八年级数学下册专题16.2 二次根式的乘除【九大题型】（举一反三）（人教版）（解析版）

PAGE14专题16.2二次根式的乘除【九大题型】【人教版】【题型1求字母的取值范围】 1【题型2二次根式乘除的运算】 2【题型3二次根式的符号化简】 3【题型4最简二次根式的判断】 5【题型5化为最简二次根式】 6【题型6已知最简二次根式求参数】 7【题型7分母有理化】 8【题型8比较二次根式的大小】 10【题型9分母有理化的应用】 11【知识点1二次根式的乘除法则】①二次根式的乘法法则：a∙②积的算术平方根：a∙b=③二次根式的除法法则：ab④商的算术平方根：ab【题型1求字母的取值范围】【例1】（2022春•赵县校级月考）若要使等式xx-8=xx-8成立，则x的取值范围是x＞8【分析】直接利用二次根式的性质进而得出关于x的不等式组求出答案．【解答】解：∵等式xx-8∴x≥0x-8则x的取值范围是：x＞8．故答案为：x＞8．【变式1-1】（2022秋•犍为县校级月考）已知(x-3)⋅(-x-2)=3-x⋅x+2，使等式成立的x的取值范围是﹣2≤x【分析】根据二次根式的性质得出关于x的不等式组，进而求出答案．【解答】解：∵(x-3)⋅(-x-2)=∴3-x≥0x+2≥0解得：﹣2≤x≤3．故答案为：﹣2≤x≤3．【变式1-2】（2022秋•南岗区期末）能使等式x-2x=x-2A．x＞0 B．x≥0 C．x＞2 D．x≥2【分析】根据二次根式和分式有意义的条件进行解答即可．【解答】解：由题意得：x-2≥0x解得：x≥2，故选：D．【变式1-3】（2022•宝山区校级月考）已知实数x满足2x2-x3=x•2-x，则x的取值范围是0【分析】依据二次根式被开方数大于等于0和a2=a（a≥【解答】解：∵原式=(2-x)x2=∴x≥0且2﹣x≥0．解得：0≤x≤2．故答案为：0≤x≤2．【题型2二次根式乘除的运算】【例2】（2022•长宁区期中）计算：（1）5827•827•3（2）2112÷【分析】（1）利用二次根式的乘法法则计算即可．（2）根据二次根式的混合运算法则计算即可．【解答】解：（1）原式＝5×8（2）原式＝2×1【变式2-1】（2022•长宁区期中）计算：223m÷1【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则化简求出答案．【解答】解：原式＝2×62＝128m＝82m．【变式2-2】（2022•青浦区校级月考）计算：35xy3÷(-【分析】根据二次根式的乘除法运算法则进行计算．【解答】解：∵x＞0，xy3≥0，∴y≥0，∴原式=35xy3•（=-94x=-94xy•（-5=15【变式2-3】（2022•浦东新区校级月考）化简：2bab3(-【分析】直接利用二次根式的性质化简进而得出答案．【解答】解：∵由二次根式的性质可得a＜0，b＜0，∴原式=2b•（﹣b）ab•（32aab＝﹣3a2b÷3ab＝﹣3a2b×（-b＝a2b2×＝abab．【题型3二次根式的符号化简】【例3】（2022•安达市校级月考）已知xy＞0，将式子x-yx2A．y B．-y C．-y D．【分析】根据被开方数大于等于0求出y＜0，再根据同号得正判断出x＜0，【解答】解：∵-yx∴y＜0，∵xy＞0，∴x＜0，∴x-y故选：D．【变式3-1】（2022•自贡期中）把二次根式a-A．-1a B．1a C．-1【分析】根据二次根式的性质先判断a的符号，然后再进行计算．【解答】解：由题意可知-1a∴a＜0，∴a-1a3故选：D．【变式3-2】（2022•张家港市校级期末）将（2﹣x）1x-2A．x-2 B．2-x C．﹣22-x D．-【分析】根据二次根式的性质得出x﹣2的符号，进而化简二次根式得出即可．【解答】解：由题意可得：x﹣2＞0，则原式=-(x-2故选：D．【变式3-3】（2022春•龙口市期中）把（a﹣b）-1a-b根号外的因式移到根号内结果为-【分析】先根据二次根式成立的条件得到-1a-b＞0，则a﹣b＜0，所以原式变形为﹣（b﹣a）-1a-b，然后利用二次根式的性质得到-【解答】解：∵-1a-b∵a﹣b＜0，∴原式＝﹣（b﹣a）-1a-b=-故答案为-b-a【知识点2最简二次根式】我们把满足①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．【题型4最简二次根式的判断】【例4】（2022秋•浦东新区校级月考）在25、aba、18x、x2-1、0.6中，最简二次根式是ab【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．【解答】解：aba、x故答案为：aba、x【变式4-1】（2022春•曲靖期末）下列二次根式中属于最简二次根式的是（）A．48 B．14 C．ab D．【分析】根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不含分母，即可解答．【解答】解：A、48=43，故AB、14是最简二次根式，故B符合题意；C、ab=abD、4a+4=2a+1，故D故选：B．【变式4-2】（2022秋•玉田县期末）下列各式：①25②2n+1③2b4④0.1y是最简二次根式的是【分析】根据最简二次根式的被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，可得答案．【解答】解：②2n+1③2b4故答案为：②③．【变式4-3】（2022春•建昌县期末）在二次根式12、12、30、x+2，40x2，x2+【分析】结合选项根据最简二次根式的概念求解即可．【解答】解：二次根式12、12、30、x+2，40x2，x2+y2故答案为：3【题型5化为最简二次根式】【例5】（2022春•安阳期末）下列二次根式化成最简二次根式后，被开方数与另外三个不同的是（）A．2 B．58 C．28 D．1【分析】先把B、C、D化成最简二次根式，再找被开方数不同的项．【解答】解：∵2是最简二次根式，58=102，28=27，∴化成最简二次根式后，被开方数相同的是A、B、D．故选：C．【变式5-1】（2022春•番禺区期末）把下列二次根式化成最简二次根式（1）3（2）32（3）4【分析】（1）直接利用二次根式的除法运算法则性质化简得出答案；（2）直接利用二次根式的性质化简得出答案；（3）直接利用二次根式的除法运算法则性质化简得出答案．【解答】解：（1）3100（2）32=42（3）4x【变式5-2】（2022秋•合浦县月考）把下列各式化成最简二次根式：（1）275（2）-abc【分析】本题需先将二次根式分母有理化，分子的被开方数中，能开方的也要移到根号外．【解答】解：（1）原式=27（2）当b，c同为正数时，原式=-abc当b，c同为负数时，原式=-abc2×（-当c＝0时，原式＝0．【变式5-3】（2022秋•安岳县期末）x2-1xy-y化成最简二次根式是±【分析】对被开方数的分母进行因式分解，然后约分；最后将二次根式的被开方数的分母有理化，化简求解．【解答】解：原式=(x-1)(x+1)①当y＞0时，上式=②当y＜0时，上式=-y(x+1)故答案是：±y(x+1)y【题型6已知最简二次根式求参数】【例6】（2022春•浉河区校级期末）若二次根式5a+3是最简二次根式，则最小的正整数a为2．【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．【解答】解：若二次根式5a+3是最简二次根式，则最小的正整数a为2，故答案为：2．【变式6-1】（2022春•武江区校级期末）若a是最简二次根式，则a的值可能是（）A．﹣4 B．32 C．2 D．【分析】根据二次根式有意义的条件判断A选项；根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式判断B，C，D选项．【解答】解：A选项，二次根式的被开方数不能是负数，故该选项不符合题意；B选项，32C选项，2是最简二次根式，故该选项符合题意；D选项，8=22故选：C．【变式6-2】（2022秋•崇川区校级期末）若2m+n-2和33m-2n+2都是最简二次根式，则m＝1，n＝2【分析】利用最简二次根式定义列出方程组，求出方程组的解即可得到m与n的值．【解答】解：∵若2m+n-2和3∴m+n-2=13m-2n+2=1解得：m＝1，n＝2，故答案为：1；2．【变式6-3】（2022春•宁都县期中）已知：最简二次根式4a+b与a-b23的被开方数相同，则a+b＝8【分析】已知两个最简二次根式的被开方数相同，因此它们是同类二次根式，即：它们的根指数和被开方数相同，列出方程组求解即可．【解答】解：由题意，得：a-b=24a+b=23解得：a=5∴a+b＝8．【知识点3分母有理化】①分母有理化是指把分母中的根号化去：分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式；②两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．一个二次根式的有理化因式不止一个．【题型7分母有理化】【例7】（2022秋•曲阳县期末）把3a12abA．4b B．2b C．12b 【分析】根据二次根式的乘除法运算法则进行计算即可．【解答】解：∵a＞0，ab＞0，即a＞0，b＞0；∴3a12ab故选：D．【变式7-1】（2022•沂源县校级开学）分母有理化：（1）132=26；（2）112=36；（【分析】根据分母有理化的一般步骤计算即可．【解答】解：（1）13（2）112（3）102故答案为：26；36；【变式7-2】（2022春•海淀区校级期末）下列各式互为有理化因式的是（）A．a+b和a-b B．-a和aC．5-2和-5+2 【分析】根据有理化因式定义：如果两个含有二次根式的非零代数式相乘，它们的积不含有二次根式，就说这两个非零代数式互为有理化因式，结合各个选项中两个代数式特征作出判断即可．【解答】解：A.a+b•a-b=(a+b)(a-b)，因此a+b和a-b不是有理化因式，故选项B．-a•a=-a，所以-a和aC．（5-2）（-5+2）＝﹣（5-2）2D．（xa+yb）•（xa+yb）＝（xa+yb）2，因此xa+yb和xa+故选：B．【变式7-3】（2022•宝山区校级月考）分母有理化：2【分析】根据二次根式的性质以及运算法则即可求出答案．【解答】解：原式==(=10=(=3=10【题型8比较二次根式的大小】【例8】（2022春•海淀区校级期末）设a=22-3，b=1a，则A．a＝b B．a＞b C．a＜b D．a＞﹣b【分析】本题考查二次根式，先求出b的值，再与a比较得出结果．【解答】解：∵a＝22-∴b=1a=12所以a＞b．故选：B．【变式8-1】（2022春•金乡县期中）已知a=15-2，b＝2+5，则A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．互为有理化因式【分析】求出a与b的值即可求出答案．【解答】解：∵a=15-2=5+2∴a＝b，故选：A．【变式8-2】（2022春•长兴县期中）二次根式25，25，A．25＜25＜25 B．25【分析】本题可先将各式分母有理化，然后再比较它们的大小．【解答】解：将三个二次根式化成同分母分数比较：∵25=105，∴25故选：C．【变式8-3】（2022秋•雨城区校级期中）利用作商法比较大小比较a+1a+2【分析】根据作商比较法，看最后的比值与1的大小关系，从而可以解答本题．【解答】解：a+1a∴a+1【题型9分母有理化的应用】【例9】（2022春•大连月考）阅读材料：黑白双雄、纵横江湖；双剑合璧、天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”．如：（2+3）（2-3）＝1，（5+2）（5-2）＝解决问题：（1）4+7的有理化因式可以是4-7，232分母有理化得（2）计算：①11+②已知：x=3-13+1，y=3+13【分析】（1）找出各式的分母有理化因式即可；（2）①原式各项分母有理化，合并即可得到结果；②将x与y分母有理化后代入原式计算即可得到结果．【解答】解：（1）4+7的有理化因式可以是4-7，23故答案为：4-7；（2）①原式=2-1+3-2+⋯+②∵x=3-13+1=2-3∴x2+y2＝7﹣43+7+43=【变式9-1】（2022•潮南区模拟）“分母有理化”是根式运算的一种化简方法，如：2+32-3=(2+3)(2+3)(2+3)(2-3)=7+43；除此之外，还可以用先平方再开方的方法化简一些有特点的无理数，如要化简4+7-4-7，可以先设x=4+7-4-7，再两边平方得x2＝（4+A．3﹣22 B．3+22 C．42 D．3【分析】直接利用有理化因式以及二次根式的性质、完全平方公式分别化简得出答案．【解答】解：设x=8+4两边平方得x2=(8+43-∵8+43∴x＞0，∴x＝22，原式=6-=(6-=9-623＝3﹣22+2＝3．故选：D．【变式9-2】（2022•普定县模拟）阅读以下材料：将分母中的根号化去，