2022-2023学年云南省昆明市第十五中学高一数学理下学期期末试题含解析

2022-2023学年云南省昆明市第十五中学高一数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列四组函数中表示同一个函数的是（

）A．与B．与

C．与

D．与参考答案：A略2.菱形ABCD边长为2，∠BAD=120°，点E，F分别别在BC，CD上，=λ，=μ，若?=1，?=﹣，则λ+μ=（）A．B．C．D．参考答案：C3.如果方程表示圆，那么的取值范围是（

）A．

B．

C． D．参考答案：B略4.已知是空间两点，点在轴上，且,则点的坐标为

.参考答案：略5.现用系统抽样方法从已编号（1﹣60）的60枚新型导弹中，随机抽取6枚进行试验，则所选取的6枚导弹的编号可能是（）A．5，10，15，20，25，30 B．2，4，8，16，32，48C．5，15，25，35，45，55 D．1，12，34，47，51，60参考答案：C【考点】系统抽样方法．【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计．【分析】由系统抽样的特点知，将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，分段的间隔要求相等，这时间隔一般为总体的个数除以样本容量．从所给的四个选项中可以看出间隔相等且组距为10的一组数据是由系统抽样得到的．【解答】解：从60枚某型导弹中随机抽取6枚，采用系统抽样间隔应为=10，只有C答案中导弹的编号间隔为10，故选：C．【点评】一般地，要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，可将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本．6.设非零向量、、满足，则（A）150°B）120°

（C）60°

（D）30°参考答案：解析：由向量加法的平行四边形法则，知、可构成菱形的两条相邻边，且、为起点处的对角线长等于菱形的边长，故选择B。7.A．

B．

C．

D．1

参考答案：C8.若且，则是

（

）A．第一象限角

B．第二象限角

C．第三象限角

D．第四象限角参考答案：C9.下列所给4个图像中，与所给3件事吻合最好的顺序为

（

）（1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学；（2）我离开家后骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；（3）我离开家出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速。A、（1）（2）（4）

B、（4）（2）（3）

C、（4）（1）（3）

D、（4）（1）（2）参考答案：D10.函数的定义域为R，则实数k的取值范围为

()A．k<0或k>4

B．k≥4或k≤0

C．0<k<4

D．0≤k<4参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知一组数据的平均数是2，方差是13，那么另一组数据的平均数和方差分别是

参考答案：，12.数列{an}中，前n项的和Sn=n2+1，则an=

。参考答案：13.设aR，若x＞0时均有[(a－1)x－1](x2－ax－1)0，则a＝______________．参考答案：略14.如图所示是一算法的伪代码，执行此算法时，输出的结果是

．参考答案：315.如图是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等．相传这个图形表达了阿基米德最引以自豪的发现．我们来重温这个伟大发现．经计算球的体积等于圆柱体积的倍．参考答案：【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】根据两图形的关系可得圆柱的底面半径与球的半径相等，设半径为r，计算出两几何体的体积，求出比值即可．【解答】解：∵圆柱内切一个球，∴圆柱的底面半径与球的半径相等，不妨设为r，则圆柱的高为2r，∴V圆柱=πr2?2r=2πr3，V球=．∴球与圆柱的体积之比为2：3，即球的体积等于圆柱体积的倍．故答案为．【点评】本题考查了旋转体的结构特征，体积计算，属于基础题．16.已知，那么的值为

。参考答案：17.设扇形的周长为，面积为，则扇形的圆心角的弧度数是

。参考答案：

解析：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=x2﹣3x+2，求f（x）的解析式．参考答案：【考点】函数奇偶性的性质．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】利用奇函数求出f（0），然后求解x＞0的解析式即可．【解答】解：f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=x2﹣3x+2，所以f（0）=0，设x＞0，则﹣x＜0，所以f（x）=﹣f（﹣x）=﹣[（﹣x）2﹣（﹣3x）+1]=﹣x2﹣3x﹣2．所以f（x）=．【点评】本题考查函数的解析式的求法，函数的奇偶性的应用，考查计算能力．19.已知向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），=（﹣1，0）． （1）求向量的长度的最大值； （2）设α=，且⊥（），求cosβ的值． 参考答案：【考点】平面向量数量积的运算；向量的模；数量积判断两个平面向量的垂直关系． 【分析】（1）利用向量的运算法则求出，利用向量模的平方等于向量的平方求出的平方，利用三角函数的平方关系将其化简，利用三角函数的有界性求出最值． （2）利用向量垂直的充要条件列出方程，利用两角差的余弦公式化简得到的等式，求出值．【解答】解：（1）=（cosβ﹣1，sinβ），则 ||2=（cosβ﹣1）2+sin2β=2（1﹣cosβ）． ∵﹣1≤cosβ≤1， ∴0≤||2≤4，即0≤||≤2． 当cosβ=﹣1时，有|b+c|=2， 所以向量的长度的最大值为2． （2）由（1）可得=（cosβ﹣1，sinβ）， （）=cosαcosβ+sinαsinβ﹣cosα=cos（α﹣β）﹣cosα． ∵⊥（）， ∴（）=0，即cos（α﹣β）=cosα． 由α=，得cos（﹣β）=cos， 即β﹣=2kπ±（k∈Z）， ∴β=2kπ+或β=2kπ，k∈Z，于是cosβ=0或cosβ=1． 【点评】本题考查向量模的性质：向量模的平方等于向量的平方、向量垂直的充要条件；三角函数的平方关系、三角函数的有界性、两角差的余弦公式． 20.已知函数f（x）满足f（logax）=（x﹣x﹣1），其中a＞0，a≠1，（1）讨论f（x）的奇偶性和单调性；（2）对于函数f（x），当x∈（﹣1，1）时，f（1﹣m）+f（﹣2m）＜0，求实数m取值的集合；（3）是否存在实数a，使得当x∈（﹣∞，2）时f（x）的值恒为负数？，若存在，求a的取值范围，若不存在，说明理由．参考答案：【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明；函数恒成立问题．【分析】（1）利用换元法，求出函数的解析式，再讨论f（x）的奇偶性和单调性；（2）由f（x）是R上的奇函数，增函数，f（1﹣m）+f（﹣2m）＜0有﹣1＜1﹣m＜2m＜1，即可求实数m取值的集合；（3）由x＜2，得f（x）＜f（2），要使f（x）的值恒为负数，则f（2）≤0，求出a的范围，可得结论．【解答】解：（1）令logax=t，则x=at，∴f（t）=（at﹣a﹣t），∴f（x）=（ax﹣a﹣x），…因为f（﹣x）=（a﹣x﹣ax）=﹣f（x），所以f（x）是R上的奇函数；…当a＞1时，＞0，ax是增函数，﹣a﹣x是增函数所以f（x）是R上的增函数；当0＜a＜1时，＜0，ax是减函数，﹣a﹣x是减函数，所以f（x）是R上的增函数；综上所述，a＞0，a≠1，f（x）是R上的增函数…（2）由f（x）是R上的奇函数，增函数，f（1﹣m）+f（﹣2m）＜0有﹣1＜1﹣m＜2m＜1，解得＜m＜

…（3）因为f（x）是R上的增函数，由x＜2，得f（x）＜f（2），要使f（x）的值恒为负数，则f（2）≤0，即f（2）=（a2﹣a﹣2）≤0解得a＜0，与a＞0，a≠1矛盾，所以满足条件的实数a不存在．…21.求下列各式的值：(1)；(2)．参考答案：（1）（2）【分析】（1）根据诱导公式，先将原式化简，再由特殊角对应的三角函数值，即可得出结果；（2）根据诱导公式，先将原式化简，再由特殊角对应的三角函数值，即可得出结果.【详解】解：（1）原式；（2）原式.【点睛】本题主要考查三角函数的化简求值问题，熟记诱导公式即可，属于常考题型.22.（12分）（2015秋淮北期末）已知圆的圆心为坐标原点，且经过点（﹣1，）． （1）求圆的方程； （2）若直线l1：x﹣y+b=0与此圆有且只有一个公共点，求b的值； （3）求直线l2：x﹣=0被此圆截得的弦长． 参考答案：【考点】直线与圆的位置关系． 【专题】直线与圆． 【分析】（1）由已知得圆心为（0，0），由两点间距离公式求出半径，由此能求出圆的方程． （2）由已知得l1与圆相切，由圆心（0，0）到l1的距离等于半径2，利用点到直线的距离公式能求出b． （3）先求出圆心（0，0）到l2的距离d，所截弦长l=2，由此能求出弦长． 【解答】解：（1）∵圆的圆心为坐标原点，且经过点（﹣1，）， ∴圆心为（0，0），半径r==2， ∴圆的方程为x2+y2=4．…（4分）