2022年上海二十一世纪省吾高级中学高三数学文期末试题含解析

2022年上海二十一世纪省吾高级中学高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数的定义域为，值域为，则在平面直角坐标系内，点的运动轨迹与两坐标轴围成的图形的面积为

（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：C2.在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：A【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分母变成一个实数，分子进行复数的乘法运算，整理成复数的标准形式，写出对应点的坐标，看出所在的象限．【解答】解：∵复数==1+i，∴复数对应的点的坐标是（1，1）∴复数在复平面内对应的点位于第一象限，故选A．3.i为虚数单位，则=（）A．﹣i B．﹣1 C．i D．1参考答案：A【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后代入计算得答案．【解答】解：，则=i2007=（i4）501?i3=﹣i．故选：A．4.已知对任意实数k＞1，关于x的不等式在（0，+∞）上恒成立，则a的最大整数值为（）A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3参考答案：B【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】求出函数的导数，得到函数的单调区间，画出函数的大致图象，结合图象求出a的范围，从而确定a的最大整数值即可．【解答】解：令，依题意，对任意k＞1，当x＞0时，y=f（x）图象在直线y=k（x﹣a）下方，，x，f′（x），f（x）的变化如下表：x（0，1）1（1，+∞）f′（x）+0﹣f（x）递增递减y=f（x）的大致图象：则当a=0时，∵f'（0）=2，∴当1＜k＜2时不成立；当a=﹣1时，设y=k0（x+1）与y=f（x）相切于点（x0，f（x0））．则，解得．∴，故成立，∴当a∈Z时，amax=﹣1．故选：B．5.已知F1、F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝()A.B.C.D.参考答案：C略6.函数（

）

A.0

B.1

C.2

D.3参考答案：B7.已知数列{an}中，an=（n∈N），则数列{an}的最大项是

（

）

A．第12项

B．第13项

C．第12项或13项

D．不存在参考答案：C8.已知函数是R上的偶函数，且在区间上是增函数.令，则A．

B.

C.

D.参考答案：A9.新高考方案规定，普通高中学业水平考试分为合格性考试（合格考）和选择性考试（选择考）.其中“选择考”成绩将计入高考总成绩，即“选择考”成绩根据学生考试时的原始卷面分数，由高到低进行排序，评定为、、、、五个等级.某试点高中2018年参加“选择考”总人数是2016年参加“选择考”总人数的2倍，为了更好地分析该校学生“选择考”的水平情况，统计了该校2016年和2018年“选择考”成绩等级结果，得到如下图表：针对该校“选择考”情况，2018年与2016年比较，下列说法正确的是（

）A.获得A等级的人数减少了 B.获得B等级的人数增加了1.5倍C.获得D等级的人数减少了一半 D.获得E等级的人数相同参考答案：B【分析】设出两年参加考试的人数，然后根据图表计算两年等级为A,B,C,D,E的人数，由此判断出正确选项.【详解】设年参加考试人，则年参加考试人，根据图表得出两年各个等级的人数如下图所示：年份ABCDE20162018

由图可知A,C,D选项错误，B选项正确，故本小题选B.【点睛】本小题主要考查图表分析，考查数据分析与处理能力，属于基础题.10.如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是50m，后，就可以计算出A、B两点的距离为A.50

B.

C.

D.参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.欧阳修《卖油翁》中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为4cm的圆面，中间有边长为1cm的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油（油滴不出边界），则油滴整体（油滴是直径为0.2cm的球）正好落入孔中的概率是

．（不作近似计算）参考答案：略12.在△中，已知，，且的面积为，则边长为

．参考答案：7略13.在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+b是曲线y=alnx的切线，则当a＞0时，实数b的最小值是

．参考答案：﹣1【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题；导数的概念及应用．【分析】设出曲线上的一个切点为（x，y），利用导数的几何意义求切线的坐标，可得b=alna﹣a，再求导，求最值即可．【解答】解：设出曲线上的一个切点为（x，y），由y=alnx，得y′=，∵直线y=x+b是曲线y=alnx的切线，∴y′==1，∴x=a，∴切点为（a，alna），代入y=x+b，可得b=alna﹣a，∴b′=lna+1﹣1=0，可得a=1，∴函数b=alna﹣a在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，∴a=1时，b取得最小值﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题主要考查导数的几何意义的应用，利用导数的运算求出切线斜率，根据切线斜率和导数之间的关系建立方程进行求解是解决本题的关键，考查学生的运算能力．14.过年时小明的舅舅在家庭微信群里发了一个10元的红包，红包被随机分配为2.51元，3.32元，1.24元，0.26元，2.67元，共五份.现已知小明与爸爸都各自抢到了一个红包，则两人抢到红包的金额总和不小于4元的概率为__________.参考答案：【分析】分别列出两人各抢一个红包可能的情况，及金额总和不小于4的情况，根据古典概型公式，即可求解。【详解】小明与爸爸各抢到一个红包，总的可能情况有（2.51，3.32）、（2.51，1.24）、（2.51，0.26）、（2.51，2.67）、（3.32，1.24）、（3.32，0.26）、（3.32，2.67）、（1.24，0.26）、（1.24，2.67）、（0.26，2.67）共10种。满足条件，即两人抢到红包的金额总和不小于4元的共有4种：（2.51，3.32）、（2.51，2.67）、（3.32，1.24）、（3.32，2.67）。所以满足条件的概率为，故答案为。【点睛】本题考查古典概型及其概率的计算问题，需认真审题，利用列举法写出满足条件即金额总和不小于4的情况是解题的关键，考查学生推理运算的能力，属基础题。15.已知为奇函数，则___________．参考答案：10

16.给出如下四个命题：

①线性回归方程对应的直线至少经过其样本数据点(x1，yl)，(x2，y2)，…,(xn，yn)中的一个点；

②命题“若a>b，则2a>2b—1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b—1”；

③设[x]表示不大于x的最大整数，则对任意实数x，y都有[x+y]≤[x]+[y]；

④等比数列{an}中，首项a1<0，则数列{an}是递减数列的充要条件是公比q>1．

其中真命题的序号是

．(请把真命题的序号都填上)参考答案：略17.若曲线在点处的切线平行于轴，则

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知的角所对的边分别是，设向量，，（1，1）.（1）若求角B的大小；（2）若，边长，角求的面积．参考答案：解：（1）由得由余弦定理可知：

于是ab=4

所以.略19.（本小题满分13分）某学校实验室有浓度为和的两种溶液.在使用之前需要重新配制溶液，具体操作方法为取浓度为和的两种溶液各分别装入两个容积都为的锥形瓶中，先从瓶中取出溶液放入瓶中，充分混合后，再从瓶中取出溶液放入瓶中，再充分混合.以上两次混合过程完成后算完成一次操作.设在完成第次操作后，瓶中溶液浓度为，瓶中溶液浓度为.（1）请计算，并判定数列是否为等比数列？若是，求出其通项公式；若不是，请说明理由；（2）若要使得两个瓶中的溶液浓度之差小于，则至少要经过几次？参考答案：（1）…………………3分

20.已知椭圆的离心率为，且过点．若点在椭圆上，则点称为点的一个“椭点”．（）求椭圆的标准方程．（）若直线与椭圆相交于，两点，且，两点的“椭点”分别为，，以为直径的圆经过坐标原点，试判断的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．参考答案：（）由，得，又，∴，∴椭圆．∵点在上，∴，得，∴，，∴椭圆的方程为．（）设，，则，，由以为直径的圆经过坐标原点，得，即①，由，消去整理得，由，得．而，，②所以③，将②③代入①得，即．又∵，原点到直线的距离，∴，把代入上式得，故的面积为定值．21.某校从2014-2015学年高二年级4个班中选出18名学生参加全国数学联赛，学生来源人数如表：班别2014-2015学年高二（1）班2014-2015学年高二（2）班2014-2015学年高二（3）班2014-2015学年高二（4）班人数4635（I）从这18名学生中随机选出两名，求两人来自同一个班的概率；（Ⅱ）若要求从18位同学中选出两位同学介绍学习经验，设其中来自2014-2015学年高二（1）班的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ．参考答案：考点：离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式；排列、组合及简单计数问题．专题：计算题．分析：（Ⅰ）“从这18名同学中随机选出两名，两人来自于同一个班”记作事件A，利用排列组合知识，能求出两人来自同一个班的概率P（A）．（Ⅱ）ξ的所有可能取值为0，1，2．分别求出P（ξ=0），P（ξ=1）和P（ξ=2），由此能求出ξ的分布列和Eξ．解答： （本小题满分12分）解：（Ⅰ）“从这18名同学中随机选出两名，两人来自于同一个班”记作事件A，则P（A）==．…（Ⅱ）ξ的所有可能取值为0，1，2．∵P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，∴ξ的分布列为：ξ012P∴Eξ=0×+1×+2×=．

…点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的应用，解题时要认真审题