数学课件（新教材人教A版）第六章必刷大题12数列的综合问题

必刷大题12数列的综合

问题第六章数列123456123456设等比数列{an}的公比为q，所以a3＋a4＝3(a1＋a2)，即(a1＋a2)q2＝3(a1＋a2)，所以q2＝3，所以an＝a1qn－1＝

.123456(2)若bn＝log3a2n－1，求数列{bn}的前n项和Tn.由(1)可得a2n－1＝3n－1，所以bn＝log3a2n－1＝n－1，2.(2022·潍坊模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，S3＝a3＋6.(1)求数列{an}的通项公式；123456设数列{an}的公比为q，由a1＝2，S3＝a3＋6，得a1(1＋q＋q2)＝6＋a1q2，解得q＝2，所以an＝2n.(2)设bn＝log2an，求数列{anbn}的前n项和Tn.123456由(1)可得bn＝log2an＝n，所以anbn＝n·2n，Tn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，2Tn＝1×22＋2×23＋…＋(n－1)2n＋n·2n＋1，所以Tn＝(n－1)2n＋1＋2.3.已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝2，b2＝4，an＝2log2bn，n∈N*.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；123456123456设等差数列{an}的公差为d，因为b2＝4，所以a2＝2log2b2＝4，所以d＝a2－a1＝2，所以an＝2＋(n－1)×2＝2n.又an＝2log2bn，即2n＝2log2bn，所以n＝log2bn，所以bn＝2n.123456(2)设数列{an}中不在数列{bn}中的项按从小到大的顺序构成数列{cn}，记数列{cn}的前n项和为Sn，求S100.123456由(1)得bn＝2n＝2·2n－1＝a2n－1，即bn是数列{an}中的第2n－1项.设数列{an}的前n项和为Pn，数列{bn}的前n项和为Qn，因为b7＝a26＝a64，b8＝a27＝a128，所以数列{cn}的前100项是由数列{an}的前107项去掉数列{bn}的前7项后构成的，4.(2023·荆州模拟)设正项数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且满足________.给出下列三个条件：①a3＝4，2lgan＝lgan－1＋lgan＋1(n≥2)；②Sn＝man－1(m∈R)；③2a1＋3a2＋4a3＋…＋(n＋1)an＝kn·2n(k∈R).请从其中任选一个将题目补充完整，并求解以下问题.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.(1)求数列{an}的通项公式；123456123456选条件①时，a3＝4,2lgan＝lgan－1＋lgan＋1(n≥2)，故an＝a1qn－1＝2n－1.选条件②时，Sn＝man－1(m∈R)，当n＝1时，整理得a1＝ma1－1，解得m＝2，故Sn＝2an－1，

(a)当n≥2时，Sn－1＝2an－1－1，

(b)123456所以数列{an}是以1为首项，2为公比的等比数列，所以an＝2n－1.选条件③时，2a1＋3a2＋4a3＋…＋(n＋1)an＝kn·2n(k∈R)，当n＝1时，整理得2a1＝k·21，解得k＝1，故2a1＋3a2＋4a3＋…＋(n＋1)an＝n·2n(k∈R)，

(a)当n≥2时，2a1＋3a2＋4a3＋…＋nan－1＝(n－1)·2n－1，

(b)(a)－(b)得an＝2n－1(首项符合通项)，所以an＝2n－1.1234561234565.(2023·济南模拟)已知{an}是递增的等差数列，a1＋a5＝18，a1，a3，a9分别为等比数列{bn}的前三项.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；设数列{an}的公差为d(d>0)，数列{bn}的公比为q，123456(2)删去数列{bn}中的第ai项(其中i＝1,2,3，…)，将剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{cn}，求数列{cn}的前n项和Sn.123456由题意可知新数列{cn}为b1，b2，b4，b5，…，则当n为偶数时，Sn＝＝

＝

，123456则当n为奇数时，Sn＝Sn－1＋cn＝Sn－1＋

＝Sn－1＋

＝

，综上，Sn＝1234566.(2022·天津)设{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且a1＝b1＝a2－b2＝a3－b3＝1.(1)求{an}与{bn}的通项公式；123456设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则an＝1＋(n－1)d，bn＝qn－1，由a2－b2＝a3－b3＝1可得所以an＝2n－1，bn＝2n－1.123456(2)设{an}的前n项和为Sn，求证：(Sn＋1＋an＋1)bn＝Sn＋1bn＋1－Snbn；因为bn＋1＝2bn≠0，所以要证(Sn＋1＋an＋1)bn＝Sn＋1bn＋1－Snbn，即证(Sn＋1＋an＋1)bn＝Sn＋1·2bn－Snbn，即证Sn＋1＋an＋1＝2Sn＋1－Sn，即证an＋1＝Sn＋1－Sn，而an＋1＝Sn＋1－Sn显然成立，所以(Sn＋1＋an＋1)bn＝Sn＋1·bn＋1－Sn·bn.123456123456因为[a2k－(－1)2k－1a2k－1]b2k－1＋[a2k＋1－(－1)2ka2k]b2k＝(4k－1＋4k－3)×22k－2＋[4k＋1－(4k－1)]×22k－