2023年新高考数学适应试题及答案

数学

本试题卷共6页，共22题.满分150分，考试用时120分钟

注意事项：

1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写

在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的

位置贴好条形码。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。

1.若集合4={xeN*|x是4与10的公倍数},5={xeR|x2<1000},则4口8=

A.0B.{-20,20)C.{20}D.{20,30)

2,若复数z满足(z-3)(z—5)+2=0,则zN=

A.4B.VF7C.16D.17

--1A.1cosa

3.已知tana=—,则---------=

cos(a+—)

A.-2V2B.-V2C.V2D.2V2

4.红薯于1593年被商人陈振龙引入中国，也叫甘薯、番薯等.红薯耐旱耐脊、产量丰富,

曾于数次大饥荒年间成为不少人的“救命粮食”，现因其生食多汁、熟食如蜜，成为

人们喜爱的美食甜点.小泽和弟弟在网红一条街买了一根香气扑鼻的烤红薯，准备分

着吃，如图，该红薯可近似看作三部分：左边部分是半径为7?的半球；中间部分是底

面半径为五、高为3R的圆柱；右边部分是底面半径为R、高为R的圆锥.若小泽准备

从中间部分的甲、乙、丙、丁四个位置选择一处将红薯掰成两块，且使得两块的体积

高三年级数学试卷第1页共6页

最接近，则小泽选择的位置是

C.丙D.T

5.在\ABC中,45=2,BC=l,/ABC),若点加满足两=2就，则

3

AM-AC=

14

A.-D.-

23

6.c=e,则

1110

A.b<c<aB.a<b<cC.c<b<aD.a<c<b

7.已知随机事件N,B,。满足0〈尸(4)<1,O<P(S)<1,O<P(C)<1,则下列

说法错误的是

A.不可能事件0与事件4互斥

B.必然事件Q与事件A相互独立

C.P(A\C)=P(AB|C)+P(AB|C)

D.若P(*B)=P(N|8),则尸(幺)=尸(彳)=；

x2V2

8.己知力是椭圆E:-y+2=l(a>b>0)的上顶点，点B,C是E上异于4的两点,

abT

AJ8C是以4为直角顶点的等腰直角三角形.若满足条件的A4SC有且仅有1个，则

椭圆£离心率的取值范围是

/

A[O,理B.0,D.0,

高三年级数学试卷第2页共6页

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多

项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

(1Y

9.已知数列{4}的前〃项和S“=--b则下列说法正确的有

<2/

A.{S.}是递减数列B.{an}是等比数列C,an<QD.S〃+牝=1

且8七=工3。，动点F在线段

10.在正方体ABCD—4B]CQi中，点后在线段BD上,

2

上(含端点)，则下列说法正确的有

A.三棱锥A-ADF的体积为定值

B.若直线EFH平面AB{D},则CF=(CB]

C.不存在点F使平面DEF1平面BB&C

D.存在点F使直线EF与平面/8C。所成角为二

3

11.已知点P是曲线C:—+y24龙|+|川上的动点，点。是直线y=x+3上的动点,

点。是坐标原点，则下列说法正确的有

A.原点在曲线C上

B.曲线C围成的图形的面积为兀+1

C.过。(0,3)至多可以作出4条直线与曲线相切

D.满足P到直线y=x+3的距离为孚的点有3个

12.声音中包含着正弦函数，周期函数产生了美妙的音乐.若我们听到的声音的函数是

/(%)=gsin2x+；sin4x+\sin6x,则

A./(x)的最小正周期是71B./(、)是f(x)的最小值

C.X=A兀，左GZ是/(X)的零点D./(x)在(把，兀)存在极值

高三年级数学试卷第3页共6页

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若平面上有7条直线，其中没有两条平行，也没有三条交于一点，则共有

个交点(用数字作答).

14.若圆，+必+6%=0与圆A；?+/—2/町—16=0外离，则实数m的取值范围

是一.

15.已知(1+4)”的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列，则正

整数"二.

16.某校采用分层随机抽样采集了高一、高二、高三年级学生的身高情况，部分调查数据

如下：

项目样本量样本平均数样本方差

高一100167120

高二100170150

高三100173150

则总的样本方差$2=.

四、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(10分)

已知a,b,c分别为AASC的内角力，B,。的对边，且cosC+百sinC=*.

a

(1)求4；

(2)若a=2,A43C的面积为G，求b,c.

高三年级数学试卷第4页共6页

18.(12分)

已知数列缶“｝满足%=1,a2=l,见一4_】=巩_2523,〃wN*),S“表示数列

｛勺｝的前〃项和.

⑴求证：%=凡_2+1；

(2)求使得乌--1之一匚成立的正整数左(左23,keN*)的最大值.

19.(12分)

“惟楚有材”牌坊地处明清贡院旧址，象征着荆楚仕子朱衣点额的辉煌盛况和江城文

脉的源远流长.某学生随机统计了来此参观的100名游客，其中40名女性中有30名

在“惟楚有材”牌坊下拍照，60名男性中有20名在“惟楚有材”牌坊下拍照.

(1)用女性拍照的频率估计概率，若再来4名女性(是否拍照互相之间不影响)中

至少有2名在“惟楚有材”牌坊下拍照的概率；

(2)根据小概率值。=0.001的独立性检验，分析游客在“惟楚有材”牌坊下拍照是

否与性别有关.

2

皿“2n(ad-bc)廿4於」

附：K---------------------------,其中k=Q+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(6+d)

2

P(K>k0)0.1000.0500.0100.0050.001

即2.7063.8416.6357.87910.828

高三年级数学试卷第5页共6页

20.(12分)

在三棱锥P-4BC中，PC=AB=AC=—BC=\＞尸C_L平面N3C.点〃■是

2

棱P/上的动点，点N是棱8c上的动点，且尸M=CN=x(0<x<血).

5

(1)当=时，求证：MNLAC,

2

(2)当朋N的长最小时,

21.(12分)

已知点4(a，-1)是抛物线。：/=2户5>0)上一点，斜率为2的动直线/交。于

M,N(异于4)的两点，直线NM,ZN的倾斜角互补.

(1)求抛物线。的方程;

(2)若MN=M,求sin/M4N.

22.(12分)

己知函数f(x)=a"与g(x)=logax(a>0,且aH1).

(1)求g(x)在(1,g(l))处的切线方程；

(2)若。>1,旗x)=/(x)-g(x)恰有两个零点，求a的取值范围.

高三年级数学试卷第6页共6页

选择题

题号123456789101112

选项CDDBCADBABCABACDACD

三、填空题

13.2114.（-00,-2V10）U（2V10,+oo）15.14或2316.146

三、解答题

17.

解：（1）由正弦定理得：cosC+KsinC=sinB+sinC,

sin力

故sinAcosC+行sin4sinC=sin5+sinC,

由5=7i-Z—C,得：sinB=sin（7r-A-C）=sin（^+C）=sinAcosC4-cossinC,代

入上式，于是J^sin/sinC=cos4sinC+sinC,

由Cw（0,兀），得sinCwO,从而上式消去sinC得J5sin4=cos4+1,

JT7T|

于是2sin（4-一）=1,即sinQ--）=-,

662

故/一IT上=TT'+2而或/—TT2=H>7T+2E,左eZ,结合/w（0,兀）得/=T—T.........（5分）

66663

（2）由A48c的面积为道得：-Z）csin^=V3,代入力=工得：bc=4①

23

由余弦定理得/=/-26ccosZ,代入。=2/c=4,/=工得：b24-c2=8②

3

由①②解得b=c=2.................................................（10分）

18.

解：（1）证明：由一=。“_2得

a“一%=4-2

a„-l-an_2=an_3

*一。"-3=4-4

a3-a2=at

累加得+a1+…+q=

an-a2=an_2+a—S„_2

高三数学参考答案及评分细则第1页（共5页）

于是an=Sn_2+a2=Sn_2+1......................................（6分）

（2）解：由4=%=1，4=。”-2+4-i得：对任意〃wN*,an=an_2+an_x>0,进而

an-%=a„_2>0,故数列｛a“｝单调递增,

由（1）可知a“=s,.2+i，故卫一一1=」一=」一>0,于是只需求使得一1—〉一1-

SfSk_2ak-\ak-\100

最大的正整数左，从而只需求使得%<101最大的正整数h

由q=%=1，%=%-2+列举得：q=1,4=L%=2,4=3,%=5,4=8,%=13,

as=21,生）=34,a］。=55,。“=89,tz12=144,

结合数列｛a,J单调递增，于是使得强.<101最大的正整数上为11...........（12分）

19.

303

解：（1）用女性拍照的频率估计概率，每位女性拍照的概率2=京=彳，

因为女性是否拍照互相之间不影响，所以4名女性在“惟楚有材”牌坊下拍照相互独立,

于是拍照的女性人数为2名、3名、4名，

当拍照的女性人数为2名时，概率为］（）=^,

当拍照的女性人数为3名时,

概率为啕卷，

当拍照的女性人数为4名时,

至少2名女性拍照的概率为里+小+生243

由加法原理,（6分）

256256256~256...........

（2）列出列联表入如下:

男性女性合计

拍照203050

不拍照401050

合计6040100

零假设4°：游客在“惟楚有材”牌坊下拍照与性别无关.

力100x（20x10-30x40）2

K~=---------------—«16.667>10,828

60x40x50x503

根据小概率值a=0.001的独立性检验，游客在“惟楚有材”牌坊下拍照与性别有关.

高三数学参考答案及评分细则第2页（共5页）

..............................................(12分)

20.

解：(1)证明：在平面N6C内过点。作CQ_L/C,使得点。与点8在ZC同侧，

由PCJ_平面Z8C,CQu平面48C,/。匚平面/8。，故PC，/C,PCJ_CQ,

结合CZ>_LZC,故尸C,ZC,C。两两垂直.

以。为原点，分别以C4,C0,C0为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系，如图，则

C(0,0),J(l,0,0),P(0,0,l).

由AB=/C=迎8C得+=8。2,

2

故Z8J.2C,ZU8C为等腰直角三角形.

同理，A4PC为等腰直角三角形.于是8点坐标为8(1,1,0).

11

当》=*-时，AM=—AP,CN=—CB,故〃,N分别是ZP,CB中点，

222

।।।।_।।_

M(-,0,-),MN=(0,--),CA=(1,0,0),

■*JJ

W-CJ=0xl+-x0一一x0=0,故MNJ.ZC................................................(4分)

22

(2)由(1)可得4(l,0,0),P(0,0,l),8(U,0),A4BC,4tpe为等腰直角三角形

72V2V2V2

故Mx,0,l——x),N(-^-x,x,0)

MN2=[-x-^x\+1。£

—x2—AX+1,

2/2

I2JI2J2

7

当》=①时，MN最小,此时",N分别是ZP,C6中点，于是

——11—►11——►11—►11

CM=(5,O,5),CN==(--,o,-),^=(--,-,0)

设平面CWN的法向量为a=(X],y,Z|),平面ZA/N的法向量为尸=。2，%/2)，

11

--

玉

+马

a±CM.,Ior-CM=0220x,+z.=0

一___，故〈______11'1

--

a1CN[a・CN=0M+乂司+必=0

220{

取X1=-1可得平面CNN的一个法向量为2=(-1,1,1)，

高三数学参考答案及评分细则第3页(共5页)

________________j_1_

BLAMa-CM=0-7X2+-z2=0n—f-x,+z,=0

_°,则22，整理得《22,

[Pi-AN[a-CN=O_LX2+Ly2=o[-x2+^2=0

取0=一1可得平面力皿的一个法向量为/=QU），

设二面角A-MN-C的平面角大小为0，则cos6=%=一

\a\-\p\V3-V33

故二面角4一MN—C的余弦值为！........................................（12分）

3

解：（1）由直线MN的斜率为2,设直线〃N:x=gy+m,A/区,乂）,"（々,%）（王<々），

y2=2px

直曲联立《1消去x得：y~-py-1pm=0,A=p2+Spm>0,m>---,

x=—y+m

%+为=P

由韦达定理得:

,凹歹2=一22〃

由直线的倾斜角互补且",N为不同两点，故直线的斜率均存在，分另IJ

记为kAM,孰，则G=左出+应=j0一+厂总+1—=0，

x.1-a2a1,1,

-yx-\-m-a-y2^-m-a

-~——=--~-2.+l——，整理得：,夕2+（乂+乃）（加一。+；）+2加一2a=0,

代入"[必+乃一?得：-2/wj+p加一pa+』p+2加-2a=0,（2-p>+-p-2a--=0.

〔必为=-2p/n222

,1

由点4（。,一1）是抛物线C：/=2Px（p>0）上一点，2年=1,a=——，代入上式消去。得:

2P

（2-p）m+-p----^0,整理得：（2—p）（加—四）=0,故2=2,a=1

2P22p4

故抛物线方程为歹2=4x...........................................（6分）

%+%=2

（2）由（1）可得

为必=-4w

高三数学参考答案及评分细则第4页（共5页）

故IMN\=J(X]-X2『+(必一%)2=J(1+J)[(M+%)2-4必必]=J(1+；)(4+16m)=V5'

・]—,,3

故加=0,满足A>0,于是"(0,0),N(l,2),AM=(一一,1),ZN=(2,3),