2023年高考数学一轮复习(新高考)17：平面向量(含详解)

专题17：平面向量

精讲温故知新

1.向量的有关概念

名称定义备注

既有大小又有方向的量;向量的大小叫做向量的长度（或称

向量平面向量是自由向量

摸）

零向量长度为的向量；其方向是任意的记作0

单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为土商

平行向量方向相同或相反的非零向量

。与任一向量壬丘或共线

共线向量方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量

相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小

相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为0

例1：1.（2021•云南昆明•模拟预测（文））下列有关四边形ABCD的形状判断错误的是（）

A.若而=而，则四边形ABCD为平行四边形

B.若而前,则四边形A8CO为梯形

C.若福=反，且|而|=|而则四边形A8C3为菱形

D.若而=反，且AC，80,则四边形ABC。为正方形

2.如图，。是正六边形ABCDEF的中心，且砺=£,OB=b,OC=c.在以4民心2旦尸,。这七个点中任意两点为

起点和终点的向量中，问：

（2通的相反向量有哪些？

（3）与"的模相等的向量有哪些？

举一反三

1.（2022•湖北•鄂州市鄂城区教学研究室高一期中）下列关于零向量的说法正确的是（）A.零向

量没有大小B.零向量没有方向

C.两个反方向向量之和为零向量D.零向量与任何向量都共线

2.（2022•吉林吉林•模拟预测（文））已知向量才=（4,3）,则与向量方垂直的单位向量的坐标为

)

C.

2.向量的线性运算

向量运算定义法则（或几何意义）运算律

(1)交换律：

aa+b=b+a.

加法求两个向量和的运算三角形法则

(2)结合律：

a(a+ti)+c—a+(b+c).

平行四边形法则

求a与6的相反向量一。

减法的和的运算叫做a与6的a-b=a-\-(—6)

a

差三角形法则

（1）14al=I4||a|；

⑵当4>0时，da的方向与a的%(〃a)=(4〃)a：

求实数4与向量a的积的

数乘方向相同;当才<0时，4a的方(H+〃)a=Pa；

运算

向与a的方向相反;当儿=0A(a+6)=Aa+Ab

时，/a=0

例2：1.（2022•湖南•宁乡市教育研究中心模拟预测）化简丽+而+而=（）

A.MPB.MQ

C.NQD.PM

2,如图，已知向量£和向量B，用三角形法则作出£一五+7

举一反三

1.化简：AB-CB+CD=

2.（2022•河南•民权县第一高级中学模拟预测）化简：扣力）-3出+0+2（£-29=.

一1—.2—■

3.（2022•贵州•模拟预测（理））在J3C中，BC=ABD，且AO=AB+^AC,贝lJX=（）

A.2B.C.-|I）,y

3.共线向量定理

向量a（aWO）与6共线，当且仅当有唯一一个实数儿，使6=4a.

例3：2.（2021•山西临汾•一模（理））己知通=2+5很，BC=-2a+8b>CD=Xa-b）,贝U（）

A.A,B,C三点共线B.A,B,〃三点共线

C.A,C,。三点共线D.B,C,。三点共线

举一反三

1.（2022•宁夏•石嘴山市第一中学三模（理））设心B是两个不共线的非零向量，若向量%+2B与谓+£的方

向相反，则k=.

2.（2022•江苏•扬州中学模拟预测）已知向量£=（2,4）,加=（1,〃），若切区，则W=（）

A.y/5B.2C.8I）.4百

4.平面向量基本定理

如果a、e是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数九、（，使a=/心

+42%

其中，不共线的向量8、式叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.

例4：（2020•新疆•克拉玛依市教育研究所三模（理））在△/常中，点〃满足丽=；反，则而=

（）

C.依沙D.依抑

A.—ACH—ABB.—AC—AB

3333

举一反三（2022•河南•模拟预测（理））如图，在QABCD中，M为比的中点，AC=mAM+nBD，则/〃+〃=

)

4

B.C.1D.2

3

5.平面向量的坐标运算

(1)向量加法、减法、数乘及向量的模

设a=(xi,弘)，b—(x2,及)，则a+b=(汨+一，”+8),a-b=(小一呢,力一％)，/2=(。汨，2%),a；=7舄+".

(2)向量坐标的求法

①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.

②设力(汨，yi),B(X2,⑸，则葩=(用—小，姓一%),\'AB\—y]_xz~x\~阡~~yi~y\一5.

例5：(2022•四川-模拟预测(文))已知平面直角坐标系内AABC三个顶点的坐标分别为A(T,1),B内3),C(-6,5),

〃为BC边的中点，则而=()

A.(—3,2)B.(一1,3)C.(—3,5)D.(—2,4)

举一反三

(2022江西萍乡三模(文))已知两向量a=W，4),5=(1,-2)共线，则实数“=.

6.平面向量共线的坐标表示

设a=(x”yi),6=(%,㈤，其中Z>W0.a〃g为％—%%=0.

例6：(2021•甘肃•静宁县第一中学二模(理))已知向量£=(-1,2)出=(2,3-%),若1/区，则欠=

()

A.2B.5C.7D.9

举一反三

2022•湖北武汉•模拟预测)已知向量£=(-1,2),%(1,2022),向量而=£+2^n=2a-kb，若味〃〉则实数

k=______.

7.平面向量的数量积

已知两个非零向量a与6,它们的夹角为，，则数量abcos,叫做a与6的数量积(或内积)，记作a•6=|a||引cos

0.

规定：零向量与任一向量的数量积为

两个非零向量a与5垂直的充要条件是a•6=0,两个非零向量a与6平行的充要条件是a・6=±/a〃6/.

例7：(2022•全国•高考真题(理))已知向量£石满足|£|=1,4|=6,|£-2治=3,则£%=()

A.-2B.-1C.1D.2

举一反三

(2022•全国•高考真题(理))设向量5的夹角的余弦值为：，且|和1,W=3,则(2£+今很=.

8.平面向量数量积的几何意义

数量积a等于a的长度a|与方在a的方向上的投影|引cos«的乘积.

例8：1.(2022•江苏淮安•模拟预测)已知|司=2,分在£上的投影为1,则Z+B在2上的投影为

()

A.-1B.2C.3D.V2

举一反三

（2022•四川•成都七中模拟预测（理））已知同=3烟=4,£与另的夹角为60°,则y-3板在B上的投影为

9.平面向量数量积的重要性质

（l）e•a=a•e=|a|cos0­（2）非零向量a,b,aJLtx^a•b=0；

⑶当a与6同向时，a•b=⑸/卜,当a与6反向时，a•b=-I川bI,a•a=\a\\a\=y]a•a；

a•b

（4）cos9=一同向（5）\a•b\<lallb1.

例9：1.（2022•江西•模拟预测（文））已知平面向量痴的夹角为?，且同=1石=卜1,@,则卜-25|的值为

（）

A.>/5B.4C.V13D.2>/3

2.（2021•北京房山•二模）已知单位向量。石的夹角为60。.与6垂直，则々=.

举一反三

1.（2022•江西师大附中三模（理））已知。,51均为单位向量，且&+必=35,则@9=.

2.（2022•安徽•蚌埠二中模拟预测（理））已知向量£石满足：忖=逐,（£+2®_L晨则£/=.

3.（2021•重庆一中模拟预测）己知向量Z,B满足忖用，W=2,|。-2。卜而，则£与B的夹角为

.10.平面向量数量积满足的运算律

（1）a•b=b•a（交换律）；⑵（久a）•b=几（a•6）=a•（X力）（4为实数）；（3）（a+b）•c=a•c+b•c.

例10：1.（2022•河南开封•模拟预测（理））已知两个单位向量不与备的夹角为若&=4+2&,b=e,+me2,

Ralb，则实数机=（）

4455

A--?B.-C.--D.-

举一反三

（2022•内蒙古•满洲里市教研培训中心模拟预测（理））已知向量入I满足|为=2,aLb,则

a-（a-b）=.

11.平面向量数量积有关性质的坐标表示

设向量3=（X1,71）,6=（如㈤，则a•6=XIX2+M%,由此得到

（1）若a=（x,y）,则a2=产+炉或=^1+月

⑵设力(ayi),4(x2,y-i)，则/、8两点间的距离I[夕I=I荔I=7~X2—X\~~yi—y\~.

⑶设两个非零向量a,b,a=(xi,yi),6=(如④，则a_Lk>xiX2+，y2=0.

例11：(2022•全国•高考真题(文))已知向量£=(2,1)石=(-2,4),则()

A.2B.3C.4D.5

举一反三

(2022•全国•高考真题)已知向量£=(3,4),5=(1,0),3=£+亦，若<£,">=<坂,3>,贝〃=()

A.-6B.一5C.5D.6

12.向量在平面几何中的应用

(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧:

问题类型所用知识公式表示

a//4戾=>小％—才2»=0,

线平行、点共线等问题共线向量定理

其中a=(xi,yi),b—(x2,㈤

aLb<^a•A=0=MX2+力%=0,

垂直问题数量积的运算性质

a=(xi,%)，。=(及，於)，其中a,6为非零向量

a・b

夹角问题数量积的定义e

cos—\a.1引(，为向量a，方的夹角)

长度问题数量积的定义a1=y[a~=y]x+y,其中a=(x,y)

例12：1.(2022•全国•高考真题)在△MC中，点〃在边四上，BD=2DA.^CA=m9CD=nf则而二

()

A.3/n-2nB.一2而+3*C.3庆+2”D.2加+3产

2.(2020•全国•高考真题(文))已知单位向量九坂的夹角为60°,则在下列向量中，与B垂直的是

)

A.a+2bB.2a+bC.a-2bD.2a—b

3.(2021•全国•高考真题(文))已知向量。=(2,5)石=(44),若％ib，则己=

4.(2020•全国•高考真题(理))设编5为单位向量,且|1+刈=1,则伍-B|=

5.(2020•全国•高考真题(理))己知向量a,6满足1的=5,出|=6,ab=-6>则cos<Z,£+B>=()

31R1919

A.B-七CD.

35-435

举一反三

1.（2020•山东•高考真题）已知点A（4,3）,B（Y,2）,点尸在函数y=V-4x-3图象的对称轴上，若丽，丽，则点

P的坐标是（

A.（2,-6）或（2,1）(-2,-6)n!c(-2,1)

C.(2,6)或(2,—1)D.(一2,6)或(-2,-1)

2.（2020•山东•高考真题）已知平行四边形ABCD,点E,尸分别是AB,3c的中点（如图所示），设福=4,

AD=b,贝1J乔等于（

FA.加+5)C.-(fe-a

AEB

3.（2021•北京•高考真题）已知向量&,5忑在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1,则

(a+b)-c=

4.（2022•全国•高考真题（文））已知向量”（九3）,5=（1,加+1）.若打人则加=.

rr

5.（2022•上海•高考真题）在中，NC=5，AC=3C=2,材为然的中点，一在线段47上，则丽.丽的最

小值为_______

精练巩固提升

一、单选题

（2022•山东临沂•三模）向量1=（1,1）,石=（-1,0）,则1与各的夹角为（

___o_______o___

2.（2022•安徽•合肥市第八中学模拟预测（文））在平行四边形屈力中，AE=^AB,CF=^CD,G为功的中

点，贝IJ方存=（）

A.-AD--ABB.-AB--AD

2222

3——1—3—1—.

C.-AD——ABD.-AB——AD

4242

3.（2022•全国•华中师大一附中模拟预测）正六边形/比侬1的边长为2,则（）

A.-6B.-2也C.26D.6

4.（2022•湖北•鄂南高中模拟预测）已知力=（，刈石=（2,6+近在5,则同=（）

A.6B.75C.77D.y/10

5.（2022•山东潍坊•模拟预测）定义：辰同=同命皿，其中6为向量1与B的夹角.若同=2,忖=5,

a-b——6则|等于（）A.6B.—6C.—8D.8

而=6,点/是AC的三等分点（EC=；AC）,贝5）尻=

6.（2022•吉林•三模（理））如图，nA3a）中，AB=a

)

n2r1J'

C.押手D.—a+-b

33

（2022•河南•通许县第一高级中学模拟预测（文））已知不,

7.6是单位向量，a-ex-2e2,b=3e]+e2,若

a±b,则I，4的夹角的余弦值为（）

A.B._i_c.D.

25

8.（2022•江苏•南京市江宁高级中学模拟预测）若3=（2,1）,力=（-1,1）,（2£+B）〃Q+痴），则加的值为

()

A.~B.2C.—2D.-5

9.（2022•江苏•南京师大附中模拟预测）在边长为2的等边中，O为线段3c上的动点，止_1,钻且交A3于

点、E,。/〃且交AC于点八则23E+OF的值为（）

3

A.1B.C.2D.1

22

7T

10.（2022•全国•模拟预测（理））在AA8C中，ZABC=-,。为AA5C的外心，BABO=2,就.丽=4，则

tillUUU

BABC=（）

A.2B.272C.4D.4V2

二、多选题

11.（2020•山东泰安•三模）已知向量2=（2,—1）石=（—3,2）工=（1,1）,则（）

A.al/bB.（”+B）_LCC.a+b=cD.c=5a+3b

12.（2021•辽宁实验中学模拟预测）已知平面向量£=（2,-3）,「㈠㈤，且B的夹角是钝角，则%可以是

（）

A.-1B.4C.-D.2

22

三填空题

13.（2022•河南安阳•模拟预测（文））已知向量£=（-264）,B=[1,COS£）,其中。©（0,叽若办.，贝ij

sin8=.

14.（2022•四川省泸县第四中学模拟预测（文））已知3石是平面内两个相互垂直的单位向量，若向量"满足

（a-c）（^-2c）=0,则口的最大值为

15.（2021•全国•高考真题（理））已知向量£=（3,1）3=（1,0）,"=2+防.^alc，贝必=.

16.（2021•全国•高考真题）已知向量£+区+2=6,忖=1W=H=\a-h+hc+ca=.

专题17：平面向量

精讲温故知新

1.向量的有关概念

名称定义备注

既有大小又有方向的量;向量的大小叫做向量的长度（或称

向量平面向量是自由向量

摸）

零向量长度为的向量；其方向是任意的记作0

单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为土商

平行向量方向相同或相反的非零向量

。与任一向量壬丘或共线

共线向量方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量

相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小

相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为0

例1：1.（2021•云南昆明•模拟预测（文））下列有关四边形ABCD的形状判断错误的是（）

A.若而=而，则四边形ABCD为平行四边形

B.若而前,则四边形A8CO为梯形

C.若福=反，且|而|=|而则四边形A8C3为菱形

D.若而=反，且AC，80,则四边形ABC。为正方形

【答案】D

【解析】

【分析】

根据向量共线、相等的知识确定正确答案.

【详解】

A选项，AD=BC，\fy\ADHBC,AD=BC,所以四边形438为平行四边形，A正确.

B选项，AD=^BC,贝ljAO〃8C,AO=；BC,所以四边形"8为梯形，B正确.

C选项，AB=DC，则4B//DC,AB=OC,四边形MCD是平行四边形；由于|而|=|而所以四边形ABCD是菱形,

C正确.D选项，而=觉，则4。〃80。=8。，所以四边形A8CO为平行四边形；由于腔，陇，所以四边形

A3CO为菱形，D选项错误.

故选：D

2.如图，。是正六边形ABCZ5E尸的中心，且砺=£,OB=b，OC=c.在以AB,C,RE,尸，。这七个点中任意两点为

起点和终点的向量中，问：

(2)区的相反向量有哪些？

(3)与"的模相等的向量有哪些？

【答案】⑴DO,EF,CB

(2)OE,CD,AF,BO

(3)CO,OF,FO,OE,EO,OD,DO,OB,BO,OA,AO,AB,BA,AF,FA,FE,EF,ED,DE,DC,CD,CB,BC

【解析】

【分析】

根据相等向量、相反向量、向量模长的概念，结合图形进行分析求解即可.

(1)由相等向量定义知：与£相等的向量有丽，丽，丽.

(2)由相反向量定义知：B的相反向量有赤，丽，无及旃.

(3)由向量模氏定义知：与"的模相等的向量有

CO,OF,FO,OE,EO,OD,DO,OB,BO,OA,AO,AB,BA,AF,FA,FE,EF,ED,DE,DC,CD,CB,BC.

举一反三

1.(2022•湖北•鄂州市鄂城区教学研究室高一期中)下列关于零向量的说法正确的是()

A.零向量没有大小B.零向量没有方向C.两个反方向向量之和为零向量D.零向量与任何

向量都共线

【答案】D

【解析】

【分析】

根据零向量的定义和性质即可判断.

【详解】

根据零向量的概念可得零向量的长度为零，方向任意，故A、B错误；

两个反方向向量之和不一定为零向量，只有相反向量之和才是零向量，C错误；

零向量与任意向量共线，D正确.

故选：D.

2.（2022•吉林吉林•模拟预测（文））已知向量1=（4,3）,则与向量〃垂直的单位向量的坐标为

（）

【答案】D

【解析】

【分析】

先写出与之垂直的一个向量，然后再求得与此垂直向量平行的单位向量即得.

【详解】

易知B=（3,-4）是与£垂直的向量，忖=5,

所以与B平行的单位向量为?=（/$或-?=（-襄），

故选：D.

2.向量的线性运算

向量运算定义法则（或几何意义）运算律

(1)交换律：

aa+b=b+a.

加法求两个向量和的运算三角形法则

(2)结合律：

a(a+ti)+c=a+(b+c).

平行四边形法则

求a与6的相反向量一6

减法的和的运算叫做a与6的a-b—a-V(—6)

差三角形法则

⑴|4al=|I|a|；

(2)当4>0时，4a的方向与a的A(/Ja)=(A〃)a；

求实数4与向量a的积的

数乘方向相同;当才〈00寸，4a的方(4+〃)a=X&+

运算

向与a的方向祖叵；当1=0X(a+Z?)=^a+入b

时，4a=0

例2：1.(2022•湖南•宁乡市教育研究中心模拟预测)化简丽+而+而=()

A.MPB.MQ

C.NQD.PM

【答案】B

【解析】

【分析】

根据向量加法的运算法则化简即可.

【详解】

MN+NP+PQ=MN+NQ=MQ.

故选：B

2,如图，已知向量£和向量用三角形法则作出£一加十£.

【答案】答案见解析.【解析】

【分析】

根据向量加法和减法法则即可作图.

【详解】

作法：作向量厉=2,向量而=人则向量丽=£—以作向量〃=£,则配=£—B+Z.

B

b

Oa-b+a

c举一反三

1.化简：AB-CB+CD^____.

【答案】AD

【解析】

【分析】

由向量的加减法法则计算.

【详解】

lllftlUL*UUUlL1LUULU1UUUllliu

AB-CB+CD=AB+BC+CD=AD•

故答案为：AD.

2.（2022•河南•民权县第一高级中学模拟预测）化简：;（2£-4-3（；£+@+2（5-2到=

【答案】2-Tisb-【解析】

【分析】

利用平面向量的线性运算求解.

【详解】

解：g（2a-1）-3（1+q+2（&-2石）,

=a--b-a-3b+2a-4b,

2

-15-

=2a----b,

2

-15-

故答案为：2a---h

__1一?—>

3.(2022•贵州•模拟预测(理))在中，BC=ABD,且AD=]A3+]AC,则;1=()

321

A.2B.—C.-D.—

【答案】B

【解析】

【分析】

由题可得而=3(前一砺)二§元，即得.

【详解】

__12»

a；AD=AB+Bb=-AB^-AC,

33

__2__»__.2__.

1H)=-(AC-AB)=-BC,

33

2

故选：B.

3.共线向量定理向量a(a40)与6共线，当且仅当有唯一一个实数人使

例3：2.(2021•山西临汾•一模(理))已知福=2+5很，BC=-2a+Sb,CD=3>(a-b),则()

A.A,B,C三点共线B.A,B,〃三点共线

C.A,C,。三点共线D.B,C,。三点共线

【答案】B

【解析】

【分析】

根据向量的线性运算得到而=2而，从而可以获得答案.

【详解】

BD=BC+CD=-2a+8b+3(a-b)=a+5b=AB,又：而与而有公共点8,：.A,B,〃三点共线.

故选：B.

举一反三

1.(2022•宁夏•石嘴山市第一中学三模(理))设2,B是两个不共线的非零向量，若向量%+2行与谴+占的方

向相反，则k=.

【答案】Y

【解析】

【分析】

根据共线向量定理可得标+25=+历)(4<0),解方程即可得到答案；

【详解】

由题意知，ka+2b=A(8a+kb-)(A<0).

:.(k-SA)a+(2-Alc)-h=6,又痴不共线，

依-82=01

=4=—,k=—4,

[2-Ak=02

故答案为：-4

2.(2022•江苏•扬州中学模拟预测)已知向量2=(2,4),*=(1,«),若书区，则欠=()A.6

B.2C.8D.40

【答案】A

【解析】

【分析】

根据向量平行的条件及向量的摸的坐表示即可求解.

【详解】

由a=(2,4),b=(\,n),a!lb»得2x”-4x1=0,解得〃=2.

所以1=(1,2),所以W=jF+22=#>.

故选：A.

4.平面向量基本定理

如果a、以是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数小、3，使a=30

+42%

其中，不共线的向量8、e,叫做表示这一平面内所有向量的一组基底一

例4：(2020•新疆•克拉玛依市教育研究所三模(理))在△力玄中，点〃满足丽=：反，则而=

()

2—1—4—•1—►1―.2—•]―.1―.

A.-ACH—ABB.—AC—ABC.—ACH—ABD.—AC4—AB

33333322

【答案】C

【解析】

【分析】

作出简图，结合平面向量的线性运算即可得到答案.

【详解】

T-»T-'I->2T

由题意，A。=AB+BD=AB+-BC=AB+-IAC-ABl=-AC+-<4B.

故选：C.

举一反三

(2022•河南•模拟预测(理))如图，在QABCO中，M为优■的中点，AC=mAM+nBD,则卬+。=

()

DC

C

MA.1B-?-1D.2

B

【答案】C

【解析】

【分析】

利用向量的线性运算可求“，”的值.

【详解】

AM=AB+^BC=AB+^Ai5,而丽=亚_丽，

故/=机(而+(而)+〃刖一画=(〃?_〃)而+(5+〃)而，

,[4

m-n=1m=—

___UlBIUUU135

而而=通+而且A8.AD不共线，故{加，=<；^>m+n=~,故选：C.

一+拉=113

2几=一

I3

5.平面向量的坐标运算

(1)向量加法、减法、数乘及向量的模

设a=(xi,yi),6=(x2,悭)，则a+Z>=(汨+—，%+8)，a-6=(凶一爪，％一—)，，a=(。汨，)yj,a—y/^+j^.

(2)向量坐标的求法

①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.

②设4(*1,必)，B(xz,㈤，则4g=(生一小，状一川)，iAB\_x2-X}―M-~~yi—y\~

例5：(2022•四川•模拟预测(文))已知平面直角坐标系内AABC三个顶点的坐标分别为4(-l/),8(2,3),C(Y,5),

〃为8c边的中点，则而=()

A.(-3,2)B.(-1,3)C.(-3,5)D.(-2,4)

【答案】B

【解析】

【分析】

利用中点坐标公式及向量的坐标表示即得.

【详解】

V〃为BC边的中点,A(-Ll),B(2,3),C(-6,5),

£)(-2,4),AD=(-1,3),

故选：B.

举一反三

1.(2022•江西萍乡•三模(文))已知两向量公(，"，4),5=(1,-2)共线，则实数m=.

【答案】-2

【解析】

【分析】

由共线向量的坐标公式代入即可得出答案.

【详解】两向量万=(九4>5=(-2)共线，所以加—(-2)-4=0,〃=-2.

故答案为：-2.

6.平面向量共线的坐标表示

设a=(xi,弘)，6=(x2,⑸，其中=W0.a〃长>小％一也％=0.

例6：(2021•甘肃•静宁县第一中学二模(理))已知向量£=(-1,2)石=(2,3-幻，若加5则尢=

()

A.2B.5C.7D.9

【答案】C

【解析】

【分析】

根据向量平行公式求解即可

【详解】

由题意知一(3—Q-2x2=0,解得4=7,

故选：C.

举一反三

2022•湖北武汉•模拟预测)已知向量£=(-1,2),囚=(1,2022),向量正=£+2以n=2a-kb，若味〃第则实数

k=______.

【答案】-4

【解析】

【分析】

根据题意可知人坂不共线，若片〃"则三/lwR,使得\=公，代入结合向量相等运算.

【详解】

根据题意可知£，B不共线若>〃；?，则3/leR,使得工=需，即a+2匕二*2"-好）=2&!-以/7

f1=22A=—

则可得.一，解得2

[2=一版,一

故答案为：-4.

7.平面向量的数量积

已知两个非零向量a与6,它们的夹角为。，则数量abcos〃叫做a与6的数量积（或内积），记作a•6=|a||引cos

0.

规定：零向量与任一向量的数量积为

两个非零向量a与b垂直的充要条件是a・6=0,两个非零向量a与6平行的充要条件是a・b=土㈤闻.

例7：（2022•全国•高考真题（理））已知向量湎满足|£|=1,|昨"痴-2昨3,则7%（）

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】C

【解析】

【分析】

根据给定