天津铁路第一中学高三数学文测试题含解析

天津铁路第一中学高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数f(x)=()x－log2x，正实数a，b，c是公差为负数的等差数列，且满足f（a）?f（b）?f（c）＜0，若实数d是方程f（x）=0的一个解，那么下列四个判断：①d＜a；②d＜b；③d＞c；④d＜c中一定成立的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：A【考点】等差数列的通项公式．【分析】由条件和等差数列的性质判断出a、b、c的大小关系，由题意画出的图象，通过方程的根与图象交点问题，由图象可得答案．【解答】解：∵正实数a，b，c是公差为负数的等差数列，∴0＜a＜b＜c，在坐标系中画出的图象：∵f（a）?f（b）?f（c）＜0，且实数d是方程f（x）=0的一个解，∴由图可得，a＜d＜c一定成立，则①d＜a不正确；②d＜b不一定；③d＞c不正确；④d＜c正确，∴一定成立的个数是1个，故选A．【点评】本题考查等差数列的性质，指数函数、对数函数的图象，以及过方程的根与图象交点问题的转化，考查转化思想、数形结合思想．2.若定义在R上的函数满足，且当时，，则函数在区间上的零点个数为（

）A．4

B．6

C．8

D．10参考答案：C略3.设中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴的圆锥曲线，离心率为，且过点（5,4），则其焦距为A．

B．

C.

D．5参考答案：A由离心率大于1，且,知圆锥曲线为等轴双曲线，∴设双曲线方程为，带入点(5,4)得.∴双曲线方程为，焦距为.4.已知直角中，，则实数的值为（

）A.

B.或

C.

D.参考答案：B5.某算法的程序框图如图所示，则输出S的值是（

）（A）6

（B）24

（C）120

（D）840参考答案：C6.设i是虚数单位，则复数=(

) A．6+5i B．6﹣5i C．﹣6+5i D．﹣6﹣5i参考答案：D考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：把的分子分母同时乘以i，得到，利用虚数单位的性质，得，由此能求出结果．解答： 解：===﹣6﹣5i．故选D．点评：本题考查复数的代数形式的乘除运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．7.一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的最长棱长为A．2B．2C．3D．参考答案：C8.一个几何体的三视图如图所示．已知这个几何体的体积为8，则h=（）A．1 B．2 C．3 D．6参考答案：B【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，代入棱锥体积公式，可构造关于h的方程，解得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，其底面是一个长，宽分别为3，4的矩形，故底面面积S=3×4=12，高为h，故这个几何体的体积为V=×12×h=8，解得：h=2，故选：B．9.已知△ABC中，||=2，||=3，且△ABC的面积为，则∠BAC=（）A．150°B．120°C．60°或120°D．30°或150°参考答案：D考点：三角形的面积公式．专题：解三角形．分析：根据S△ABC=||?||?sin∠BAC，代入求出sin∠BAC=，从而求出答案．解答：解：∵S△ABC=||?||?sin∠BAC，∴=×2×3×sin∠BAC，∴sin∠BAC=，∴∠BAC为30°，或150°，故选：D．点评：本题考查了三角形的面积根式，是一道基础题．10.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S9＝－36，S13＝－104，等比数列{bn}中，b5＝a5，b7＝a7，则b6的值为()

A．4

B．－4

C．±4

D．无法确定参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若曲线存在平行于直线的切线，则a的取值范围为_________．参考答案：【分析】首先根据题意，知切点位置不确定，故需根据切点位置进行讨论。当切点不在直线上时，利用导数的几何意义，设出切点，求得切线斜率，建立等式，由判别式大于等于零，求得的取值范围；当切点在直线上时，由切点既在直线上又在曲线上，列出方程可以求出切点坐标，再检验是否符合题意，综上即可求出的取值范围。【详解】（1）设平行于直线的切线的切点为，，解得；（2）若切点在直线上，则，又，从而，解得或.当时，，此时方程有两个相等的实根，曲线不存在平行于直线的切线；当时，，此时方程有两个不等的实根，曲线仅存在一条平行于直线的切线.综上，的取值范围为。【点睛】本题主要考查利用导数的几何意义求解和切线方程有关的问题以及分类讨论思想的应用。

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题。每道试题考生都必须作答．第22、23题为选考题。考生根据要求作答．12.已知圆C：.直线l过点(0,3)，且与圆C交于A、B两点，，则直线l的方程______.参考答案：或【分析】由圆得到圆心，半径为，再根据圆的弦长公式，得到，再由圆心到直线的距离，列出方程，求得的值，即可求得直线的方程，得到答案.【详解】由题意，圆：，可化为，可得圆心，半径为，设直线的斜率为，则直线的方程为，即，又由圆的弦长公式，可得，即，即，根据圆心到直线的距离为，解得或，所以直线的方程或.【点睛】本题主要考查了圆的方程，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟记直线与圆的位置关系，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.13.已知数列{an}中，a1=1，a2=2，设Sn为数列{an}的前n项和，对于任意的n≥2，n∈N+，Sn+1+Sn﹣1=2（Sn+1）都成立，则Sn=_________．参考答案：14.若向量，，且，则

.参考答案：15.在ΔABC中，3sinA=4sinB=6sinC，则cosB=____________参考答案：试题分析：因为，由正弦定理可得，令，则，由余弦定理可得.考点：正弦定理和余弦定理.16.在中，若则角

．参考答案：17.有以下4个条件：①=；②||=||；③与的方向相反；④与都是单位向量．其中∥的充分不必要条件有

．（填正确的序号）．参考答案：①③【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；平行向量与共线向量．【分析】根据共线向量的定义判断即可．【解答】解：若①=；则∥，但反之不一定成立，若③与的方向相反；则∥，但反之不一定成立，由此知①③为∥的充分不必要条件；故答案为：①③．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.

已知函数．（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（）当时，设,求在区间[1,2]上的最大值．参考答案：(I)当时，

所以.

所以，切点为.

所以曲线在点处的切线方程为即

…6分（）因为，,令,则当时,,,为减函数所以的最大值为当时,时+

0

-↗

极大↘

所以的最大值为当时,时，恒成立，为增函数所以的最大值为

………………13分19.如图所示,在中,的中点为,且,点在的延长线上,且.固定边,在平面内移动顶点,使得圆与边,边的延长线相切,并始终与的延长线相切于点,记顶点的轨迹为曲线.以所在直线为轴,为坐标原点如图所示建立平面直角坐标系.(Ⅰ)求曲线的方程;(Ⅱ)设动直线交曲线于两点,且以为直径的圆经过点,求.参考答案：(Ⅰ)依题意得,设动圆与边的延长线相切于,与边相切于,则所以======,所以点轨迹是以为焦点,长轴长为4的椭圆,且挖去长轴的两个顶点.则曲线的方程为.(Ⅱ)法一:由于曲线要挖去长轴两个顶点,所以直线斜率存在且不为,所以可设直线

,由得,

,同理可得:,;所以,又,所以==令,则且,所以====

,又,所以,所以,所以,所以,所以面积的取值范围为.法二:依题意得直线斜率不为0,且直线不过椭圆的顶点,则可设直线:,且.设,又以为直径的圆经过点,则,所以由得,则=,且=,所以,又==,代入得:,所以,代入得:恒成立所以且.又==;点到直线的距离为=,===

==,(1)当时,;(2)当且时,==,又,当且仅当时取“”,所以,所以,所以,所以,所以;综合(1),(2)知.本题考查椭圆的标准方程,直线与圆锥曲线的位置关系.(Ⅰ)由题意得=,由椭圆的定义得:点轨迹是椭圆,即曲线为.(Ⅱ)设直线,联立方程,套用根与系数的关系求得.20.已知函数f（x）=alnx﹣bx2图象上一点P（2，f（2））处的切线方程为y=﹣3x+2ln2+2．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若方程f（x）+m=0在内有两个不等实根，求m的取值范围（其中e为自然对数的底数）；（Ⅲ）令g（x）=f（x）﹣kx，若g（x）的图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）（其中x1＜x2），AB的中点为C（x0，0），求证：g（x）在x0处的导数g′（x0）≠0．参考答案：解：（Ⅰ）f′（x）==﹣2bx，，f（2）=aln2﹣4b．∴，且aln2﹣4b=﹣6+2ln2+2．解得a=2，b=1．（Ⅱ）f（x）=2lnx﹣x2，令h（x）=f（x）+m=2lnx﹣x2+m，则，令h′（x）=0，得x=1（x=﹣1舍去）．在内，当时，h′（x）＞0，∴h（x）是增函数；当x∈[1，e]时，h′（x）＜0，∴h（x）是减函数，则方程h（x）=0在内有两个不等实根的充要条件是：即1＜m．（Ⅲ）g（x）=2lnx﹣x2﹣kx，．假设结论不成立，则有：①﹣②，得．∴．由④得，∴即，即．⑤令，（0＜t＜1），则＞0．∴u（t）在0＜t＜1上增函数，∴u（t）＜u（1）=0，∴⑤式不成立，与假设矛盾．∴g'（x0）≠0．考点： 函数与方程的综合运用；函数的零点与方程根的关系；利用导数研究函数的单调性．专题： 计算题；证明题；压轴题．分析： （Ⅰ）只需要利用导数的几何意义即可获得两个方程解得两个未知数；（Ⅱ）先要利用导数研究好函数h（x）=f（x）+m=2lnx﹣x2+m，的单调性，结合单调性及在内有两个不等实根通过数形结合易知m满足的关系从而问题获得解答；（Ⅲ）用反证法现将问题转化为有关方程根的形式，在通过研究函数的单调性进而通过最值性找到矛盾即可获得解答．解答： 解：（Ⅰ）f′（x）==﹣2bx，，f（2）=aln2﹣4b．∴，且aln2﹣4b=﹣6+2ln2+2．解得a=2，b=1．（Ⅱ）f（x）=2lnx﹣x2，令h（x）=f（x）+m=2lnx﹣x2+m，则，令h′（x）=0，得x=1（x=﹣1舍去）．在内，当时，h′（x）＞0，∴h（x）是增函数；当x∈[1，e]时，h′（x）＜0，∴h（x）是减函数，则方程h（x）=0在内有两个不等实根的充要条件是：即1＜m．（Ⅲ）g（x）=2lnx﹣x2﹣kx，．假设结论不成立，则有：①﹣②，得．∴．由④得，∴即，即．⑤令，（0＜t＜1），则＞0．∴u（t）在0＜t＜1上增函数，∴u（t）＜u（1）=0，∴⑤式不成立，与假设矛盾．∴g'（x0）≠0．点评： 本题考查的是函数与方程以及导数知识的综合应用问题．在解答的过程当中充分体现了函数与方程的思想、数形结合的思想、问题转化的思想以及反证法．值得同学们体会反思21.（本题满分12分）已知函数（Ⅰ）求的定义域与最小正周期；

（Ⅱ）设，若，求的值.

参考答案：解：（Ⅰ）由

∴函数的定义域是：；…………………2分其最小正周期为。…………………4分（Ⅱ）…………………5分………………6分………………7分∵，∴，………………8分∴，即………………10分∵，∴，即。………………12分略22.（本小题满分13分）

已知：过抛