高中数学湘教版（2019）第4章立体几何初步知识总结

立体几何知识总结目录一、直线与直线的位置关系 1二、直线与平面的位置关系 1三、平面与平面的位置关系 2四、空间中平行的相关概念 2五、空间中的平行关系 2六、空间中垂直的相关概念 3七、空间中的垂直关系 3八、空间中的距离问题 4九、空间中所成角问题 4十、几类简单几何体的表面积、体积 5十一、内接球、外接球问题 5一、直线与直线的位置关系位置关系图形语言符号语言公共点个数相交aabAa∩一个公共点平行aaba//b无公共点异面αabαaba与b异面无公共点注：两条直线与公共点，可能是平行，也有可能是异面位置关系图形语言符号语言公共点个数直线在平面内aaαa⊂α无数个直线不在平面内直线与平面平行ααaa//α无公共点直线与平面相交直线与平面斜交ααaAa∩α=A一个直线与平面垂直αaαaAa⊥α一个二、直线与平面的位置关系三、平面与平面的位置关系位置关系图形语言符号语言公共点个数平面与平面平行ααβα//β无公共点平面与平面相交平面与平面斜交α∩β=a无数个公共点（一条公共直线）平面与平面垂直ααβα⊥β无数个公共点（一条公共直线）四、空间中平行的相关概念概念文字语言图形语言符号语言线面平行的定义直线l与平面α没有公共点．⇒l与α的交集是∅.ααll面面平行的定义如果两个平面α，β没有公共点，就称这两个平面平行ααβα五、空间中的平行关系线线平行线面平行的线面平行的判定定理线面平行的性质定理面面平行的性质定理线面平行的性质定理面面平行的性质定理a⊄αa⊄αα∥αa面面平行的判定定理a面面平行的判定定理aα//β,a⊂α⟹a//β面面平行的性质一面面平行线面平行α//β,a⊂α⟹a//β面面平行的性质一线线平行的证明方法：1.中位线定理（三角形，梯形）；2.平行四边形；3.平行线分线段成比例；4.平行的传递性名称文字语言图形语言符号语言线面垂直的定义直线l与平面α相交，并且垂直于这个平面内的所有直线，那么就称直线l与平面α垂直.ll面面垂直的定义一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。αα⊥β六、空间中垂直的相关概念七、空间中的垂直关系ααlab线线垂直线面垂直的线面垂直的判定定理αab性质1αab性质1：若a⊥α，a线面垂直的性质定理性质性质2：若a∥b，b⊥性质性质3：若a⊥αaaβαa⊥β,a⊂α⇒α⊥β面面垂直的判定定理a⊥β,a⊂α⇒α⊥β面面垂直的判定定理α⊥β，α∩β=CD，AB⊂α，AB⊥α面面垂直的性质定理线线垂直的判定方法：1.勾股定理的逆运用（知线段长度）；2.等腰三角形的三线合一；3.线面垂直；4.矩形，正方形线面垂直的判定方法：1.证明二面角是直二面角；2.利用判定定理。八、空间中的距离问题直线到平面的距离一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫作这条直线与这个平面的距离.OPαlOPαllPO⊥α⇒平面与平面的距离平面α平行于平面β，则称平面α上任意一点到平面β的距离为平面α到平面β的距离PPOαPO九、空间中所成角问题文字语言图形语言范围异面直线所成角不在同一个平面内，没有公共点.ααa（直线与平面的夹角平面的一条斜线和它在平面上的投影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角llαAOP∟[0°,90°]平面与平面的夹角（二面角）二面角α－l－β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫作二面角的平面角[

0°十、几类简单几何体的表面积、体积（一）表面积公式 图形表面积公式多面体多面体的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积旋转体圆柱底面积：S底＝πr2侧面积：S侧＝2πrl表面积：S＝2πrl＋2πr2圆锥底面积：S底＝πr2侧面积：S侧＝πrl表面积：S＝πrl＋πr2圆台上底面面积：S上底＝πr′2下底面面积：S下底＝πr2侧面积：S侧＝πl(r＋r′)表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)（二）体积公式（1）柱体：柱体的底面面积为S，高为h，则V＝Sh.（2）锥体：锥体的底面面积为S，高为h，则V＝eq\f(1,3)Sh.（3）台体：台体的上，下底面面积分别为S′，S，高为h，则V＝eq\f(1,3)(S′＋eq\r(S′S)＋S)h.（三）球的体积 设球的半径为R，则球的体积V＝eq\f(4,3)πR3.（四）球的表面积 设球的半径为R，则球的表面积S＝4πR2，十一、内接球、外接球问题（一）正方体的外接球正方体的中心与其外接球球心重合.正方体的外接球直径=正方体体对角线长.2R=a2+a2OAOABCDD1长方体的中心与其外接球球心重合.长方体的外接球直径=长方体的体对角线长.2R=O•O•O1•CBAA’BC'D正三棱柱两底面中心连线的中点为其外接球球心球心到正三棱柱两底面的距离相等R（四）正四棱锥的外接球连接AC,BD交于点O1;延长PO1交球面于E，则PA⊥AE.EO11.∠PAOEOEEPAORROREPARROEPARRO1(O球的半径为底面对角线的一半。3.∠PAO1>45°EEPAORRO•O•OPCBA(法1：补形法)把正四面体放在正方体中，则正方体的外接球就是正四面体的外接球，设正方体棱长为x，则a=2x2R=•ODR•O′•ODR•O′PCBAaR则OADOADO′P••RaR∴RtΔAOO'即解得（六）三