2023年新高考数学选填压轴题汇编（二十七）含答案

2023年新高考数学选填压轴题汇编（二十七）

一、单选题

1.（2023•广东广州•统考一模）己知a,b,c均为正实数，e为自然对数的底数，若a,=bec,|lna|>\\nb\,则下列

不等式一定成立的是（）

A.a+b<abB.o!/<baC.D.a2>c+l

a+b

2.（2023•广东港江才一模）已知函数〃工）及其导函数/'（工）的定义域均为R,且〃立-1）为奇函数，/'

25

（2-为+/（乃=2,/（-1）=2,则工八2—1）=（）

i=l

A.13B.16C.25D.51

3.（2023•广东注江•统考一模）已知a=（V）'",b=log910,c=lgnM!j（）

A.b>c>aB.c>b>aC.b>a>cD.c>a>b

4.（2023•湖南张家界•统考二模）鲁班锁是我国传统的智力玩具,起源于中国古代建筑中的梯卯结构，其内

部的凹凸部分啮合十分精巧.图1是一种鲁班锁玩具，图2是其直观图.它的表面由八个正三角形和六个

正八边形构成，其中每条棱长均为2.若该玩具可以在一个正方体内任意转动（忽略摩擦），则此正方体表

面积的最小值为（）

图1图2

A.96+48V2B.120+7272C.144+9672D.168+9672

5.(2023•湖北•校联考•模拟fil测)过点M(—1,2)作抛物线y2=2PHp>0)的两条切线，切点分别是4B,

若面积的最小值为4,则2=()

A.1B.2C.4D.16

6.(2023・湖北•校联考模极演测)设实数a,b,c满足L001e"=eum,b-唐需=1.001-VEOOl,c=1.001,

贝()

A.6<c<aB.6<a<cC.c<b<aD.a<c<b

7.（2023•山东聊城•统考一模）设。：。1—-,b=e1~^,c=e$-■，则（）

443

A.a<.b<.cB.b<.a<ZcC.c<fe<aD.b<.c<.a

8.（2023•山东•河北衡水中学稣背一模）高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一，享有“数学王子”

的美誉.函数/（乃=[句称为高斯函数，其中zCR,[句表示不超过z的最大整数,例如：[―1.1]=一2,

[2.5]=2,则方程[2/+1]+[句=4力的所有解之和为（）

A.4B.-yC.4D，

2424

9.（2023・福建福州・福州三中校才模楹《«|）已知&=「02"=0.。1,。=1111.01,则（）

A.c>a>6B.b>a>cC.a>fe>cD.6>c>a

10.（2023•福建厦门•员门双十中学校考模叔加凋）已知E，E分别是双曲线「:M—¥=l（a>0,b>0）的

ab

左、右焦点，过K的直线分别交双曲线左、右两支于力，3两点，点。在z轴上，CB=3瓦4,3E平分/E

BC,则双曲线『的离心率为（）

A.V7B.V5C.V3D.V2

11.（2023•利建及门•及门双十中学校才棋拟演测）已知函数〃为=log:i（3e+3）-4立，若"a-1）>

,f（2a+l）成立,则实数a的取值范围为（）

A.（—oo,-2]B.（-co,-2]U[0,+oo）

C.[-2,-]D.（-co,-2]U舟+8）

12.（2023•福篁漳州•统考三模）已知函数/⑺=26+1m+1-。和函数9（/）=力一?，具有相同的零点

c。,则e2吗n曷的值为（）

A.2B.—eC.-4D.c2

13.（2023•福建漳州•统考三模）已知正三棱锥P-ABC的侧面与底面所成的二面角为弓，侧棱=学,

OZ

则该正三棱锥的外接球的表面积为（）

A77r7兀小49兀「49兀

A・丁B.垣C.丁D.1r

14.（2023•汉茶•二M）记（LA为点、4到平面a的距离，给定四面体4-444,则满足dA=2dA（i=2,3,4）的

平面a的个数为（）

A.1B.2C.5D.8

15.（2023•江葬常州•校才一模）意大利数学家斐波那契于1202年写成《计算之书》，其中第12章提出兔子问

题，衍生出数列：1,1,2,3,5,8,13,….记该数列为{£},则E=E=1，Fn+2=E++E,neN*.如图,

由三个图（1）中底角为60°等腰梯形可组成一个轮廓为正三角形（图（2））的图形，根据改图所揭示的几何

77*2_尸2

性质，计算•方普三警)

2y2022-^2023।-^2023-^202-1

D.7

16.（2023•江苏常州•校才一模）己知不等式/3）>0的解集为若4中只有唯一整数，则称4为“和谐解

集”，若关于x的不等式sinx+cosx>2mx+|sinx-cosx|在区间（0,兀）上存在“和谐解集”，则实数m

的可能取值为（）

A.里辔B.空C.D.cosl

JZJ

17.（2023•江苏常州•校考一模）在信息时代,信号处理是非常关键的技术，而信号处理背后的“功臣”就是正

弦型函数.函数/e）=大史呼三国的图象可以近似的模拟某种信号的波形,则下列判断中不正确

i=l1

的是（）

A.函数/（⑼为周期函数，且攵为其一个周期B.函数八⑼的图象关于点（2仄,0）对称

C.函数/⑺的图象关于直线①对称D.函数/⑺的导函数/'⑺的最大值为4.

18.（2023•江苏•统考一模）设a,beR,4"=6“一2",5a=6"-2",则（）

A.l<a<bB.0<6<aC.b<0<aD.ft<a<1

19.（2023•江苏南道•海安高级中学校考一模）双曲线C：x2-y2=4的左,右焦点分别为E,E,过E作垂直于c

轴的直线交双曲线于AB两点，的内切圆圆心分别为OiQ?,。：”则△OQ。：,的

面积是（）

A.6A/2—8B.G-v/2-4C.8-4-\/2D.6-4-\/2^

20.（2023•江苏南通•模拟演浏）函数.“±）,9（3：）的定义域均为R,且/Q）+9（4—0=4,g（x）—"2—8）=

18

8,9（/）关于/=4对称，9（4）=8,则2/（2””的值为（）

m=\

A.-24B.-32C.-34D.-40

21.（2023•江苏南通•模拟fl测）双曲线G：Z-£=l（a>b>0）和椭圆C：4+乌=1的右焦点分别为斤,

a-b~a：b-

F',4—a,0）,B（a,0）,P,Q分别为上第一象限内不同于B的点，若Q4+同=4QN+Q初,

（4€7?）,而=，^磔?,则四条直线94。8©4<33的斜率之和为（）

A.1B.0C.-1D.不确定值

二、多选题

22.（2023•广东广州•统考一模）平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年

卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的，已知在平面直角坐标系xOy中，M（-2,0）,N（2,0）,

动点P满足|PAf|-|PN|=5,则下列结论正确的是（）

A.点P的横坐标的取值范围是［-V5,V5］B.\OP\的取值范围是［1,3］

C.APMN面积的最大值为yD.\PM\+\PN\的取值范围是［275,5］

23.（2023•广东广州•统考一模）己知函数/⑺=/+2Q>0）,g3）=ae-\a>0）,点P,Q分别在函数y=

/Q）的夕=g（⑼的图像上，。为坐标原点,则下列命题正确的是（）

A.若关于x的方程/（;r）-g（a;）=0在［0,1］上无解，则a>3e

B.存在P,Q关于直线“=*对称

C.若存在P,Q关于y轴对称，则0VaM2

D.若存在P,Q满足/POQ=90°,则/

24.（2023•广东注江•统考一模）已知。>0,函数/⑺=cos触+母），下列选项正确的有（）

A.若/（力）的最小正周期7=2,则<0=冗

B.当②=2时，函数/⑸的图象向右平移飞个单位长度后得到g（x）=cos2%的图象

C.若/⑺在区间带,兀）上单调递增,则0的取值范围是［1,1］

D.若/⑺在区间（0.7T）上只有一个零点，则3的取值范围是（看,看］

25.（2023•广东港江•统考一模）已知E,凡分别为双曲线C：4-g=l（a>0,b>0）的左、右焦点，点

a-bz

力（如如为双曲线。在第一象限的右支上一点，以A为切点作双曲线。的切线交力轴于点B（T2f0）,则

下列结论正确的有（）

A.0<a；2<aB./.F\AB=Z.F2AB

C.abD.若COS/&4E=W，且踮=3成，则双曲线。的离心率e=2

O

26.（2023•湖南张家界•统考•二模）已知函数/Q）=sin,+£）,则下列说法正确的有（）

A.若|/（电）一/（g）|=2,则E一词min三兀

B.将/（力）的图象向左平移与个单位长度后得到的图象关于沙轴对称

C.若/（3Z）在［0,支］上有且仅有4个零点，则3的取值范围为［号■，孕）

D.f\x）是/（z）的导函数，令g（z）=/（Z）•〃Z）.则g（x）在（06）上的值域为（0,1）

27.（2023•湖南张家界•统考二模）过抛物线E：£=2py（p>0）的焦点F的直线I交抛物线E于A,B两点

（点/在第一象限），”为线段48的中点.若［4川=2|3同=6,则下列说法正确的是（）

A,抛物线E的准线方程为y=—4

B.过A,B两点作抛物线的切线，两切线交于点N,则点N在以为直径的圆上

C.若。为坐标原点，则=竽

D.若过点R且与直线I垂直的直线m交抛物线于C,D两点，则•|8|=144

28.（2023•湖北•校联考模拟审测）如图，在正四面体A3CD中，棱A3的中点为河，棱8的中点为N,过

的平面交棱3C于P,交棱AD于Q,记多面体CAMPNQ的体积为％,多面体BDMPNQ的体积为

%，则（）

A.直线MQ与PN平行B.桨■=整

ADBC

C.点。与点D到平面MPNQ的距离相等D.%=%

29.（2023•山东商城•统考一模）已知奇函数/Q）的定义域为R,/（2）=2,对于任

意的正数都有/（X1X-2）=/（Xt）+f（x））—1,且Z>g时，都有/（X）>

0,则（）

A./七）=0

B.函数/（⑼在（—8,+8）内单调递增

C.对于任意/V0都有/（乃+/（1）=-2

D.不等式-2］<0的解集为（一1,_磊）U（2,4）

30.（2023•山东•河北衡水中学统才一模）已知/（⑼=e"，g{x}=€一'，若直线/=心（k>0）与/（0、9（4）图象交

点的纵坐标分别为n，m,且？1<2小,则（）

A..+772VB.71—TKl<ZC.（771+1）”"D.7?，"'"V（771+1）”

31.（2023•山东•河北衡水中学统考一模）己知双曲线。:《-g=l（a>0,b>0）,0为坐标原点，过。的右

a-b-

焦点R作。的一条渐近线的平行线交。于点P,交。的另一条渐近线于点Q,则（）

A.向量并在标上的投影向量为J。芹B.若△OQR为直角三角形，则。为等轴双曲线

C.若tan/OQR=-1■，则。的离心率为，TUD.若丽=4而，则。的渐近线方程为工土2。=0

32.（2023•福建福州•福州三中校号模拟覆测）已知函数/（Z）是定义在R上的奇函数，当zV0时，=e"

3+1）,则下列命题正确的是（）

A.当/>0时，/3）=e-H（z—1）B.函数/Q）有2个零点

C./（。）<0的解集为（―8,—1）U（0,1）D.V电，@6R,都有I/O）—V2

33.（2023•福t厦门门双十中学校才模拟覆浏）已知函数/⑺=simc+In必将/⑺的所有极值点按照由

小到大的顺序排列，得到数列｛以｝，对于正整数n,则下列说法中正确的有（）

A.（n—1）7C<Xn<mtB.Xn+1—Xn<兀

（2n1）7r（4n1）7t

C.｛x„--｝为递减数列D.f（x2n）>-l+ln~

34.（2023•福建漳州•统考•三模）已知数列｛呢｝,供=，且满足斯+局=Qn—%+1，九£N■，则（）

A.ai—ai=B.所的最大值为1

C・Qn+1>~~TD.y/ai+y[ci2++…+C035>10

71+1

M-x>2

35.（2023•江苏・T）已知定义域为R的奇函数/⑺，当力>0时，=卜一】'，下列叙述

yx''—2x+2,0V力M2

正确的是（）

A.存在实数k,使关于x-的方程/（⑼=fcc有7个不相等的实数根

B.当.VC2V—2时，有/⑶）>/但）

C.当OVa&Q时，/（/）的最小值为1,则1&Q43

D.若关于/的方程/⑺=1■和/（x）=m的所有实数根之和为零,则m=-1

36.（2023•江苏•二模）已知椭圆/+若=1，点尸为右焦点，直线"=k忒kW0）与椭圆交于尸，Q两点，直

线PR与椭圆交于另一点”,则（）

A.AFQM周长为定值B.直线PM与的斜率乘积为定值

C.线段P河的长度存在最小值D.该椭圆离心率为:

37.（2023•江苏常州♦校考一模）已知函数/（0=a^-x+lnc（a£R）,若对于定义域内的任意实数s,总存

在实数t使得/（t）V/（s）,则满足条件的实数a的可能值有（）

A.1B.-1C.0D.——

e

38.（2023•江苏常州•校考一模）己知点P是圆锥Q的顶点，四边形ABCD内接于Q的底面圆O},P,A,B,

C,0均在球O?的表面上，若AB=5,4C=3V5,力。=7,/民4C=ZD4C,球S的表面积是50兀,则

（）

A.BC=V10B.CD〃平面

C.P4与PC的夹角的余弦值是4D.四棱锥P—4BC。的体积是15蓼

故选：ACD.

39.（2023•江苏•统考一模）已知点4—1,0）,3（1,0），点P为圆C：x2+y2-6x—8y+17=0上的动点，则

（）

A.△凡43面积的最小值为8—4禽B.4P的最小值为22

C.NPAB的最大值为-D.AB-AP的最大值为8+4A/2

40.（2023•江苏•统考一模）已知/（叫=854。+8$3。,且仇，仇，%是/⑹在（0,兀）内的三个不同零点，则

（）

A.€{仇,62,63}B.4+仇+仇=兀

C.cosacos。2cos63=—D.cos9i+cos&+cos%=[

o2

41.（2023♦江苏南通•海安商级中学校才一模）已知函数/（a;）=asinwa:+cosa）x（a>0,«J>0）的部分图象如

图所示，其中固。|=2,且△力BC的面积为2,则下列函数值恰好等于a的是（）

42.（2023•江苏南通・海安方级中学校才一模）已知函数”⑼=6加"一e3”,其中e是自然对数的底数，下列说

法中，正确的是（）

A.f3）在（0号）是增函数

B./（a;+手）是奇函数

C./（X）在（0.7C）上有两个极值点

D.设。（±）=牛，则满足。（争t）>g（咛工r）的正整数八的最小值是2

43.（2023•江苏南通•模叔很浏）在长方体ABCD-中，=2,44=3,=4,则下列命题为真

命题的是（）

A.若直线力G与直线CD所成的角为则tang=1

B.若经过点X的直线I与长方体所有棱所成的角相等，且，与面BCG8交于点则AM=2V3

C.若经过点/的直线m与长方体所有面所成的角都为0,则sin。=乎

O

D.若经过点4的平面6与长方体所有面所成的二面角都为〃，则sin〃=乎

44.（2023•江苏南通•模拟覆测）过平面内一点P作曲线y=|lnc|两条互相垂直的切线切点为R、R

（R、2不重合），设直线小L分别与y轴交于点工、3，则（）

A.E、K两点的纵坐标之积为定值B.直线的斜率为定值

C.线段AB的长度为定值D.ZVIBP面积的取值范围为（0,1）

三、填

TP”0T<511

:'的图像与直线小"=-V交于点

{xmXyx^lsin~a

A（xi,j/i），—（如的），其中①iV42,与直线L：y=—交于两点。（力力明）、。（费，统），其中23V6，则①1

2cos

X2+X3XA的最小值为.

46.（2023•湖北•校联考模拟测）已知a,b为实数,若对任意a€R,都有（Ina+b）eT-a2ex>0恒成立,则

会的最小值为

a-------------------

47.（2023•山东聊城•统考一模）已知正四棱柱ABCD—的体积为16,E是棱3。的中点，P是侧棱

力4上的动点,直线GP交平面EHR于点P,则动点P的轨迹长度的最小值为.

48.（2023•福堂厦门•及门双十中学校才模椒1«测）设尸为双曲线—斗=l（a>0,b>0）的右焦点，A,

cib-

B分别为双曲线E的左右顶点，点P为双曲线E上异于力，8的动点，直线Z：c=t使得过R作直线力P

的垂线交直线/于点Q时总有3,P,Q三点共线，则上的最大值为

a----------------

49.（2023•江苏•二模）设过双曲线C：4—乌=l（a>0,b>0）左焦点R的直线Z与。交于M，N两点，若

a2y

FN=3立必，且OM-FN=0（O为坐标原点）,则。的离心率为

50.（2023•江苏常州•校考一模）设rr>0,y>0,且粤，则当c+1取最小值时，x2+\=

51.（2023•江苏•统考一模）直线多=t与曲线G：y=—ee+ax（a67?）及曲线。2：y=e-^+aa:分别交于点A,

R曲线G在A处的切线为人，曲线&在B处的切线为l-2.若I、相交于点。，则AABC面积的最小值

为.

52.（2023•江苏南通•海安高加中学校才一模）在一次以“二项分布的性质”为主题的数学探究活动中，立德中

学高三某小组的学生表现优异，发现的正确结论得到老师和同学的一致好评.设随机变量X~B（®p）,

记p―Cip*（l-p）'i,k=0,l,2,…,n.在研究”的最大值时，小组同学发现:若S+l）p为正整数，则k

=（n+l）p时，功产“T,此时这两项概率均为最大值:若（?1+1）「为非整数，当/::取（72+1）2的整数部

分，则必是唯一的最大值.以此为理论基础，有同学重复投掷一枚质地均匀的骰子并实时记录点数1出

现的次数.当投掷到第20次时，记录到此时点数1出现5次,若继续再进行80次投掷试验，则当投掷到

第100次时，点数1总共出现的次数为的概率最大.

53.（2023•江苏南通•模拟覆测）弓琴（如图），也可称作“乐弓”，是我国弹弦乐器的始祖.古代有“后羿射十

日”的神话，说明上古生民对善射者的尊崇，乐弓自然是弓箭发明的延伸.在我国古籍《吴越春秋》中，曾

记载着：“断竹、续竹，飞土逐肉”.弓琴的琴身下部分可近似的看作是半椭球的琴腔，其正面为一椭圆

面，它有多条弦，拨动琴弦,音色柔弱动听，现有某研究人员对它做出改进，安装了七根弦,发现声音强劲

悦耳.下图是一弓琴琴腔下部分的正面图.若按对称建立如图所示坐标系，E（-c,0）为左焦点，R（i=

1,2,3,4,5,6,7）均匀对称分布在上半个椭圆弧上，RE为琴弦，记a,=|RE|（i=1,2,3,4,5,6,7）,数列｛丽｝

前几项和为S”，椭圆方程为4•+支7=1,且a+64c=4ac,则S7+a7-128取最小值时，椭圆的离心率为

ab

四、双切

54.（2023•广东广州寺一模）在棱长为1的正方体4BC。一

中，点E、R分别是棱BC.CCi的中点，P是侧面

4DD4上的动点.且PG〃平面AEF,则点P的轨迹长为

.点P到直线4尸的距离的最小值为

55.（2023•广东注江•统考一模）已知函数/（乃=2z+1,记f⑵（x）=/（/Q））=2（2工+1）+1=4/+3为函

数/（⑼的2次迭代函数，尸3）（工）=/（f（f（a：）））=4（2®+1）+3=8x+7为函数/（，）的3次迭代函数,

…，依次类推，尸用⑺=/（/（/（…，⑺…）））,为函数/⑵的九次迭代函数函I/⑹⑺=;

〃时（32）除以17的余数是.

56.（2023•山东•河北的水中学统考一模）在三棱锥"一ABC中，4B,ACMV两两垂直，AB^AV=4,AC

=2,P为棱AB上一点，A"，KP于点”,则面积的最大值为:此时，三棱锥

A-VCP的外接球表面积为.

57.（2023•福建福州•福州三中校考模叔预测）用g（/i）表示自然数m的所有正因数中最大的那个奇数,例如：

9的正因数有1、3、9,g(9)=9,10的正因数有1、2、5、10,g(10)=5.记S(n)=g(l)+g(2)+g(3)+…

+g(2"),则(1)S(4)=.(2)S(n)=.

22r~

58.(2023•福建漳州•统考三模)已知椭圆。:空+%=l(a>b>0)的长轴长为4,离心率为今，PQ为。

a~b~2

上的两个动点，且直线OP与OQ斜率之积为一：(O为坐标原点)，则椭圆。的短轴长为，

2023年新高考数学选填压轴题汇编(二十七)

一、单选题

1.(2023•广东广州•统考一模)已知a,Ac均为正实数，e为自然对数的底数，若a,=bec,|lna|>\\nb\,则下列

不等式一定成立的是()

A.a+b<abB.o!/<baC.D.a2>c+l

a+b

【答案】。

【解析】已知a,b,c均为正实数，a=be'"na|>|lnb|,

当b=l,c=l时，a=e，满足|lna|=1>|lnb|二0成立，

对于？l,a+b=e+l>Qb=e，故>1错误；

对于3,Q''=e>ba=l,故B错误：

对于C,c=l>旦二2，故C错误，

a+be+1

对于。，由已知a=bec>be)=b,则,Ina—Infe>0.

由|lna|>|lnb|则(Ina)2—(ln&)2>0,

所以Ina+Inb>0,即ab>1,得b>,,a=bec>—ec,即a2>ec.

aa

下面证明ec>c4-1,c>0.

设/(c)=ec—c—1,/(c)=ec-1>0,所以/(c)在区间(0,+8)上单调递增，

所以/(。)=ec—c—1>/(0)=en—1=0,即ec>c+1.

所以Q2>C+I,故。正确，

故选：D

2.(2023•广东港江•统考一模)已知函数”⑼及其导函数/3的定义域均为H,且/(土一1)为奇函数，/'

25

(2-°)+八0=2,/(—1)=2,则汇“2—1)=()

i=l

A.13B.16C.25D.51

【答案】。

【解析】由f(2—rr)+f(⑼=2，令十=1,得2/(1)=2,所以—(1)=1.

由f(x—1)为奇函数，得/(工-1)=-f(—x—1),所以/'(工一l)=f(—劣—1),

故F3)=F(F—2；^.

又f(2-⑼+/3)=2②,

由①和②得f(2—⑼+F(—力-2)=2,即/(4一c-2)+/(—立-2)=2,

所以f(工)+f(簿+4)=2,③

令c=-1,得f(-1)+/(3)=2,得/(3)=0,

令z=1,得f(1)+/(5)=2，得f(5)=1.

又/(7+4)+/(3：+8)=2④，

由③一④得〃工)-A®+8)=0,即f3)=f3+8),

所以函数F3)是以8为周期的周期函数，

故/(7)=f(-1)=2,

所以/(1)+f(3)+/(5)+/(7)=1+0+1+2=4,

25

所以Z/(2i—1)=/'(1)+/'(3)+/(5)+/(7)+…+f(49)

=6[f⑴+f(3)+f(5)+f⑺]+，⑴=24+1=25,

故选：C.

3.(2023・广东港江,统考一模)已知<2=(言)"",6=108910,。=也11,则()

A.b>c>aB.c>b>aC.b>a>cD.c>a>b

【答案】A

【解析】根据指数函数和对数函数的性质，可得：

/Q\0.1/Q\0

a-(三)<(k)-l,b-log910>log99-l,c-Igll>IglO=1,

又由2=IglOO>lg99=lg9+Igll>2jlg9xIgll,所以1>lg9xIgU,故士〉Igll.

Ig9

又b=log910=7^—，所以b>c,所以b>c>a.

Ig9

故选：A.

4.(2023•湖南张家界*二模)鲁班锁是我国传统的智力玩具,起源于中国古代建筑中的柳卯结构，其内

部的凹凸部分啮合十分精巧.图1是一种鲁班锁玩具，图2是其直观图.它的表面由八个正三角形和六个

正八边形构成，其中每条棱长均为2.若该玩具可以在一个正方体内任意转动(忽略摩擦)，则此正方体表

面积的最小值为()

图1图2

A.96+48A/2B.120+7272C.144+96V2D.168+9672

【答案】。

【解析】将鲁班锁补成正方体ABCD-ABG。，然后以点4为坐标原点，

AB.AD,所在直线分别为z、"、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

在鲁班锁所在几何体上任取一个顶点P(0,蓼,2+2-),

观察图形可知，P到鲁班锁所在几何体上其他顶点的距离的最大值在

|PE|、|尸尸|、|PG|、|PH|、|PM|、|PN|、|PR|、|PS|中取得,

结合图形可知E(、/攵,0,0)、F(24-72,0,0),G(2+2A/2,V2,0),

H(2+272,2+V2,0)、M(2+V2.2+272,0),7V(V2,2+272,0),

/?(0,2+V2,0),S(0,V2,0),

则|PE『=4+(24-2/)2=16+8A/2,

|FF|2=(2+V2)2+2+(2+2V2)2=20+12^/2,

|PG『=2(24-20=244-1672,

\PH[2=2(2+2V2)2+4=28+16V2,|PM|2=(2+2A/2)2+2x(2+V2)2=24+1672,

|PN『=2+(2+V2)2+(2+2/)2=20+1272,

\PR\2=4+(2+2V2)2=16+8V2,

|PS9=(2+2/>=12+8V2,

所以P到鲁班锁所在几何体上其他顶点的距离的最大值为V28+16V2,

所以，若该玩具可以在一个正方体内任意转动(忽略摩擦)，

设该正方体的棱长的最小值为a,则a=/28+16"

该正方体的表面积为S=6/=168+96V2.

故选：D.

5.(2023•湖北•校展才模拟fil测)过点M(—1,%)作抛物线娟=2PMp>0)的两条切线，切点分别是A,B,

若面积的最小值为4,则2=()

A.1B.2C,4D.16

【答案】B

【解析】设4(电,仪),3(g,?2)(%W0,y2r0),以A为切点的切线斜率为fci,

则以A(xi,yi)为切点的切线方程为y—yi=ki(x—a；i),

22

与抛物线y—2PMp>0)联立可得：kiy—2py+2pyi—2kipxl—Q,

由△=0,即4痔-8角冲什8炭p/i=0，则4P2—8kip%+8优婿=0,

即(2p—2自%)2=0,解得屁=上-,

幼

则以Afxuyi)为切点的切线方程为y—%=—(X—Xi),即y^y—y1=p(x—Xi),

幼

所以V\V-2Pg=p(rr—g),整理可彳导yiy—p(x+x(),

同理B(X2,y-i)为切点的切线方程为y2y=p(x+谒,

因为点M(-l,y())在切线yxy—p(x+a：i)和y2y=p(x+电)，

所以认劭=pQi-l),伏皖=p(x-i-l),

故直线AB的方程为：yoy=p(x—1),

联立D'消去工,得/一2yoy—2P=0.△=4yg+8p>0.

ly=2眸

由韦达定理，得y}+y2=2y0,yly2=-2p,于是|AB|=1+学卜44+即）.

点M到直线48的距离：d=3"+2?，

就+p2

于是LMAB的面积S=j-d\AB\=/(1+或)(4/+8p)=J、"?。’,

22y/yl+pVvV>P

当Vo=0时，△MAS面积最小为2/25=4,p=2,

故选：R

6.(2023•湖北•校凝才模拟fiiaj)设实数a,6,c满足1.001ea=elMt,b-唐需=1-001-VEOOl.c=1.001,

则()

A.b<c<aB.b<.a<.cC.c<b<aD.a<c<b

【答案】3

ac

【解析】设x—1.001，则xe=&,a=x—lnxfb=x—4x+

因为a—b=Vx—-——Inx,

AVx

3-1)2

设/㈤=Inx—<0,

故/(力)在(0,+8)上单调递减，/(l)=(J,故10f,f(x)<f(l)=0,

—

即力>1时，In7V*(c—1),从而InVx<,即Inx<Vx,

Vx

所以a—b>0,故a>b;c—a=Inx>0,故c>a,

于是bVaVc,

故选：B.

7.(2023.山东期城.统考一模)设°=6匚曰"=葭；—1,。=/音,则()

A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.b<c<a

【答案】3

1cXi

【解析】a=ei-=e:---1

44

b=eT—(一十)—1

X1

c=eT-1

令/⑻=。“一2一1,

所以/3)=ex—1,

令/3)=e-l=0得2=0,

x<0时，/(％)<0,f(x)单调递减，

力>0B+,/(x)>0,/(x)单调递增，

所以*•)>/(»

所以c>a,

令g(7)=⑹一⑼-(e~+工)=ex-e~x-2x,

所以/(7)=ex+e~x-2>2Vex-e~x-2=0,

所以g(z)在(0,+8)单调递增，

P(y)>3(0)=l-l-0=0,

11/__L1\

所以6—'->(e,+，),

414/

“11-11

所以e』一---1>e——1,

44

所以a>b,

所以bVQVc,

故选：B.

8.(2023•山东•河北衡水中学统考一模)高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一，享有“数学王子”

的美誉.函数/(，)=[句称为高斯函数，其中iCR,[句表示不超过I的最大整数,例如：[-1.1]=-2,

[2.5]=2,则方程[24+1]+[句=4%的所有解之和为()

A.<B.4C.4D.-j-

2424

【答案】。

[解析]VirWR,3一eZ,使A;&2a:+1V4+1,则[2土+1]=A;,

可得号1。<与，2k-2—2k,

若k为奇数，则所以[句=与」，

二[2©+1]+[旬=k+=4c,则2A:—2(k+<2k,

解得一lVk43,.•.k=l或k=3,

当♦=1时，0&①v[,[n]=0,[2x+1]=1,l+0=4rc=>a:=-^-G,

当k=3时，Kx<[rr]=1,[2x+1]=3,3+l=4rr=>x=lG[1,等),

若k为偶数，则与ez,所以团=专一1,

/.[2x+1]+[x]=fc4-——1=4i,则2k—+—IV2k,

解得一2Vk42,・・.k=0或k=2,

当k=