初二几何经典难题集锦(含答案)

初二几何经典难题集锦(含答案)

1、在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，AB=2DC，对角线AC⊥BD，垂足为F，过点F作EF∥AB，交AD于点E，CF=4cm。⑴因为EF∥AB，所以∠EFA=∠ABC=90°，又因为AC⊥BD，所以∠ACF=∠BCE，所以∠EFC=∠EFA+∠ACF=90°+∠BCE=90°+∠DCF=∠CDF，所以四边形ABFE是等腰梯形；⑵由题意可知CF=4cm，AB=2DC，所以DC=AB/2，又因为四边形ABFE是等腰梯形，所以AE=BF=DC=AB/2，所以AE的长为AB/2。2、矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是OA、OB的中点。（1）因为E、F分别是OA、OB的中点，所以OE=OF，又因为矩形ABCD，所以AC=BD，所以△ADE≌△BCF（SAS）；（2）由题意可知AD=4cm，AB=8cm，所以AC=√(AD²+AB²)=√80，又因为E、F分别是OA、OB的中点，所以EF=1/2AB=4cm，所以OF=OE+EF=8cm，又因为△ADE≌△BCF，所以CF=DE=AC/2=√80/2，所以BF=AB-FC=8-√80/2，所以CF和OF的长分别为√80/2和8cm。3、已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=12cm，BC=8cm，DC=13cm，动点P沿A→D→C线路以2cm/秒的速度向C运动，动点Q沿B→C线路以1cm/秒的速度向C运动。P、Q两点分别从A、B同时出发，当其中一点到达C点时，另一点也随之停止。设运动时间为t秒，△PQB的面积为ycm²。（1）因为AD∥BC，所以△ABC∽△DCB，所以AB/DC=BC/AD，即12/13=8/AD，所以AD=104/13，又因为P、Q两点分别从A、B同时出发，当其中一点到达C点时，另一点也随之停止，所以当P到达C时，QC=BC-PC=8-2t，当Q到达C时，PC=AC-AP=AD-2t=104/13-2t，所以△PQB的面积为1/2*PC*QC=1/2*(104/13-2t)*(8-2t)；（2）由（1）可知，当≤t≤t0（t0为（1）中t的最大值）时，y=1/2*(104/13-2t)*(8-2t)；（3）当t=0时，P、Q均在A、B处，此时△PQB的面积为0；当t=4时，P到达C，Q停在B，此时△PQB的面积为1/2*4*4=8；当t=52/13时，Q到达C，P停在D，此时△PQB的面积为1/2*(104/13-4)*(8-4)=24，随着t的增大，△PQB的面积先增大后减小，当t=t0时，△PQB的面积取得最大值。4、AB与CD相交于E，AE=EB，CE=ED，D为线段FB的中点，GF与AB相交于点G，若CF=15cm，求GF之长。因为AE=EB，CE=ED，所以AECD是一个菱形，所以AC是对角线，所以AC⊥BD，所以∠ABD=∠ACD=90°，又因为D为线段FB的中点，所以FD=FB/2，所以△ABF∽△DCF，所以AB/DC=BF/CF，即12/8=BF/15，所以BF=45/4，又因为GF与AB相交于点G，所以GF/GA=BF/BA，即GF/(GF+AB)=45/108，所以GF=15。5、在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD，垂足为E，连接AE，F为AE上的一点，且∠BFE=∠C。（1）因为BE⊥CD，所以∠BEC=90°，又因为AB∥CD，所以∠ABE=∠DEC，所以△ABE∽△DEC，所以AE/DE=AB/DC，即AE/DE=4/3，又因为∠BFE=∠C，所以△ABF∽△EDF，所以AF/EF=AB/DE，即AF/EF=3/4，所以△ABF∽△EAF，所以∠AFB=∠EFA，所以△ABF∽△EAD；（2）因为∠BAE=30°，所以∠EAD=∠BAC-∠EAB=150°-60°=90°，又因为ABCD是平行四边形，所以AD=BC=8cm，所以AE=ADsin∠EAD=4√3，即AE的长为4√3；（3）因为AD=8cm，AE=4√3，所以DE=4cm，又因为△ABF∽△EAF，所以BF/AF=AB/AE，即BF/AF=2/√3，所以BF=2AF/√3，又因为BF+AF=AB=4，所以AF=2√3-1，所以BF=4-2√3，又因为BF/BE=AB/BE-1=3，所以BE=BF/3=4/3-2√3/3，又因为BE⊥CD，所以∠BEC=90°，所以△BEC∽△BFE，所以GF/BE=BF/CE，即GF/(4/3-2√3/3)=4-2√3/15，所以GF=2√3-1。6、如图是一个常见铁夹的侧面示意图，OA，OB表示铁夹的两个面，C是轴，CD⊥OA于点D，已知DA＝15mm，DO＝24mm，DC＝10mm，我们知道铁夹的侧面是轴对称图形，请求出A、B两点间的距离。因为铁夹的侧面是轴对称图形，所以AB∥CD，所以△OAD∽△OBC，所以OA/OB=AD/BC，即OA/OB=3/2，又因为DA＝15mm，DO＝24mm，DC＝10mm，所以OC=DC-DO=10-24=-14mm，所以OB/OA=OC/OD=-14/10=-7/5，所以OA/OB=5/7，所以AB=OA+OB=15*5/7+24*7/5=261/7mm。7、用三个全等的菱形ABGH、BCFG、CDEF拼成平行四边形ADEH，连接AE与BG、CF分别交于P、Q。（1）因为ABGH、BCFG、CDEF是全等的菱形，所以AB=BG=CG=CF=DE=AE，所以AE+DE=AD=CD=BC+CD=AB+BG+CD=2AB+CD=26，所以AE=DE=13/2，又因为AE=BG，所以△ABG是等腰三角形，所以BP=BG-2AF=AE-2AF=AE-2AE/2=AE/2=13/4；（2）观察图形可知，△ACQ与△ABG全等，因为ABGH、BCFG、CDEF是全等的菱形，所以AB=BG=CG=CF=DE=AE，所以△ABG是等腰三角形，所以∠ABG=∠ACQ，又因为ABGH、BCFG、CDEF是全等的菱形，所以∠ABG=∠BCF，所以∠ACQ=∠BCF=90°，所以△ACQ是直角三角形，所以AC²=AQ²+CQ²，即(2AE)²=(AE+CF)²+AF²，所以4AE²=AE²+2AE*CF+CF²+4AF²，即3AE²=2AE*CF+AF²，所以AF²=3AE²-2AE*CF=3*169/4-2*13/2*6=25/4，所以BF=BG-2AF=AE-2AF=AE-2*5/2=3；（3）因为ABGH、BCFG、CDEF是全等的菱形，所以AB=BG=CG=CF=DE=AE，所以AE+DE=AD=CD=BC+CD=AB+BG+CD=2AB+CD=26，所以AE=DE=13/2，又因为AE=BG，所以△ABG是等腰三角形，所以BP=BG-2AF=AE-2AF=AE-2AE/2=AE/2=13/4，所以BP是常数，所以当Q沿CF运动时，P沿BG运动，且△ACQ与△ABG全等，所以△ACQ与△ABG的面积相等，所以线段BP的长不随时间t的变化而变化。8、已知点E、F在△ABC的边AB所在的直线上，且AE=BF，FH∥FG∥AC，FH、EG分别交边BC所在的直线于点H、G。因为AE=BF，所以△ABE≌△BFA，所以∠AEB=∠BFA，所以AE∥BF，又因为FH∥FG∥AC，所以△AFG∽△AFC，所以FG/FC=AF/AC，即FG/FC=BF/BC，所以FG=FC*BF/BC，又因为FH、EG分别交边BC所在的直线于点H、G，所以FG=GH，所以GH=FC*BF/BC。（1）根据图1，如果点E、F在边AB上，则有EG+FH=AC。这个结论可以通过作垂线、利用矩形和等腰三角形的性质来证明。（2）根据图2，如果点E在边AB上，点F在AB的延长线上，则有EG:AC=BF:AF。可以通过相似三角形的对应边成比例来求得AF和BF的长度，从而得出EG的长度。（3）根据图3，如果点E在AB的反向延长线上，点F在AB的延长线上，则有FH:AC=BF:AE。同样可以通过相似三角形的对应边成比例来求得AE和BF的长度，从而得出FH的长度。以下是对原文的改写和修正：（1）根据图1，如果点E、F在边AB上，则有EG+FH=AC。这个结论可以通过作点D到边AB的垂线，利用矩形和等腰三角形的性质来证明。（2）根据图2，如果点E在边AB上，点F在AB的延长线上，则有EG:AC=BF:AF。可以通过相似三角形的对应边成比例来求得AF和BF的长度，从而得出EG的长度。（3）根据图3，如果点E在AB的反向延长线上，点F在AB的延长线上，则有FH:AC=BF:AE。同样可以通过相似三角形的对应边成比例来求得AE和BF的长度，从而得出FH的长度。(1)根据矩形的对边相等、对角线相等且相互平分等性质，可以证明△ADE≌△BCF。(2)要求CF的长度，可以在直角三角形中使用勾股定理求解。为此，需要添加辅助线，过点F作FG⊥CD于点G，然后应用相似三角形的性质，得到△DFG∽△DBC。由于(1)的结论可得DF=3FB，因此可以算出FG、DG的值，进而求得CF的长度。(2)在梯形ABCD中，AD∥BC、∠B=90°，过D作DE⊥BC于E点，如图所示。因此，四边形ABED为矩形，DE=AB=12cm。在直角三角形DEC中，DE=12cm，DC=13cm，因此EC=5cm。又有AD=BE=BC-EC=3cm。点P从出发到点C共需8秒，点Q从出发到点C共需8秒。由于t≥0，因此0≤t≤8。当t=3秒时，AP=3，即P运动到D点。因此，当3≤t≤8时，点P在DC边上。过点P作PM⊥BC于M，如图所示。因此，PM∥DE，且PC=16-2t。可以利用比例关系得到PM的长度，即PM=12/13(16-2t)。(3)由(2)知y=-12/13t^2+96/13t，因此y=-12/13(t-4)^2+192/13。顶点坐标是(4,192/13)，抛物线的开口向下，即抛物线被对称轴分成两部分。在对称轴的左侧（t＜4），△PQB的面积随着t的增大而增大；在对称轴的右侧（t＞4）时，△PQB的面积随着t的增大而减小；即当0≤t＜4时，△PQB的面积随着t的增大而增大；当4≤t≤8时，△PQB的面积随着t的增大而减小。（12分）注：①上述不等式中，“0≤t＜4”、“4≤t≤8”写成“t＜4”、“t＞4”也得分。②若学生答：当点P在AD上运动时，△PQB的面积随着t的增大而增大；当点P在DC上运动时，△PQB的面积随着t的增大而增大，之后又随着t的增大而减小，给2分；③若学生答：△PQB的面积先随着t的增大而减小，给1分。解答：因为AE=EB，CE=ED，∠AEC=∠BED，所以△AEC≌△BED，因此∠ACE=∠EDB，∠EAC=∠EBD，AC=BD。又因为D为线段FB的中点，所以AC∥FD，因此四边形ACFD为平行四边形，因此△AGC∽△BGF，所以CG/GF=AC/FB=1/2，因此CF-GF/GF=1/2，又因为CF=15cm，解得GF=10cm，因此GF=10cm。解答：（1）因为AD∥BC，所以∠C+∠ADE=180°。又因为∠BFE=∠C，所以∠AFB=∠EDA。因为AB∥DC，所以∠BAE=∠AED，所以△ABF∽△EAD。（2）因为AB∥CD，BE⊥CD，所以∠ABE=90°。因为AB=4，∠BAE=30°，设AE=x，则BE=2x，由勾股定理得x=2，因此AE=2，所以AB=2AE=4。（3）因为△ABF∽△EAD，所以AB/ED=BF/AD，因此ED=2BF，所以DE=BD-EB=4-2=2。因为BF=√3，所以ED=2√3。因此，AB+ED=4+2√3。解答：作出示意图，连接AB，同时连结OC并延长交AB于E。因为夹子是轴对称图形，故OE是对称轴，因此OE⊥AB，AE=BE。所以Rt△OCD∽Rt△OAE，因此OC/EA=CD/AE，因此CD=OC×AE/EA=20×15/30=10。因此，AE=15-10=5，所以AB=2AE=10。答：AB两点间的距离为10mm。7.解答：(1)由全等菱形ABGH、BCFG、CDEF可得BC=CD=DE=AB=6，且BG∥DE。因此，AD=3AB=3×6=18，∠ABG=∠D，∠APB=∠AED，从而△ABP∽△ADE。因此，BP/DE=AB/AD，即BP=2，DE=6。(2)由全等菱形ABGH、BCFG、CDEF可得AB=BC=EF=FG，因此AB+BC=EF+FG，即AC=EG。又因为AD∥HE，所以∠1=∠2；因为BG∥CF，所以∠3=∠4。因此，△EGP≌△ACQ。8.解答：(1)因为FH∥EG∥AC，所以∠BFH=∠BEG=∠A，且△BFH∽△BEG∽△BAC。又因为BF=EA，所以AC=FH+EG。(2)过