2022-2023学年高一数学 苏教版必修第一册4-1-1 根式教案

一、教学目标：1.理解根式的定义，掌握简便运算、化简、比大小的方法。2.进行有理数的开方运算。3.能够应用根式计算实际问题。二、教学重点：1.根式的定义及基本性质。2.有理数的开方运算。三、教学难点：1.如何进行根式的化简。2.如何应用根式计算实际问题。四、教学方法：1.归纳演绎法，引导学生发现根式的规律性。2.演示法，通过举例子让学生更加深入理解根式。3.启发法，帮助学生锻炼发散思维，举一反三。五、教学过程：1.引入引出一个问题：计算$\sqrt{9}$，引导学生了解根式的概念。2.讲解根式的基本概念：定义1：如果$a$和$b$是正整数且$b\neq0$，则称$\sqrt{a}$为“$a$的算术平方根”，$\sqrt{a}$记作$\sqrt{a}$或$a^{\frac{1}{2}}$。定义2：如果$a$是正整数，$n$是正整数，则称$a$的$n$次方根或者$n$次根为$\sqrt[n]{a}$或$a^{\frac{1}{n}}$。根式的基本性质：①$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}$②$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}(b\neq0)$③$\sqrt{a^{2}}=|a|(a\in\mathbb{R})$④$\sqrt{a}=\sqrt{b}$，当且仅当$a=b(a,b\geq0)$3.举例例1：将$\sqrt{20}$化简。解：$20=4\times5$，所以$\sqrt{20}=\sqrt{4\times5}=\sqrt{4}\sqrt{5}=2\sqrt{5}$。例2：化简$\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}}$。解：$\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{4\times3}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{4}\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=2$。4.练习练习一：化简$\sqrt{75}$。练习二：化简$\sqrt{\frac{27}{8}}$。5.讲解有理数的开方运算：定义：设$a\in\mathbb{Q^{+}},n\in\mathbb{N^{*}}$，则$a^{\frac{1}{n}}$表示唯一一个正有理数$b$，满足$b^{n}=a$，称$b$是$a$的$n$次方根或者$n$次根。有理数的开方运算基本法则：①$a^{\frac{1}{2}}$，又称$a$的算术平方根。②$a^{\frac{1}{3}}$，又称$a$的算术立方根。大于1的正整数的平方根是无限循环小数，如：$\sqrt{2}=1.41421356...$$\sqrt{3}=1.73205080...$$\sqrt{5}=2.23606798...$6.讲解有理数的开方运算：例3：用10的幂次形式表示$\sqrt[3]{27}$。解：$\sqrt[3]{27}=27^{\frac{1}{3}}=(3^{3})^{\frac{1}{3}}=3$例4：用无理数表示$\sqrt{7}$。解：我们可以列出$(2\sqrt{2}+1)^{2}=8+4\sqrt{2}+1=9+4\sqrt{2}$，因此，$\sqrt{7}$可表示为：$\sqrt{7}=\frac{(2\sqrt{2}+1)\times(2\sqrt{2}-1)}{2\sqrt{2}-1}=2\sqrt{2}-1$7.练习练习三：用无理数表示$\sqrt{5}$。练习四：写出$\sqrt[3]{1000}$的整数部分。六、总结1.根式的定义及基本性质。2.有理数的开方运算。3.根式化简与应用。四、课堂小结：本节课介绍了根式的基本概念和基本性质，以及有理数的开方运算法则。通过举例子的方式，深入浅出地讲解了根式的化