高等数学多元函数的极值及其求法

高等数学多元函数的极值及其求法1第一页，共四十页，编辑于2023年，星期六一、多元函数的极值定义:若函数则称函数在该点取得极大值(极小值).例如:在点(0,0)有极小值;在点(0,0)有极大值;在点(0,0)无极值.极大值和极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.的某邻域内有2第二页，共四十页，编辑于2023年，星期六定理1(必要条件)函数偏导数,证:据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.取得极值,取得极值取得极值且在该点取得极值,则有存在故3第三页，共四十页，编辑于2023年，星期六4第四页，共四十页，编辑于2023年，星期六仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点.驻点极值点问题：如何判定一个驻点是否为极值点？注意：5第五页，共四十页，编辑于2023年，星期六时,具有极值定理2

(充分条件)的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,且令则:1)当A<0时取极大值;A>0时取极小值.2)当3)当时,没有极值.时,不能确定,需另行讨论.若函数6第六页，共四十页，编辑于2023年，星期六7第七页，共四十页，编辑于2023年，星期六例1.求函数解:

第一步求驻点.得驻点:(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2).第二步判别.在点(1,0)处为极小值;解方程组的极值.求二阶偏导数8第八页，共四十页，编辑于2023年，星期六在点(3,0)处不是极值;在点(3,2)处为极大值.在点(1,2)处不是极值;9第九页，共四十页，编辑于2023年，星期六解10第十页，共四十页，编辑于2023年，星期六11第十一页，共四十页，编辑于2023年，星期六12第十二页，共四十页，编辑于2023年，星期六二、最值应用问题函数f在闭域上连续函数f在闭域上可达到最值最值可疑点驻点边界上的最值点特别,当区域内部最值存在,且只有一个极值点P时,为极小值为最小值(大)(大)依据13第十三页，共四十页，编辑于2023年，星期六解如图,14第十四页，共四十页，编辑于2023年，星期六15第十五页，共四十页，编辑于2023年，星期六16第十六页，共四十页，编辑于2023年，星期六解由17第十七页，共四十页，编辑于2023年，星期六18第十八页，共四十页，编辑于2023年，星期六

对于实际问题可根据实际问题的意义判断最大值和最小值的存在性。例5某公司在生产中使用甲、两种原料,已知甲和乙两种原料分别使用x单位和y单位可生产Q单位的产品，且已知甲原料单价为20元/单位，乙原料单价为30元/单位，产品每单位售价为100元，产品固定成本为1000元，求该公司的最大利润。解利润函数为19第十九页，共四十页，编辑于2023年，星期六（利润函数）解方程组求得唯一驻点（5，8）所以在（5，8）取得极大值20第二十页，共四十页，编辑于2023年，星期六无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件.21第二十一页，共四十页，编辑于2023年，星期六三、条件极值极值问题无条件极值:条件极值:条件极值的求法:方法1代入法.求一元函数的无条件极值问题对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制例如,转化22第二十二页，共四十页，编辑于2023年，星期六方法2拉格朗日乘数法.如方法1所述,则问题等价于一元函数可确定隐函数的极值问题,极值点必满足设记例如,故

故有23第二十三页，共四十页，编辑于2023年，星期六引入辅助函数辅助函数F称为拉格朗日(Lagrange)函数.利用拉格极值点必满足则极值点满足:朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.24第二十四页，共四十页，编辑于2023年，星期六推广拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形.设解方程组可得到条件极值的可疑点.例如,求函数下的极值.在条件25第二十五页，共四十页，编辑于2023年，星期六例6抛物面被平面x+y+z=1截成一个椭圆，求这个椭圆到坐标原点的最长与最短距离。解该问题即求函数在条件及x+y+z=1下的最大值与最小值。求偏导得到可能的极值点：26第二十六页，共四十页，编辑于2023年，星期六由该问题的实际意义知该问题确实存在最大值与最小值，其最大值与最小值为27第二十七页，共四十页，编辑于2023年，星期六解则28第二十八页，共四十页，编辑于2023年，星期六例8某公司通过电台和报纸两种方式做销售其产品的广告，根据统计资料分析可知，销售收入R（万元）与电台广告费x（万元）、报纸广告费y（万元）有如下经验公式：R=15+14x+32y-8xy-2x2-10y2（1）在广告费用不限的情况下，求使销售净收入最大的广告策略；（2）若提供的广告费用为1.5万元,求相应的最优广告策略.29第二十九页，共四十页，编辑于2023年，星期六解(1)销售净收入为L=R-(x+y)=15+13x+31y-8xy-2x2-10y2由极值必要条件Lx=13-8y-4x=0,Ly=31-8x-20y=0

得驻点(x0,y0)=(0.75,1.25)由于Lxx=-4<0,Lxy=-8,Lyy=-20得B2-AC=-16<0(x0,y0)=(0.75,1.25)为极大值点,亦最大值点于是,电台广告费为0.75万元,报纸广告费为1.25万元时,销售净收入最大,最大值为39.25万元.30第三十页，共四十页，编辑于2023年，星期六31第三十一页，共四十页，编辑于2023年，星期六例9某企业在两个互相分割的市场上出售同一种产品，两个市场的需求函数分别是P1=18-2Q1,P2=12-Q2总成本为C=2Q+5,Q=Q1+Q2（1）如果该企业实行价格差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量和价格，使该企业获得最大利润；（2）如果该企业实行价格无差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量和其统一的价格，使该企业的总利润最大化；并比较两种价格策略下的总利润大小。

32第三十二页，共四十页，编辑于2023年，星期六解（1）33第三十三页，共四十页，编辑于2023年，星期六（2）34第三十四页，共四十页，编辑于2023年，星期六例10：某公司准备用2百万元的资金，通过两种方式做广告，一种是电台广播，一种是在日报上登广告，根据以王经验，销售收入与广告费用之间有如下关系费和日报广告费，单位均为百万元.试确定广告费使用的最佳方案，使销售金额最大。

解35第三十五页，共四十页，编辑于2023年，星期六且为最大值36第三十六页，共四十页，编辑于2023年，星期六即时有极大值，也就是最优方案。37第三十七页，共四十页，编辑于2023年，星期六例11设产品的产量是劳动力x和原料y的函数为假定每单位劳动力花费100元，每单位原料原料花费200元，现有资金30000元用于生产，应如何按排劳动力与原料，使产量达到最大.解:该问题是在劳动力x与原料y满足条件100x+200y=30000的条件下，求目标函数的最大值。构造函数:38第三十八页，共四十页，编辑于2023年，星期六求可能的极值