广东省江门市迳头中学2021-2022学年高三数学文期末试题含解析

广东省江门市迳头中学2021-2022学年高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设复数，则（

）A.

B.

C.

D.

参考答案：B略2.设是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是 （）A．若,,,则

B．若,,,则C．若,,,则

D．若,,,则参考答案：D3.将一圆的六个等分点分成两组相间的三点﹐它们所构成的两个正三角形扣除内部六条线段后可以形成一正六角星﹐如图所示的正六角星是以原点O为中心﹐其中﹐分别为原点O到两个顶点的向量﹒若将原点O到正六角星12个顶点的向量﹐都写成为a+b的形式﹐则a+b的最大值为（）A．2 B．3 C．4 D．5参考答案：D【考点】平面向量坐标表示的应用；平面向量的基本定理及其意义．【专题】平面向量及应用．【分析】根据题意，画出图形，结合图形，得出求a+b的最大值时﹐只需考虑图中6个顶点的向量即可，分别求出即得结论．【解答】解：因为想求a+b的最大值﹐所以考虑图中的6个顶点的向量即可；讨论如下﹕（1）因为=﹐所以（a，b）=（1，0）；（2）因为=+=+3=3+﹐所以（a，b）=（3，1）；（3）因为=+=+2=2+﹐所以（a，b）=（2，1）；（4）因为=++=++=++（+2）=3+2﹐所以（a，b）=（3，2）；（5）因为=+=+=+﹐所以（a，b）=（1，1）；（6）因为=﹐所以（a，b）=（0，1）；因此﹐a+b的最大值为3+2=5﹒故选：D﹒【点评】本题考查了平面向量的基本定理的应用问题，也考查了平面向量的坐标表示的应用问题，是基础题目．4.在复平面内，与复数对应的点位于（

）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限参考答案：D【分析】应用复数除法的运算法则，简化复数，最后确定复数对应的点的位置.【详解】,复数对应的点为，它在第四象限，故本题选D.【点睛】本题考查通过复数的除法运算法则，化简后判断复数对应的点的位置.5.王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的()条件.A．充分

B．必要

C．充要

D．既不充分也不必要参考答案：B6.（5分）已知函数f（x）=（a﹣3）x﹣ax3在[﹣1，1]的最小值为﹣3，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]B．[12，+∞）C．[﹣1，12]D．参考答案：D【考点】：函数的最值及其几何意义．【专题】：计算题；函数的性质及应用．【分析】：分析四个选项，可发现C、D选项中a可以取0，故代入a=0可排除A、B；再注意C、D选项，故将代入验证即可；从而得到答案．

解：当a=0时，f（x）=﹣3x，x∈[﹣1，1]，显然满足，故a可以取0，故排除A，B；当时，，，所以f（x）在[﹣1，1]上递减，所以，满足条件，故排除C，故选：D．【点评】：本题考查了函数的最值的求法及排除法的应用，属于中档题．7.已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为（

）A. B. C. D.2参考答案：A试题分析：由双曲线方程可知渐近线为，由渐近线夹角为，可知渐近线倾斜角为，所以考点：双曲线方程及性质8.在边长为2的等边三角形ABC中，点D、E分别是边AC、AB上的点，满足且，将△ADE沿直线DE折到的位置.在翻折过程中，下列结论成立的是（

）A.在边上存在点F，使得在翻折过程中，满足平面B.存在，使得在翻折过程中的某个位置，满足平面平面BCDEC.若，当二面角为直二面角时，D.在翻折过程中，四棱锥体积的最大值记为，的最大值为参考答案：D【分析】利用反证法可证明A、B错误，当且二面角为直二面角时，计算可得，从而C错误，利用体积的计算公式及放缩法可得，从而可求的最大值为，因此D正确.【详解】对于A，假设存在，使得平面，如图1所示，因为平面，平面平面，故，但在平面内，是相交的，故假设错误，即不存在，使得平面，故A错误.对于B，如图2，取的中点分别为，连接，因为为等边三角形，故，因为，故所以均为等边三角形，故，，因为，，，故共线，所以，因为，故平面，而平面，故平面平面，若某个位置，满足平面平面，则在平面的射影在上，也在上，故在平面的射影为，所以，此时，这与矛盾，故B错误.对于C，如图3（仍取的中点分别为，连接）因为，所以为二面角的平面角，因二面角为直二面角，故，所以，而，故平面，因平面，故.因为，所以.在中，，在中，，故C错.对于D，如图4（仍取的中点分别为，连接），作在底面上的射影，则在上.因为，所以且，所以其.又，令，则，当时，；当时，.所以在为增函数，在为减函数，故.故D正确.故选：D.

【点睛】本题考查平面图形的折叠问题、折叠过程的线面、面面关系的判断以及体积最值的计算，解题注意折叠前面变化的量与不变量的量，而线面、面面关系的判断要依据性质定理或判定定理，体积最值的计算首先要有目标函数，其次根据线段长度的大小关系放缩为一元函数，再利用导数求最值，本题为难题.9.若平面向量a=(1,-2)与b的夹角是180o，且|b|=3，则b等于A．(-3,6)

B．(3,-6)

C．(6,-3)

D．(-6,3)参考答案：A10.已知cos（α+）＝，，则sin2α＝（）A．﹣ B． C．﹣ D．参考答案：D，选D.

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（5分）（2012?汕头一模）在△ABC中，如果（a+b+c）?（b+c﹣a）=3bc，则角A等于．参考答案：60°考点：余弦定理．专题：计算题．分析：首先对（a+b+c）?（b+c﹣a）=3bc化简整理得b2+c2+﹣a2=bc代入余弦定理中即可求得cosA，进而求得答案．解答：（a+b+c）?（b+c﹣a）=（b+c）2﹣a2=b2+c2+2bc﹣a2=3bc∴b2+c2+﹣a2=bc∴cosA==∴∠A=60°故答案为60°点评：本题主要考查了余弦定理的应用．解题的关键是求得b2+c2+﹣a2与bc的关系．12.设椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左右焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率等于．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据条件分别求出A，B，D的坐标，利用AD⊥F1B，建立方程关系即可得到结论．【解答】解：连接AF1，∵OD∥AB，O为F1F2的中点，∴D为BF1的中点，又AD⊥BF1，∴|AF1|=|AB|．∴|AF1|=2|AF2|．设|AF2|=n，则|AF1|=2n，|F1F2|=n，∴e=====．【点评】本题主要考查椭圆离心率的求解，根据条件求出对应点的坐标，利用直线垂直与斜率之间的关系是解决本题的关键，运算量较大．为了方便，可以先确定一个参数的值．13.若双曲线的渐近线方程为，则实数的值为_________.参考答案：答案

：14.将正奇数按下表的规律填在5列的数表中，则第20行第3列的数字与第20行第2列数字的和为________.

1719212331292725

……………参考答案：31215.若函数f（x）=x2+ax﹣1是偶函数，则a=

．参考答案：0考点：函数奇偶性的性质．专题：计算题．分析：由偶函数的定义f（﹣x）=f（x）即可求得a的值．解答： 解：∵f（x）=x2+ax﹣1是偶函数，∴f（﹣x）=f（x）．即（﹣x）2﹣ax﹣1=x2+ax﹣1，∴2ax=0，又x不恒为0，∴a=0．故答案为：0．点评：本题考查函数奇偶性的性质，利用偶函数的定义求得2ax=0是关键，属于基础题．16.从轴上一点分别向函数与函数引不是水平方向的切线和，两切线、分别与轴相交于点和点，为坐标原点，记的面积为，的面积为，则的最小值为

．参考答案：17.若直线l：（a＞0，b＞0）经过点（1，2）则直线l在x轴和y轴的截距之和的最小值是

．参考答案：3+2考点：直线的截距式方程．专题：直线与圆．分析：把点（1，1）代入直线方程，得到=1，然后利用a+b=（a+b）（），展开后利用基本不等式求最值．解答： 解：∵直线l：（a＞0，b＞0）经过点（1，2）∴=1，∴a+b=（a+b）（）=3+≥3+2，当且仅当b=a时上式等号成立．∴直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为3+2．故答案为：3+2．点评：本题考查了直线的截距式方程，考查利用基本不等式求最值，是中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在如图所示的平面直角坐标系中，已知点和点，，且，其中为坐标原点.

（1）若，设点为线段上的动点，求的最小值;（2）若，向量，，求的最小值及对应的值.参考答案：略19.如图，以正四棱锥V﹣ABCD的底面中心O为坐标原点建立空间直角坐标系O﹣xyz，其中Ox∥BC，Oy∥AB，E为VC中点，正四棱锥的底面边长为2a，高为h，且有cos＜，＞=．（1）求的值；（2）求二面角B﹣VC﹣D的余弦值．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法．【分析】（1）由题意求得所用点的坐标，得到向量的坐标，再由cos＜，＞=﹣列式求得的值；（2）由（1）得到向量的坐标，进一步得到的坐标，求出平面BVC与平面DVC的一个法向量，求出两法向量所成角的余弦值，可得二面角B﹣VC﹣D的余弦值．【解答】解：（1）由题意，可得B（a，a，0），C（﹣a，a，0），D（﹣a，﹣a，0），V（0，0，h），E（），∴，．故cos＜＞=，又cos＜，＞=﹣，∴，解得：；（2）由，得，．且．设平面BVC的一个法向量为，则，即，取y1=3，得；同理可得平面DVC的一个法向量．∴cos＜＞==．∴二面角B﹣VC﹣D的余弦值为﹣．20.已知函数，，且在处的切线平行于直线．（1）求函数的单调区间；（2）已知函数图象上不同两点，，试比较与的大小．参考答案：解：（1）的定义域为，，因为在处的切线平行于直线，∴，∴，∴，∴，∴时，，是增函数；∴时，，是减函数；所以函数的单调增区间是，单调减区间是．（2）∵，∴，，∴，又，∴，设，，∴在上是增函数．令，不妨设，∴，∴，∴，即，又，∴．21.（本小题满分12分）班主任统计本班50名学生平均每天放学回家后学习时间的数据用图5所示条形图表示．（1）求该班学生每天在家学习时间的平均值；（2）假设学生每天在家学习时间为18时至23时，已知甲每天连续学习2小时，乙每天连续学习3小时，求22时甲、乙都在学习的概率．参考答案：解：（Ⅰ）平均学习时间为.

……………（6分）（Ⅱ）设甲开始学习的时刻为x，乙开始学习的时刻为y，试验的全部结果所构成的区域为Ω={(x，y)|18≤x≤21，18≤y≤20}，面积SΩ=2×3=6.事件A表示“22时甲、乙都在学习”，所构成的区域为A={(x，y)|20≤x≤21，19≤y≤20}，面积为，这是一个几何概型，所以P(A).

………（12分）