高等数学第八章空间曲线

高等数学第八章空间曲线第一页，共二十七页，编辑于2023年，星期六基本练习：

能绘出常见曲面（球面、锥面、柱面，平面等）相交构成的曲线的图形,会求交线在坐标面上的投影。应注意的事项：

绘出常见曲面（球面、锥面、柱面，平面等）相交构成的曲线的图形，求交线在坐标面上的投影（求以交线为准线的投影柱面）是学习多元函数微积分的基础，从本节开始到本章第七节都应注意进行这方面的练习。第二页，共二十七页，编辑于2023年，星期六一、空间曲线的一般方程空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组:机动目录上页下页返回结束

特点：

曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在曲线上，不在曲线上的点不能同时满足两个方程.第三页，共二十七页，编辑于2023年，星期六例如,方程组表示怎样的曲线？

C第四页，共二十七页，编辑于2023年，星期六又如,方程组表示上半球面与圆柱面的交线C.机动目录上页下页返回结束第五页，共二十七页，编辑于2023年，星期六二、空间曲线的参数方程将曲线L上的动点M坐标x,y,z表示成参数t的函数:称它为空间曲线的参数方程.

当给定t时，就得到曲线上的一个点；随着参数的变化，可得到曲线L上全部的点。第六页，共二十七页，编辑于2023年，星期六上升高度例1

如果空间一点M在圆柱面x2+y2=a2上以角速度ω绕z轴旋转，同时又以线速度v沿平行于z轴的正方向上升(其中ω、ν都是常数),那么点M构成的图形叫做螺旋线.试建立其参数方程.解：取时间t为参数，动点从A点出发，经过t，运动到M点，M点在xoy面上的投影为M’

称为螺距

.第七页，共二十七页，编辑于2023年，星期六例2.将下列曲线化为参数方程表示:解:(1)根据第一方程引入参数,(2)将第二方程变形为故所求为得所求为机动目录上页下页返回结束第八页，共二十七页，编辑于2023年，星期六消去变量z后得：曲线关于的投影柱面设空间曲线的一般方程：以此空间曲线L为准线，母线垂直于所投影的坐标面.投影柱面的特征：注意：曲线L上的所有点都在该柱面上。

投影柱面与xoy面的交线称为曲线L在xoy面上的投影曲线，简称投影。三、空间曲线在坐标面上的投影第九页，共二十七页，编辑于2023年，星期六设空间曲线L

的一般方程为消去

z

得投影柱面则L

在xoy面上的投影曲线L´为消去x得L

在yoz

面上的投影曲线方程消去y得L

在zox面上的投影曲线方程机动目录上页下页返回结束第十页，共二十七页，编辑于2023年，星期六如图:投影曲线的研究过程.空间曲线投影曲线投影柱面第十一页，共二十七页，编辑于2023年，星期六（2）确定投影柱面与xoy面的交线在xoy

面上的投影曲线方程的一般步骤（1）消去变量z后得xoy面上的投影柱面：求空间曲线：即为所求投影曲线的方程第十二页，共二十七页，编辑于2023年，星期六例3求在xoy面上的投影曲线方程。机动目录上页下页返回结束解:先从两方程消去z，可得交线C关于xOy面的投影柱面方程（母线平行于z轴）为：故C在xoy面上的投影曲线方程为第十三页，共二十七页，编辑于2023年，星期六例4

求曲线L在三个坐标面上的投影。第十四页，共二十七页，编辑于2023年，星期六例4

求曲线L在三个坐标面上的投影.解（1）消去变量z后得L在面上的投影为第十五页，共二十七页，编辑于2023年，星期六例4

求曲线L在三个坐标面上的投影。解（2）因为曲线在平面上，所以在yoz

面上的投影为线段.（3）同理在xoz

面上的投影也为线段.第十六页，共二十七页，编辑于2023年，星期六例5所围的立体在xoy

面上的投影。求上半球面和锥面C在xoy面上的投影曲线解：半球面和锥面的交线为所求立体在xoy面上的投影为圆域:交线在xoy面上的投影曲线所围之域.机动目录上页下页返回结束注：所求投影区域为:C从方程组中消去z，可得交线C关于xOy面的投影柱面方程为第十七页，共二十七页，编辑于2023年，星期六截线方程为解第十八页，共二十七页，编辑于2023年，星期六截线方程为解第十九页，共二十七页，编辑于2023年，星期六补充:空间立体或曲面在坐标面上的投影.空间立体曲面第二十页，共二十七页，编辑于2023年，星期六空间曲线的一般方程、参数方程．四、小结空间曲线在坐标面上的投影．第二十一页，共二十七页，编辑于2023年，星期六课堂练习求曲线绕z

轴旋转的曲面与平面的交线在

xoy平面的投影曲线方程.解：旋转曲面方程为交线为此曲线向xoy

面的投影柱面方程为此曲线在xoy面上的投影曲线方程为,它与所给平面的机动目录上页下页返回结束第二十二页，共二十七页，编辑于2023年，星期六(2)(1)机动目录上页下页返回结束画出下列曲线的图形：第二十三页，共二十七页，编辑于2023年，星期六(3)机动目录上页下页返回结束第二十四页，共二十七页，编辑于2023年，星期六机动目录上页下页返