材料力学马红艳材力

第七章

弯曲变形§7.1概述一、研究变形的目的建立刚度条件；利用变形（缓冲，减震）；解静不定问题。例二、挠曲线F轴线挠曲线梁变形后的轴线称为挠曲线。特点：1.

σ

≤σp

,光滑连续，w,w′,

w″连续；2.

平面弯曲变形时为一条平面曲线，w

=

f(x).三、梁的位移挠度：截面形心在垂直于原轴线方向的线位移。 与w

轴正向一致为正。挠度方程w=w

(x

)转角：横截面的角位移。图示坐标系，逆时针 为正。转角方程θ

=θ（x）水平线位移：平行于轴线方向的线位移忽略。F

θxwwx四、挠度与转角的关系小变形

θ

≈tanθ

=

w′q

=

dwdxxwxθθwl五、约束处的挠度和转角（边界条件）x

=

0

, w

=

0

,θ

=

0xBAlxwA

=

0Ax

=

0,

w

=

0x

=

l

, w=

0wB

=

0BwA

=

0θA=0FFaaxdxwx§7.2挠曲线近似微分方程纯弯曲1

=

M322w"[1

+

(w')

]k

=w"

=

–

M[1

+

(w')2

]3

2

EIdθρ横力弯曲r

EI1

M

(

x)=r(

x)

EI挠曲线曲率xwoM

与w″同号正负号的确定挠曲线微分方程EI=

Mw"[1

+

(w')2

]3

2M>

0w″>

0xwoM<

0w″<

0挠曲线微分方程MEIw"

=——挠曲线近似微分方程w"

=

M[1

+

(w')2

]3

2

EI小变形：w′＜＜1，注意事项——适用条件应采用右手坐标系；忽略剪力FS

的影响；小变形，w′<<1，略掉了其平方项；材料服从胡克定律。EIw"

=

M每段弯矩方程积分后出现两个积分常数，须确定它们。§7.3积分法计算梁的变形w"

=

MEIq

=

w'

=

M

dx

+

CEI

M

EIw

=dx

d

x

+

Cx

+

D积分常数的确定1.

边界条件——约束条件挠曲线必须正确地通过约束点。2.

连续条件——相邻挠曲线必须光滑连接。lxwA

=

0Ax

=

0,

w

=

0x

=

l

, w=

0wB

=

0Bx

=

0

, w

=

0

,θ

=

0BAlxwA

=

0θA=0例：写出确定积分常数的条件边界条件:x

=

0,

w1

=0w

′=01x=a+l

,

w2=-⊿lCD连续条件:x

=

a

, w1=w2allxABCDwq例题1已知：EI

=常数求：1.

挠度、转角方程；max

max2.

w

,

θ

;FA=F（↑）,

MA=Fl列弯矩方程M(x)=

-Fl+Fx

（0<x

≤l）列挠曲线近似微分方程并积分 EIw″= M(x)=

-

Fl

+

Fx EIw′=

-Flx

+Fx2/2+CEIw

=

-Flx2/2

+

Fx3/6+C

x+D3.画挠曲线大致形状。解：1.

建立坐标系2.求支反力FAxxlFABwMA6.

确定转角方程和挠曲线方程2EIq

=

w'

=

-

Fx

(2l

-

x)5.

确定积分常数x

=

0

,

w

=

0

—

D=

0x

=0

, w′=0 —

C

=

02EIFl

2x

=

l,qmax(

)=

-

3EI

flx

=

l,Fl

3wmax=

qB

=

-

（）FAxwxl6EIFx

2(3l

-

x)w

=

-7.

求wmax

,

θmaxBFBa2aCA例题″EIw1

=

FAx′

2EIw1

=

FAx

/2＋C1EIw1=

FAx3/6＋C1

x＋D14.列挠曲线近似微分方程并积分3.列弯矩方程M1=FAx

（0≤x

≤a）EIw2

=

FAx

－F(x－a)″EIw2

=

FAx

/2

－F(x－a)

/2

＋C2′

2

2EIw2=

FAx3/6

－F(x－a)3/6＋C2x＋D2M2=

FAx

－F(x－a)（

a

≤x

≤3a

）已知：EI

=常数求：1.

挠度、转角方程；wmax

,

θmax

;画挠曲线大致形状。解：1.

建立坐标系2.求支反力FA=2F/3（↑）,

FB=F/3（↑）xwxxFAFB5.

确定积分常数x

=

3a

,

w2

=

0

——

C1

=

C2

=

－5Fa2/96.

确定转角方程和挠曲线方程EIθ1=Fx2/3－

5Fa2/9EIw1=Fx3/9－

5Fa2x/9（0≤x

≤a）EIθ2=Fx2/3－F(x－a

)2/2－

5Fa2/9EIw2=Fx3/9－F(x－a

)3/6－

5Fa2x/9（

a

≤x

≤3a

）x=

0

, w1=

0

——

D1=

0x=a

, w1′=

w2′—C1

=

C2w1

=

w2

—

D1

=

D2

=

0FBa

2aCAxwxxFAFB)w

FA

C

BxxFA

x

Fa

2a

B7.

求wmax

,

θmax5Fa

2x

=

0,

qmax

=

qA

=

9EI

(¿4Fa

2x

=

3a,

qB

=

9EIw2

'

=

0

q2

=

0Fa

3x

=

1.367a

wmax

=

0.4838

EI

(fl)8.

画挠曲线大致形状可根据约束和弯矩图画出。转角方程和挠曲线方程EIθ1=Fx2/3－

5Fa2/91EIw

=Fx3/9－

5Fa2x/9讨论：1.

积分常数的几何意义x

=

0

,

EIθ1

=

C1

=

－5Fa2/9x

=

0

,

EIw1

=D1=

0FBa

2aCAxwxxFAFBFxwAxlx

=

0

,

EIθ

=

C

=

0x

=

0

,

EIw

=D=

0∴

EIθ0

=

CEI

w

0=D简支梁在挠曲线无拐点时，可用中点挠度代替最大挠度对比,梁的中点D接近最大挠度（误差1％）Fa

3w

D

=

0.4792

EI

(fl)FB2aCAxw1.367a1.5aaFAFB=

0.4838

(fl)EIFa

3wmaxx

=

1.367a,讨论：2.最大挠度的计算wmaxwD讨论：3.画挠曲线大致形状依据约束条件；载荷情况，作出M图；凹凸情况——由w″即M的正负号决定M>0,凹；

M<0,凸;一段M=0,直线；一点M=0,拐点光滑连续特性。FlMFlFbaABCMlFablF直线MlllMMABCD画挠曲线大致形状