静电分布变分证明

静电分布变分证明第一页，共十九页，编辑于2023年，星期五Companyname静电分布问题的变分法完整证明用变分法求解静电分布问题的完整推导：考虑真空中的静止电荷Q，Q距一无限大的导体平板的距离为d，带电量为q。导体板接地，求导体板上的电荷分布。

电荷Q在导体板上的投影为O点。根据对称性，导体板上(见图示1)任意一点处电荷密度仅仅是与它到O点的距离有关，也就是说，在以O为原点的极坐标中，导体板上的电荷密度函数仅仅是r的函数，表示为，本题条件之一为导体板接地，这一条件的意义在于导体上的电荷分布没有约束条件，这在此方法的后续论证中将隐含地用到，用变分法不依靠任何约束条件就可推导出这一体系的全部结论，这正是变分原理作为第一性物理定律的体现。1第二页，共十九页，编辑于2023年，星期五Companyname静电分布问题的变分法完整证明用变分法求解静电分布问题的完整推导：2图1：OQrr+dr第三页，共十九页，编辑于2023年，星期五Companyname静电分布问题的变分法完整证明用变分法求解静电分布问题的完整推导：这一体系的能量由两部分组成：Q与导体板间的势能和导体板的自能1，导体板与Q间的势能3第四页，共十九页，编辑于2023年，星期五Companyname静电分布问题的变分法完整证明用变分法求解静电分布问题的完整推导：2，导体板的自能，用从中心向外堆积电荷的过程来考虑板的自能以O为圆心，半径为R的圆内的电荷，在r=R处的电势U为：先考虑内外圆环半径分别为，的圆环内的电荷在距O为R的点处产生的电势：4（见图示2）第五页，共十九页，编辑于2023年，星期五CompanynameOAB静电分布问题的变分法完整证明用变分法求解静电分布问题的完整推导：5图2：第六页，共十九页，编辑于2023年，星期五Companyname静电分布问题的变分法完整证明用变分法求解静电分布问题的完整推导：于是：

将圆环内的电荷从无限远移来所做的功为：6第七页，共十九页，编辑于2023年，星期五Companyname静电分布问题的变分法完整证明用变分法求解静电分布问题的完整推导：7体系能量：在此回答一个有一定说明性的问题：假定使得取最小值，令，为常数，则：第八页，共十九页，编辑于2023年，星期五Companyname静电分布问题的变分法完整证明用变分法求解静电分布问题的完整推导：8与异号，，而且静电感应过程中电场力做功，所以平衡时能量。。若，则未必就大于0。同理，若,则：未必就小于0。因而这种变换后未必就比小。第九页，共十九页，编辑于2023年，星期五Companyname静电分布问题的变分法完整证明用变分法求解静电分布问题的完整推导：9引入这一段讨论不是要证明什么，而是在于指出使最小的是否存在，对存在性的这种问题目前还得不出结论。定义，即是的泛函，因为电荷分布必然使得系统能量最低，因而由变分原理可得出应满足的泛函方程：，又

，其中：

第十页，共十九页，编辑于2023年，星期五Companyname静电分布问题的变分法完整证明用变分法求解静电分布问题的完整推导：10（0）其中：为计算令，则可以得出：（1）第十一页，共十九页，编辑于2023年，星期五Companyname静电分布问题的变分法完整证明用变分法求解静电分布问题的完整推导：11被积函数在内有两个极点，（1）式右边可进一步转化为：，右边是一个椭圆积分不可能有它的解析表达式因而唯一有效的办法是作一些近似。考虑时的情况，因为（*）对任意成立，当时(见图示3)第十二页，共十九页，编辑于2023年，星期五Companyname静电分布问题的变分法完整证明用变分法求解静电分布问题的完整推导：12图3：第十三页，共十九页，编辑于2023年，星期五Companyname静电分布问题的变分法完整证明用变分法求解静电分布问题的完整推导：13这一步只是数学技巧，作变换，则，于是有，是其一阶极点。（2）第十四页，共十九页，编辑于2023年，星期五Companyname静电分布问题的变分法完整证明用变分法求解静电分布问题的完整推导：14代如（0）有：（3）对于上式作一点说明，（2）式仅对时成立。而包含了此时的情况，按理说此时（2）式不再成立，进而（3）式也就不成立。但足够大，时。因此积分后（2）式的偏差被忽略了。事实上完全可以改写为：。第十五页，共十九页，编辑于2023年，星期五Companyname静电分布问题的变分法完整证明用变分法求解静电分布问题的完整推导：15再得出：仍可以作出与（3）基础上同样的后续处理过程。在这里为了保持变元的连贯仍采用（3）式。因为积分函数与积分上限都与R有关，对（3）式求导的方法不可取。相反，将展开为积分形式。容易证明，在时于是（3）式化为：（5）第十六页，共十九页，编辑于2023年，星期五Companyname静电分布问题的变分法完整证明用变分法求解静电分布问题的完整推导：16由（5）推导完第十七页，共十九页，编辑于2023年，星期五Companyname静电分布问题的变分法完整证明用变分法求解静电分布问题的完整推导：17总结：此式已包括了这个系统的全部信息，比如感应电荷的总电量，使导体板的电势为零等结论。这与用静电性质给出的严格解完全一样，而这是在采取了近似之后得出的结论，令人略感意外，这类情况在其它领域也出现过，比如量子力学。但回顾一下计算的过程会发现，近似是在R足够大的情况下作出的，因而误差仅仅是高阶的，并没有影响到最后的结果。另外用变分