2023年中考数学压轴题33圆与新定义综合问题（学生版）

挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用）

专题33圆与新定义综合问题

典例剖析.

【例1】（2022•石景山区一模）在平面直角坐标系xQy中，点尸不在坐标轴上，点P关于x

轴的对称点为尸1，点P关于y轴的对称点为尸2,称△尸1在2为点P的''关联三角形”.

（1）已知点工（1.2）,求点力的“关联三角形”的面积；

（2）如图，已知点8（如机），。7的圆心为7（2,2）,半径为2.若点8的“关联三

角形”与07有公共点，直接写出〃?的取值范围；

（3）已知的半径为r,OP=2r,若点P的“关联三角形”与。。有四个公共点，直

【例2】2022•朝阳区二模）在平面直角坐标系xQy中，。。的半径为1,4B=1,且4,B

两点中至少有一点在O。外.给出如下定义：平移线段得到线段HB'（小，B'

分别为点48的对应点），若线段B'上所有的点都在。。的内部或上，则线段

AA'长度的最小值称为线段到。。的“平移距离”.

（1）如图1,点出，囱的坐标分别为（-3,0）,（-2,0）,线段出小到。。的“平移

距离”为，点/2,&的坐标分别为（-/,遥），（1,弧）,线段心历到。。

的''平移距离”为;

（2）若点/,8都在直线日上，记线段Z8到。。的“平移距离"为“，求

d的最小值；

（3）如图2,若点力坐标为（1,遥），线段到。。的“平移距离”为1,画图并说

明所有满足条件的点8形成的图形（不需证明）.

业三角形”.

（1）下列各三角形中，一定是“勤业三角形”的是；（填序号）

①等边三角形；②等腰直角三角形；③含30°角的直角三角形；④含120°角的等腰三

角形.

（2）如图1,△Z8C是。。的内接三角形，NC为直径，。为N8上一点，且8。=2/£）,

作DELOA,交线段OA于点F,交。。于点E,连接BE交AC于点G.试判断△/££）

和△N8E是否是“勤业三角形”？如果是，请给出证明，并求出典•的值；如果不是，请

BE

说明理由；

（3）如图2,在（2）的条件下，当4F：FG=2：3时，求的余弦值.

图1图2

【例4】（2022•清苑区二模）【问题提出】

如图1,。。与直线a相离，过圆心O作直线”的垂线，垂足为“，且交。。于P、。两

点（。在P、”之间）.我们把点尸称为。。关于直线。的“远点”，把的值称为

。。关于直线。的“远望数”.

（1）如图2,在平面直角坐标系xOy中，点£的坐标为（0,4）,过点E画垂直于y轴

的直线m,则半径为1的。。关于直线m的“远点”坐标是,直线m向下平移

个单位长度后与。O相切.

（2）在（1）的条件下求0。关于直线〃，的“远望数”.

【拓展应用】

（3）如图3,在平面直角坐标系中，直线/经过点A/（6代，0）,与y轴交于点N,

点尸坐标为（1,2）,以尸为圆心，。尸为半径作若。尸与直线/相离，。是OF关

于直线/的''远点”.且。尸关于直线/的“远望数”是12遥，求直线/的函数表达式.

满分训练.

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解答题（共20题）

1.（2022•长沙县校级三模）约定：若三角形一边上的中线将三角形分得的两个小三角形中

有一个三角形与原三角形相似，我们则称原三角形为关于该边的“优美三角形”.例如:

如图1,在△ZBC中，为边8c上的中线，△48。与△/8C相似，那么称△/8C为关

于边8c的“优美三角形”.

（1）如图2,在△N8C中，BC=42AB,求证：△Z8C为关于边8c的“优美三角形”；

（2）如图3,已知△ABC为关于边8c的“优美三角形”，点。是△NBC边的中点，

以BD为直径的。。恰好经过点/.

①求证：直线C/与。。相切：

②若。。的直径为2&，求线段的长；

（3）已知三角形Z8C为关于边8c的“优美三角形"，8c=4,N8=30°,求△/8C的

面积.

A

2.(2022•西城区校级模拟)点尸(xi,“)，。(血,")是平面直角坐标系中不同的两个点，

且X|#X2.若存在一个正数k,使点P,Q的坐标满足M-”|=布1-X2],则称P,。为

一对“限斜点”，人叫做点P,。的“限斜系数”，记作《(P,由定义可知，k(P,

Q)=k(°,P).

例：若P(1,0),Q(3,-1),有所以点P,0为一对“限斜点”，且

224

“限斜系数”为工.

4

已知点/(1,0),B(2,0),C(2,-2),D(2,工).

2

(1)在点4B,C,。中，找出一对“限斜点”:,它们的“限斜系数”为；

(2)若存在点E,使得点E,A是一对“限斜点”，点E,B也是一对“限斜点”，且它

们的“限斜系数”均为1.求点E的坐标；

(3)。。半径为3,点/为上一点，满足M7=l的所有点T,都与点C是一对“限

斜点”，且都满足/(T,C)21,直接写出点"的横坐标X,”的取值范围.

y木

3-

▲21B_

-3-2-10123

-1

3.(2022•常州一模)对于平面直角坐标系xOy中的图形加、N,给出如下定义：P为图形

〃上任意一点，0为图形N上任意一点，如果P、。两点间的距离有最小值，那么称这

个最小值为图形M、，间的“图距离”，记作4(M,N).已知点4(-2,6),8(-2,

-2),C(6,-2).

(1)d(点。，△Z8C)；

(2)线段£是直线y=x(-2WxW2)上的一部分，若d(L,AABC)=1,且L的长

度最长时，求线段£两个端点的横坐标；

（3）。7的圆心为7（30）,半径为1.若4（。7,AABC）=1,直接写出f的取值范

4.（2022•秦淮区二模）【概念认识】

与矩形一边相切（切点不是顶点）且经过矩形的两个顶点的圆叫做矩形的第I类圆；与

矩形两边相切（切点都不是顶点）且经过矩形的一个顶点的圆叫做矩形的第H类圆.

【初步理解】

（1）如图①〜③，四边形Z8CC是矩形，。。1和OQ都与边49相切，。。2与边力8

相切，。。1和。3都经过点B，。。3经过点。，3个圆都经过点C.在这3个圆中，是

矩形的第I类圆的是，是矩形/8CD的第n类圆的是

【计算求解】

（2）已知一个矩形的相邻两边的长分别为4和6,直接写出它的第I类圆和第n类圆的

半径长.

【深入研究】

（3）如图④，已知矩形ABCD,用直尺和圆规作图.（保留作图痕迹，并写出必要的文

字说明）

①作它的1个第I类圆;

②作它的1个第II类圆.

3

③

5.（2022•丰台区二模）在平面直角坐标系x作中，。。的半径为1,1为任意一点，B为。。

上任意一点.给出如下定义：记48两点间的距离的最小值为p（规定：点/在。。上

时，p=0）,最大值为4,那么把R担的值称为点”与。。的“关联距离”，记作1（4

2

0。）.

（1）如图，点。，E,F的横、纵坐标都是整数.

①d（。，Q0）-；

②若点M在线段EF上，求。。）的取值范围；

（2）若点N在直线y=J§x+2^上，直接写出“（N,QO）的取值范围；

（3）正方形的功长为相，若点P在该正方形的边上运动时，满足1（尸，。0）的最小值

为1,最大值为百3，直接写出力的最小值和最大值.

6.（2022•大兴区一模）在平面直角坐标系xOy中，。。的半径为1,己知点4过点/作

直线对于点Z和直线A/M给出如下定义：若将直线绕点/顺时针旋转，直线

与。。有两个交点时，则称是。。的“双关联直线”，与。。有一个交点尸时，

则称是的“单关联直线”，/P是的“单关联线段”.

（1）如图1,A（0,4）,当MN与y轴重合时，设MV与交于C,。两点.则

是。。的“关联直线”（填“双”或“单”）；星■的值为；

AD

（2）如图2,点4为直线y=-3x+4上一动点，“尸是的“单关联线段”.

①求。力的最小值；

②直接写出△4P。面积的最小值.

图1图2

7.(2022•宁波模拟)定义：圆心在三角形的一条边上，并与三角形的其中一边所在直线相

切的圆称为这个三角形的切圆，相切的边称为这个圆的切边.

(1)如图1,△N8C中，AB=CB,//=30°，点。在/C边上，以OC为半径的。O

恰好经过点8,求证：。。是△N8C的切圆.

(2)如图2,△ZBC中，AB=AC=5,BC=6,。。是的切圆，且另外两条边都

是。。的切边，求。。的半径.

(3)如图3,△/8C中，以为直径的。。恰好是△/SC的切圆，/C是。。的切边，

与8c交于点尸，取弧8尸的中点。，连接4。交8c于点£,过点E作于

点、H,若C/ug,8广=10,求/C和£77的长.

8.(2022•朝阳区一模)在平面直角坐标系xO夕中，对于直线/：y=kx+b,给出如下定义：

若直线/与某个圆相交，则两个交点之间的距离称为直线/关于该圆的“圆截距”.

(1)如图1,。。的半径为1,当《=1,6=1时，直接写出直线/关于。。的“圆截距”；

(2)点〃的坐标为(1,0),

①如图2,若。”的半径为1,当6=1时，直线/关于的“圆截距”小于里求

5

上的取值范围；

②如图3,若。〃的半径为2,当上的取值在实数范围内变化时，直线/关于0”的“圆

截距”的最小值2,直接写出6的值.

图2图3

9.(2022•邺州区校级一模)婆罗摩芨多是公元7世纪古印度伟大的数学家，他在三角形、

四边形、零和负数的运算规则，二次方程等方面均有建树，他也研究过对角线互相垂直

的圆内接四边形，我们把这类对角线互相垂直的圆内接四边形称为“婆氏四边形”.

(1)若平行四边形/BCD是“婆氏四边形"，则四边形”8是(填序号)；

①矩形②菱形③正方形

(2)如图，四边形/8CO内接于圆，P为圆内一点，NAPD=NBPC=90°,且N/DP

=/PBC,求证：四边形488为“婆氏四边形”；

(3)在(2)的条件下，BD=4,iiAB=43DC.

①当CC=2加时，求ZC的长度；

②当DC的长度最小时，请直接写出tanZJDP的值.

10.(2022•城关区校级模拟)如图，在平面直角坐标系xQy中，点/与点B的坐标分别是

(1,0),(7,0).

(1)对于坐标平面内的一点尸，给出如下定义：如果//尸8=45°,那么称点P为线段

N8的“完美点”.

①设Z、8、P三点所在圆的圆心为C,则点C的坐标是，G)C的半径是；

②y轴正半轴上是否有线段力8的“完美点”？如果有，求出“完美点”的坐标；如果没

有，请说明理由；

(2)若点尸在y轴负半轴上运动，则当N4P8的度数最大时，点尸的坐标为.

11.(2021♦常州一模)在平面直角坐标系x°y中，。。的半径是丁正，A,8为。。外两点,

”=2&.给出如下定义:平移线段使平移后的线段/'B'成为。。的弦(点才，

B,分别为点48的对应点)，线段44'长度的最小值成为线段N8到。。的“优距离”.

图1图2

(1)如图1，QO中的弦尸1尸2、尸3尸4是由线段AB平移而得，这两条弦的位置关系

是；在点尸1，尸2,尸3,P4中，连接点力与点的线段长度等于线段43

到。。的“优距离”；

(2)若点、4(0,7),B(2,5),线段的长度是线段到。。的“优距离”，则点

A'的坐标为；

(3)如图2,若48是直线y=-x+6上两个动点，记线段到的“优距离”为

d,则"的最小值是；请你在图2中画出d取得最小值时的示意图，并标记相应

的字母.

12.(2022秋•姜堰区期中)如图1,在平面内，过外一点P画它的两条切线，切点分别

为M、N,若NMPN"90°,则称点尸为。T的“限角点”.

(1)在平面直角坐标系中，当OO半径为1时，在①Pi(1,0),②%(-1,工)，

N2

③尸3(-1，-1),④尸4(2,-1)中，OO的“限角点”是;(填写序号)

(2)如图2,。4的半径为&,圆心为(0,2),直线/：尸-青+6交坐标轴于点8、

C,若直线/上有且只有一个。。的“限角点”，求6的值.

(3)如图3,E(2,3)、F(1,2)、G(3,2),。。的半径为J5，圆心。从原点。出

发，以&个单位/s的速度沿直线/：y=x向上运动，若△EFG三边上存在。。的“限角

点”，请直接写出运动的时间f(s)的取值范围.

P给出如下定义：将点P绕点〃逆时针旋转90°,得到点尸，点P关于点N的对称点

为Q，称点。为点尸的“对应点”.

(1)如图1,若点M在坐标原点，点N(1,1),①点P(-2,0)的“对应点”。的

坐标为；②若点P的“对应点”。的坐标为(-1,3),则点P的坐标为；

(2)如图2,已知。。的半径为1,M是。。上一点，点N(0,2),若P(m,0)(m

>1)为。O外一点，点。为点P的“对应点”，连接P。.①当点b)在第一象

限时，求点。的坐标(用含a,6,的式子表示)；②当点M在。。上运动时，直接写

出P。长的最大值与最小值的积为.(用含m的式子表示)

图1图2

14.(2022秋•海淀区校级月考)在平面直角坐标系xOy中，已知。。的半径为2,对于点尸,

直线/和。。，给出如下定义：

若点P关于直线/对称的点在。。上或OO的内部，则称点尸为。。关于/的反射点.

(1)已知直线/为x=3,

①在点Pl(4,0),Pi(4,1),尸3(5,1)中，是O。关于/的反射点有；

②若点尸为x轴上的动点，且点P为关于/的反射点，则点P的横坐标的最大值

为.

(2)已知直线/的解析式为^=丘+2&W0),

①当k=-1时，若点P为直线x=工上的动点，且点P为。。关于/的反射点，则点P

2

的纵坐标t的取值范围是；

②点8(2,2),C(J§,1),若线段8C的任意一点都为。。关于/的反射点，则上的

取值范围是

15.(2022•钟楼区校级模拟)在平面直角坐标系中，正方形488的顶点分别为4(0,

1),5(-1,0),C(0,-1),Z)(h0).对于图形给出如下定义：P为图形M上

任意一点，。为正方形/8CD边上任意一点，如果P,。两点间

的距离有最大值，那么称这个最大值为图形M的'‘正方距”，记作d(M).

已知点E(3,0).

①直接写出d(点E)的值；

②过点E画直线>=丘-3人与〉轴交于点F当d(线段EF)取最小值时，求左的取值

范围；

③设T是直线y=-x+3上的一点，以7为圆心，衣长为半径作。7.若〃(。7)满足d

备用图

16.(2021秋•慈溪市期中)如图1,在。。中，弦/。平分圆周角NA4C,我们将圆中以“

为公共点的三条弦84CA,。/构成的图形称为圆中的“爪形/”，弦BA,CA,D4称

为“爪形工”的爪.

(1)如图2,四边形/8CA内接于圆，AB=BC.①证明：圆中存在“爪形。"；②若N

NOC=120°,求证：AD+CD=BD.

(2)如图3,四边形N88内接于圆，其中氏4=8C,连接8D.^ADIDC,此时“爪

形。”的爪之间满足怎样的数量关系，请直接写出结果.

17.(2021秋•润州区校级月考)在平面直角坐标系xQy中，。。的半径为r,P是与圆心C

不重合的点，点P关于0c的反称点的定义如下：若在射线。上存在一点P',满足

CP+CP'=2厂，则称P为点P关于OC的反称点，如图为点P及其关于的反称点尸'

的示意图.

(1)当的半径为1时，

①分别判断点M(3,1),N(1,0),7(7,M)关于。。的反称点是否存在？若

存在，直接求其坐标；

②将。。沿x轴水平向右平移1个单位为O。’，点P在直线y=-x+1上，若点尸关于

QO'的反称点P'存在，且点P'不在坐标轴上，则点尸的横坐标的取值范围；

(2)0c的圆心在x轴上，半径为1,直线y=-x+12与x轴，y轴分别交于点4B,

点E与点。分别在点力与点8的右侧2个单位，线段ZE、线段8。都是水平的，若四

边形四边上存在点P,使得点尸关于。。的反称点P'在。。的内部，直接写出圆

心C的横坐标的取值范围.

18.(2021•建邺区二模)【概念学习】

在平面直角坐标系xS中，。。的半径为1,若。。平移d个单位后，使某图形上所有

点在。。内或上，则称d的最小值为。。对该图形的“最近覆盖距离”.例如，如图

①，A(3,0),B(4,0),则OO对线段的“最近覆盖距离”为3.

①②③

【概念理解】