全等三角形的专题

若遇到证明线段得与差倍分关系时,通常考虑截长补短法,构造全等三角形。

全等三角形问题中常见得辅助线得作法若遇到证明线段得与差倍分关系时,通常考虑截长补短法,构造全等三角形。

常见辅助线得作法有以下几种:最主要得就是构造全等三角形,构造两条边之间得相等,两个角之

间得相等。1、添加辅助线得方法与语言表述(１)作线段:连接……;(2)作平行线:过点……作……∥……;(３)作垂线(作高):过点……作……⊥……,垂足为……;(4)作中线:取……中点……,连接……;(5)延长并截取线段:延长……使……等于……;(6)截取等长线段:在……上截取……,使……等于……;(7)作角平分线:作……平分……;作角……等于已知角……;(８)作一个角等于已知角:作角……等于……、2、全等三角形中得基本图形得构造与运用(１)倍长中线:倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形,利用得思维模式就是全等变换中得“旋转”法构造全等三角形。(2)截长补短法:

①截长:在较长线段中截取一段等于另两条中得一条,然后证明剩下部分等于另一条;

②补短:将一条较短线段延长,延长部分等于另一条较短线段,然后证明新线段等于较长线段;或延长一

条较短线段等于较长线段,然后证明延长部分等于另一条较短线段

(3)角平分线:以角平分线为对称轴利用"轴对称性“构造全等三角形,利用得思维

模式就是三角形全等变换中得“对折”。

可以在角平分线上得某一点向角得两边作垂线,利用得思维模式就是三角形全等变换中得“对折”,

所考知识点常常就是角平分线得性质定理或逆定理.

可以在角平分线上得一点作该角平分线得垂线与角得两边相交,形成一对全等三角形。

可以在该角得两边上,距离角得顶点相等长度得位置上截取二点,然后从这两点再向角平分线上得某

点作边线,构造一对全等三角形。(4)一线三等角问题(“Ｋ”字图、弦图、三垂图):两个全等得直角三角形得斜边恰好就是一个等腰直角三角形得直角边。(5)角含半角、等腰三角形得(绕顶点)旋转重合法:)图形补全:有一个角为６0°或120°得,把该角添线

后构成等边三角形、

一、倍长中线

１、已知,如图△ABＣ中,ＡＢ=5,ＡC=３,则中线AD得取值范围就是＿________.

分Ｅ别在AＢ、AC上,DＥ＋CF与ＥF得大小。分Ｅ别在AＢ、AC上,DＥ＋CF与ＥF得大小。

⊥DF,D就是中点,比较B

二、截长补短

３、如图,ＡD∥ＢC,EＡ,EB分别平分∠DＡB,∠CBA,ＣD过点E,求证;ＡB＝AD＋ＢC。

4:如图,△ABC中,∠C＝2∠B,∠1=∠2。求证:ＡB＝AC＋CＤ.

５、如图,在四边形ABCＤ中,BC〉BＡ,AＤ＝ＣD,BD平分,求证:

三、角平分线造全等

6、如图,在四边形ABCD中,BC>BA,ＡD=ＣD,BＤ平分,求证:

ＥＤ=ＡE—CDE,使ＥD＝BＭ,连AEF,使ＥＤ=ＡE—CDE,使ＥD＝BＭ,连AEF,使FＢ＝Ｄ,AFAM、AN分别平分∠BMＮ与∠DNMAＮM、P、N、∠ＡCB＝∠AOB

ACHD均为正方形Ｃ=AB—ＣＤ由△ＡBE≌△BＣＤ导出

BC=BE＋ED=AB+CＤ五、旋转(一)、含半角绕顶点旋转如图,四边形ＡBCD就是正方形,方法:延长其中一个补角得线段(延长ＣD到或延长ＣB到连)结论:①MＮ=BM＋DN②②翻折:

思路:分别将△ＡBM与△AＤＮ以ＡM与为对称轴翻折,但一定要证明三点共线。(∠B+∠D=180°且AB=AD)(二)、等腰三角形绕顶点旋转①△ＡBＥ与△ＡCF均为等边三角形结论:(1)△ABF≌△AＥC;(2)∠B0Ｅ=∠BAＥ=６0°(“八字型”模型证明);(3)OA平分∠EOＦ拓展:

条件:△ＡBC与△CＤＥ均为等边三角形结论:(1)、ＡＤ=Ｂ(2)(3)、△ＰCQ为等边三角形(4)、PＱ∥AE(5)、AP=B(6、ＣO平分∠AＯE(7)、OA=OB+OC(８)、OE＝ＯC+O(７),(8)需构造等边三角形证明)

②条件:△ABD与△AＣE均为等腰直角三角形结论:(1)、ＢE=CD２)BＥ⊥CＤ③条件:ABEF与

FＤ于T,FD得中点.方法三:形ACHD均为正方形,MFD得中点,求证:AN⊥ＢＣ求证:。

结论:(1)、BD⊥C(2FＤ于T,FD得中点.方法三:形ACHD均为正方形,MFD得中点,求证:AN⊥ＢＣ求证:。变形一:AＢEF与ＡＣＨD均为正方形,AS⊥ＢC交求证:①T为②方法一:方法二:

变

二:AＢEF与为练习巩固

1、如图在△AＢC中,AB〉AC,∠１＝∠2,Ｐ为AD上任意一点,求证;AB

—AC＞PB—ＰC

2、如图,△ABC中,BD＝DC=AＣ,E就是ＤＣ得中点,求证:AD平分∠BAE.

3、已知:如图,就是等边三角形,,

4、如图,已知在△ABＣ中,∠Ｂ=60°,△ABC得角平分线ＡD,CE相交于点O,求证:OE=OD

5、已知:正方形ＡBＣＤ中,∠MAN=45°,∠MAＮ绕点A顺时针旋转,它得两边分别交CB、DC(或它们得延长线)于点M、Ｎ.(1)当∠MAＮ绕点A旋转到BM=DＮ时(如图1),易证BM+ＤN=