保证至少存在一点ξe(a,b)使f'(ξ)=0。三、计算解答111..21lim11.1xxx喻0x喻0──+3x2x喻0《微积分》各章习题及详细答案1121x喻0+令f(x)=xlnaalnx,则f(x)在[a,b]上连续x：f(x)在[a,b]上单调增加,：f(b)>f(a)π2πx喻0+x喻0+πf,,(0)f(n)(0)f,,(0)f(n)(0)33令F(x)=x3f(x),则F(x)在[a,b]上满足拉格朗日定理的条件《微积分》各章习题及详细答案即b3f(b)a3f(a)=3ξ2f(ξ)+ξ3f,(ξ)即3f(b)6、解:设圆锥的高为h,底面圆半径为R,则有比例关系2h222r22h2r21-4rh)-4rh)312f(x)+x3f'(x)]|=0,可知F'(x)在[0,ξ]上满足罗尔定理,于就是《微积分》各章习题及详细答案一、填空题x2x(x2-3x4、5、t=。9、x23、若F(x)与G(x)都就是f(x)的原函数,则()53(A)x2(2(6、设)211xx《微积分》各章习题及详细答案)2xx+1xxxx8、若f(x)的导函数为sinx,则f(x)的一个原函数就是()9、F'(x)=f(x),f(x)为可导函数,且f(0)=1,又F(x)=xf(x)+xxexdx=()xxxx+C;(C)x2x1xx1、计算下列各题1x2。2x,当04、确定A、B使下式成立5、设f(x)的导数f,(x)的图像为过原点与点(2,0)的抛物线,开口向下,且f(x)的极小值为2,极大值为6,《微积分》各章习题及详细答案tf2dsin2x2xf,(x)(t2(t2222-222二、选择题是错的,故应选D。2、选(B)。由微分的定义知d[f(x)dx]=f(x)dx。3、选(C)。函数f(x)的任意两个原函数之间相差一个常数。4、选(B)两边对22355、选(B)原式=xlnxdx6、选(C)7、选(D)7、选(D)《微积分》各章习题及详细答案xxxxxxxxxxxxxx2x11、选(B)xexdxxxx2xx2xx1、计算下列各题2x2222)222tt222t2dtt22xxx《微积分》各章习题及详细答案xx.exdxxxx.exdxxxxdxx—21414、解:由dx整理得222222123《微积分》各章习题及详细答案lc=2一、填空题π104、1x2________5、0x2+107、设f(x)在(-伪,sinx2f(t)019、0二、单项选择xsin(t-x)dt,则f(x)等于()。02262+2;22tf《微积分》各章习题及详细答案x2x6、设M=(x4-27、设f(x)=x2-x2x则当x喻0时,f(x)就是g(x)的0(A)等价无穷小;(B)同阶但非等价无穷小;(C)高阶无穷小;(D)低阶无穷小。-x-xf(t)dt,则F,(x)等于()(A)-e-xf(e-x)-2xf(x2);(B)-e-xf(e-x)+f(x2);(C)e-xf(e-x)-2xf(x2);(D)e-xf(e-x)+f(x2)。abf(t)abf(t)0012、lim0=()x喻0x(A)1;(B)0;(C)-1;(D)伪。三、计算解答1、计算下列各题1-x2-πx(6)lim0。)内有且仅有两个不同实根。000lnx21)0《微积分》各章习题及详细答案xg0第五单元0定积分习题解答0一、填空题322443243-22、-33)444─(1-1243202021|1-282-312-ln22111 -11、f(x)C,1[f(2b)f(2a)]2f'(x)dxf(x)Cbf(2x)dx令u2x2bf(u)1du1f(u)|2b1[f(2b)f-2《微积分》各章习题及详细答案1、选(C)lim(1+…+1)x0x2-x2-2-2005、选(B)两边求导f,(x)=2f(x)888、选(A)F'(x)=f(e-x)(e-x)'-f(x2)(x2)'=-e-xf(e-x)-2xf(x2)。abf(t),abf(t),bf(t)bf(t)a1f(x)>0、可知F(x)就是严格增的,由介值定理知存在唯一的一个ξ,使10、选(A)首先通过积分换元,把被积函数中的参变量x“解脱”出来:xtf(x2-t2)dt=-1x2f(u)du00,两边取由0到1的积分得x喻0xx喻01三、计算解答1、计算下列各题04xdx-1-1141541-x25=522π3+-22018π3=++《微积分》各章习题及详细答案2360220 00π300x喻0x)1x)x2x2x喻0x喻0x喻02、解:3、解::x[12f(u)duxxf(u)dux2xf(u)du+xf(x)f(x)+6lntdt1-u1uxlnuduxlnuduxlntdtxx24、解:：0令f,(x)=0常驻点x=e在(0,e)内,f,(x)>0,f(x)单调增加、在(e,+伪)内f,(x)<0,f(x)单调减少xxx喻0+xx喻0+xx0《微积分》各章习题及详细答案5、解:证:|xf(t)dttf(t)dt:xg(x)dx00《微积分》各章习题及详细答案一、填空题xx_x与直线x=1所围成平面区域的面积就是。>0)所围成的图形绕x轴旋转而成的立体的l=。2二、选择题lnblnxdx;(B)eblnxdx。a2dπ-2d2d2d21_x2)01_x2)]25、双纽线(x2+y2)2=x2_y2所围成的区域面积可用定积分表示为()