高等数学平面曲线的曲率_第1页
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高等数学平面曲线的曲率课件1第一页，共十四页，编辑于2023年，星期六一、弧微分为了得出曲线y=

f(x)的曲率公式,先计算弧长函数s(x)对x的微分,称为弧微分.规定设函数f(x)在区间(a,b)内具有连续导数.基点:(1)曲线的正向与x增大的方向一致;当

的方向与曲线正向一致时,曲率2第二页，共十四页，编辑于2023年，星期六单调增函数.如图，于是弧s的增量为那末曲率3第三页，共十四页，编辑于2023年，星期六取极限,即又得弧微分公式为单调增函数,曲率4第四页，共十四页，编辑于2023年，星期六如将代入公式,得弧微分公式可化为参数方程形式如曲线以极坐标方程给出如曲线为参数方程写到根式内,得曲率5第五页，共十四页，编辑于2023年，星期六是描述曲线局部性质(弯曲程度)的量.弧段弯曲程度越大转角相同弧段越短1.曲率的定义曲率转角越大弯曲程度大二、曲率及其计算公式曲率6第六页，共十四页，编辑于2023年，星期六设曲线C是光滑的，定义曲线C在点M处的曲率为⌒（平均曲率为存在的条件下,曲率7第七页，共十四页，编辑于2023年，星期六2.曲率的计算公式(1)直线的曲率处处为零;(2)圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且半径越小曲率越大.注曲率8第八页，共十四页，编辑于2023年，星期六二阶可导,由公式曲率9第九页，共十四页，编辑于2023年，星期六例解显然,为抛物线的顶点,∴抛物线在顶点处的曲率最大.K最大.曲率10第十页，共十四页，编辑于2023年，星期六定义(circleofcurvature)三、曲率圆与曲率半径使曲率圆.曲率中心,曲率半径.设曲线y=f(x)在点M(x,y)处的曲率为K(K≠0).在点M处的曲线的法线上,在凹的一侧取一点D,以D为圆心,为半径作圆(如图).称此圆为曲线在点M处的曲率11第十一页，共十四页，编辑于2023年，星期六(1)曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的(2)曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点处(3)曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点注曲率半径越小,曲率越大(曲线越弯曲).的曲率越小(曲线越平坦);附近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似).曲率互为倒数,即曲率12第十二页，共十四页，编辑于2023年，星期六基本概念:弧微分,曲率,曲率圆,曲率中心,曲率半径;研究曲线的弯曲程度:曲率;四、小结基本计算:弧微分,曲率;曲线上一点处的曲率圆弧近似代替该点附近曲线弧,使问题简化.曲率13第十三页，共十四页，编辑于2023年，星期六思考题的曲率最小？曲率

t为何值时,曲线求出最小曲率,写出该点的曲率半径

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