河南省商丘市李庄乡第三中学2021年高三数学文测试题含解析

河南省商丘市李庄乡第三中学2021年高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知复数z=x+yi(x,y∈R)满足|z|≤1，则y≥x+1的概率为A． B． C． D．参考答案：C在单位圆上动，故概率为2.函数（其中）的图象如图所示，为了得到的图像，则只要将的图像 （

）

A．向右平移个单位长度

B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度

D．向左平移个单位长度参考答案：A略3.若是的对称轴，则的初相是（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：C略4.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B．C．D．6参考答案：A【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个正方体切去一个三棱锥所得的组合体，进而得到答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个正方体切去一个三棱锥所得的组合体，正方体的体积为：8，三棱锥的体积为：××2×2×1=，故组合体的体积V=8﹣=，故选：A．【点评】本题考查的知识点是棱锥的体积与表面积，棱柱的体积与表面积，简单几何体的三视图，难度中档．5.函数的零点的个数 （

）

A．4

B.3

C．2

D．1参考答案：B略6.在△ABC中，，，△的面积为，则边的值为A．

B．

C．

D．参考答案：C7.若四边形满足：,（），，则该四边形一定（

）A．矩形

B．菱形

C．正方形

D．直角梯形参考答案：B略8.《九章算术》之后，人们学会了用等差数列知识来解决问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现在一月（按30天计），共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（）尺布A．

B．

C．

D．

参考答案：D：设从第2天起每天比前一天多织d尺布m,

则由题意知，解得d=．故选：D．9.

数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和，有且S5＜S6，S6=S7＞S8，则在下列结论中错误的是（

）A．a7=0

B．d＜0

C．S9＞S5

D．S6与S7均为Sn的最大值

参考答案：C10.圆关于直线成轴对称图形，则的取值范围是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.一组数据175,177,174,175,174的方差为_______．参考答案：【分析】先求出它们的平均数，再利用公式求方差.【详解】，所以，填.【点睛】样本数据的方差计算有两种方法：（1）；（2）.12.已知向量．若为实数，，则的值为

．参考答案：，因为，所以，解得。13.若数列{an}是正项数列，且+++…+=n2+n，则++…+=．参考答案：【考点】8H：数列递推式．【分析】+++…+=n2+n，n=1时，a1=4．n≥2时，+++…+=（n﹣1）2+（n﹣1），相减可得：=2n，即an=4n2.==．即可得出．【解答】解：∵+++…+=n2+n，∴n≥2时，+++…+=（n﹣1）2+（n﹣1），∴=n2+n﹣=2n，∴an=4n2．n=1时，=2，可得a1=4，对于上式也成立．∴==．则++…+=+…+==．故答案为：．14.在△OAB中，点C满足，则y－x＝________。参考答案：15.中，、、是角A、B、C的对边，，，则

的最大值为_____________。参考答案：答案：

16.在直角三角形△ABC中，C=，，对平面内的任意一点M，平面内有一点D使得，则=

．参考答案：6【考点】向量在几何中的应用．【分析】据题意，可分别以边CB，CA所在直线为x轴，y轴，建立一平面直角坐标系，得到A（0，3），并设M（x，y），D（x′，y′），B（b，0），这样根据条件即可得到，即得到，进行数量积的坐标运算即可求出的值．【解答】解：根据题意，分别以CB，CA为x，y轴，建立如图所示平面直角坐标系，则：A（0，3），设M（x，y），B（b，0），D（x′，y′）；∴由得：3（x′﹣x，y′﹣y）=（b﹣x，﹣y）+2（﹣x，3﹣y）；∴；∴；∴．故答案为：6．17.在三棱锥P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC，△ABC是边长为6的等边三角形，△PAB是以AB为斜边的等腰直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为_______．参考答案：【分析】在等边三角形中，取的中点，设其中心为，则，再利用勾股定理可得，则为棱锥的外接球球心，利用球的表面积公式可得结果.【详解】如图，在等边三角形中，取的中点，设其中心为，由，得，是以为斜边的等腰角三角形，,又因为平面平面，平面，，，则为棱锥的外接球球心，外接球半径，该三棱锥外接球表面积为，故答案为.【点睛】本题考查主要四面体外接球表面积，考查空间想象能力，是中档题.要求外接球的表面积和体积，关键是求出球的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用（为三棱的长）；②若面（），则（为外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知AB为半圆O的直径，AB=4，C为半圆上一点，过点C作半圆的切线CD，过点A作AD⊥CD于D，交半圆于点E，DE=1．（Ⅰ）求证：AC平分∠BAD；（Ⅱ）求BC的长．参考答案：【考点】圆的切线的性质定理的证明；圆內接多边形的性质与判定．【专题】综合题．【分析】（Ⅰ）连接OC，因为OA=OC，所以∠OAC=∠OCA，再证明OC∥AD，即可证得AC平分∠BAD．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，从而BC=CE，利用ABCE四点共圆，可得∠B=∠CED，从而有，故可求BC的长．【解答】（Ⅰ）证明：连接OC，因为OA=OC，所以∠OAC=∠OCA，因为CD为半圆的切线，所以OC⊥CD，又因为AD⊥CD，所以OC∥AD，所以∠OCA=∠CAD，∠OAC=∠CAD，所以AC平分∠BAD．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，∴BC=CE，连接CE，因为ABCE四点共圆，∠B=∠CED，所以cosB=cos∠CED，所以，所以BC=2．【点评】本题考查圆的切线，考查圆内接四边形，解题的关键是正确运用圆的切线性质及圆内接四边形的性质．19.已知函数f（x）=x2+ax﹣lnx，a∈R．（1）若函数f（x）在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围；（2）令g（x）=f（x）﹣x2，是否存在实数a，当x∈（0，e]（e是自然常数）时，函数g（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．参考答案：【考点】函数单调性的性质．【分析】（1）由函数f（x）在[1，2]上是减函数得在[1，2]上恒成立，即有h（x）=2x2+ax﹣1≤0成立求解．（2）先假设存在实数a，求导得=，a在系数位置对它进行讨论，结合x∈（0，e]分当a≤0时，当时，当时三种情况进行．【解答】解：（1）在[1，2]上恒成立，令h（x）=2x2+ax﹣1，有得，得（2）假设存在实数a，使g（x）=ax﹣lnx（x∈（0，e]）有最小值3，=当a≤0时，g（x）在（0，e]上单调递减，g（x）min=g（e）=ae﹣1=3，（舍去），∴g（x）无最小值．当时，g（x）在上单调递减，在上单调递增∴，a=e2，满足条件．当时，g（x）在（0，e]上单调递减，g（x）min=g（e）=ae﹣1=3，（舍去），∴f（x）无最小值．综上，存在实数a=e2，使得当x∈（0，e]时g（x）有最小值3．20.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，，，为等边三角形，平面底面ABCD，E为AD的中点.（1）求证：平面平面；（2）点F在线段CD上，且，求三棱锥的体积.参考答案：（1）证明见解析；（2）【分析】（1）要证平面平面，只需证明平面，结合已知条件，即可求得答案；（2）过作，垂足为，，结合所给数据，即可求得答案.【详解】（1）为等边三角形，为的中点，平面底面，平面底面底面，平面，由又题意可知为正方形，，又，平面平面，平面平面（2）过作，垂足为【点睛】本题主要考查了求证面面垂直和椎体体积，解题关键是掌握将面面垂直转化为线面垂直方法和椎体体积公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.21.在△ABC中，分别为A，B，C所对的边，且.(1)求角C的大小；(2)若，且△ABC的面积为，求值.参考答案：解：（1）∵∴由正弦定理得………2分∴∵0﹤C﹤180°∴C=60°或120°…………6分（2）∵∴………8分若C=60°，由余弦定理可得=5…………10分若C=120°，可得，无解………12分略22.（10分）如图，A，B，C是⊙O上的三点，BE切⊙O于点B，D是CE与⊙O的交点．若∠BAC=60°，BC=2BE，求证：CD=2ED．参考答案：【考点】：与圆有关