2021年辽宁省沈阳市新民第二高级中学高三数学理模拟试题含解析

2021年辽宁省沈阳市新民第二高级中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若空间三条直线a、b、c满足，则直线（

） A．一定平行 B．一定相交 C．一定是异面直线

D．一定垂直参考答案：D2.如图，单位正方体中，下列说法错误的是（A）（B）若，则（C）若点在球心为的球面上，则点在该球面上的球面距离为（D）若，则三线共点参考答案：C3.进入互联网时代，经常发送电子邮件，一般而言，发送电子邮件要分成以下几个步骤：A．打开电子邮件；(b)输入发送地址；(c)输入主题；(d)输入信件内容；(e)点击“写邮件”；（f）点击“发送邮件”；正确的步骤是A.

B.C.

D.参考答案：C4.直线与函数的图像相切于点，且，为坐标原点，为图像的极大值点，与轴交于点，过切点作轴的垂线，垂足为，则=（

）A.2

B.

C.

D.

参考答案：D略5.有一个正方体，六个面上分别写有数字1、2、3、4、5、6，有三个人从不同的角度观察的结果如图所示．如果记3的对面的数字为m，4的对面的数字为n，那么的值为A．3

B．7

C．8

D．11参考答案：答案：C6.设P为直线3x+4y+3=0上的动点，过点P作圆C：x2+y2﹣2x﹣2y+1=0的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB的面积最小时∠P=(

) A．60° B．45° C．30° D．120°参考答案：A考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题．分析：由题意画出图形，判断四边形面积最小时P的位置，利用点到直线的距离求出PC，然后求出∠P的大小．解答： 解：圆C：x2+y2﹣2x﹣2y+1=0，即圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，圆心坐标（1，1），半径为1；由题意过点P作圆C：x2+y2﹣2x﹣2y+1=0的两条切线，切点分别为A，B，可知四边形PACB的面积是两个三角形的面积的和，因为CA⊥PA，CA=1，显然PC最小时四边形面积最小，即PC最小值==2．，∠CPA=30°，所以∠P=60°．故选A．点评：本题考查直线与圆的位置关系，正确判断四边形面积最小时的位置是解题的关键，考查计算能力．7.已知x1、x2是函数f（x）=﹣3的两个零点，若a＜x1＜x2，则f（a）的值是(

) A．f（a）=0 B．f（a）＞0 C．f（a）＜0 D．f（a）的符号不确定参考答案：D考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：将函数的零点问题转化为求两个函数的交点问题，通过图象读出g（a），h（a）的大小，从而解决问题．解答： 解：令f（x）=0，∴ex=3x，令g（x）=ex，h（x）=3x，如图示：，由图象可得：x＜x1时，ex＞3x，∴f（x）=，∴f（a）=，∵ea﹣3a＞0，∴a＞0时：f（a）＞0，当a＜0时：ea﹣3a＞0，a＜0，∴f（a）＜0，故选：D．点评：本题考察了函数的零点问题，渗透了转化思想，数形结合思想，是一道基础题．8.设直线x=t与函数和函数的图像分别交于点M,N,则当达到最小时t的值为（

）A.1

B.

C.

D.参考答案：D略9.如图，一个“凸轮”放置于直角坐标系X轴上方，其“底端”落在原点O处，一顶点及中心M在Y轴正半轴上，它的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成.今使“凸轮”沿X轴正向滚动前进，在滚动过程中“凸轮”每时每刻都有一个“最高点”，其中心也在不断移动位置，则在“凸轮”滚动一周的过程中，将其“最高点”和“中心点”所形成的图形按上、下放置，应大致为（

）参考答案：A本题考查了动点的轨迹问题，凸显数形结合思想在几何直观中的作用。难度偏高。根据中心M的位置，可以知道中心并非是出于最低与最高中间的位置，而是稍微偏上，随着转动，M的位置会先变高，当C到底时，M最高，排除CD选项，而对于最高点，当M最高时，最高点的高度应该与旋转开始前相同，因此排除B,选A。10.已知为虚数单位，且复数为纯虚数，则实数的值是（

）。

A.0或1

B.

C.0

D.1参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设a，b∈R，关于x的方程（x2﹣ax+1）（x2﹣bx+1）=0的四个实根构成以q为公比的等比数列，若q∈[，2]，则ab的取值范围为．参考答案：【考点】等比数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】利用等比数列的性质确定方程的根，由韦达定理表示出ab，再利用换元法转化为二次函数，根据Q的范围和二次函数的性质，确定ab的最值即可求出ab的取值范围．【解答】解：设方程（x2﹣ax+1）（x2﹣bx+1）=0的4个实数根依次为m，mq，mq2，mq3，由等比数列性质，不妨设m，mq3为x2﹣ax+1=0的两个实数根，则mq，mq2为方程x2﹣bx+1=0的两个根，由韦达定理得，m2q3=1，m+mq3=a，mq+mq2=b，则故ab=（m+mq3）（mq+mq2）=m2（1+q3）（q+q2）=（1+q3）（q+q2）=+，设t=，则=t2﹣2，因为q∈[，2]，且t=在[，1]上递减，在（1，2]上递增，所以t∈[2，]，则ab=t2+t﹣2=，所以当t=2时，ab取到最小值是4，当t=时，ab取到最大值是，所以ab的取值范围是：．【点评】本题考查等比数列的性质，韦达定理，以及利用换元法转化为二次函数，考查学生分析解决问题的能力，正确转化是解题的关键．12.（坐标系与参数方程）直线与圆相交的弦长为

.参考答案：.

直线与圆的普通方程为，圆心到直线的距离为，所以弦长为.13.已知正项数列{an}的首项为1，前n项和为Sn，对任意正整数m，n，当时，总成立，若正整数p，q满足，则的最小值为 .

参考答案：由题意，，则，，则，同理可知，，，所以，，，所以最小为。

14.已知矩阵为单位向量，且，的值

参考答案：15.若变量满足，则的取值范围是____________参考答案：略16.数列{an}满足，则

．参考答案：117.（选修4—5不等式选讲）若对于任意实数x不等式恒成立，则实数的取值范围是：

.参考答案：令，则，所以函数的最小值为，所以要使对于任意实数x不等式恒成立，只需。【答案】【解析】略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）近年来空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重，大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病.为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机对入院50人进行了问卷调查，得到如下的列联表：

患心肺疾病不患心肺疾病合计男20525女101525合计302050

⑴用分层抽样的方法在患心肺疾病的人群中抽6人，其中男性抽多少人？⑵在⑴中抽取的6人中选2人，求恰有一名女性的概率；⑶根据以上列联表，问：有多大把握认为心肺疾病与性别有关？参考公式与临界值表：，其中.P(K2≥k0)0.250.100.050.0100.0050.001k01.3232.7063.8416.6357.87910.828参考答案：⑴男性应该抽取人

………2分⑵.……8分

⑶，且有的把握认为是否患心肺疾病是与性别有关系.…………12分19.如图，在四棱锥中，//，，，，平面平面．（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）若直线与平面所成的角的正弦值为

，求二面角的平面角的余弦值．参考答案：法一（Ⅰ）取中点，连接，则，∴四边形是平行四边形，∴//∵直角△和直角△中，∴直角△直角△，易知∴

2分∵平面平面，平面平面∴平面∴，

4分∵∴平面.

5分∴平面平面.

6分（Ⅱ）设交于，连接，则是直线与平面所成的角.设由△△，知，∵∴，∵∴，

9分作于，由，知平面，∴，∴是二面角的平面角.

10分∵△△，∴，而∴∴，∴，即二面角的平面角的余弦值为.

12分法二：（Ⅰ）∵平面平面，平面平面，∴平面又∵，故可如图建立空间直角坐标系

2分由已知，，，（）∴，，∴，，∴，，∴平面.

4分∴平面平面

6分（Ⅱ）由（Ⅰ），平面的一个法向量是，设直线与平面所成的角为，∴，∵∴，即

8分设平面的一个法向量为，，由，∴，令，则

10分∴，

11分显然二面角的平面角是锐角，∴二面角的平面角的余弦

12分

略20.

本小题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形是矩形，四边形是梯形，平面//，，，.（Ⅰ）求证：//平面；（Ⅱ）求证：平面.参考答案：证明：（Ⅰ）连接.因为//,//所以//……………2分又所以四边形是平行四边形所以//…4分又平面，平面

所以//平面．…………6分（Ⅱ）取的中点,连接,则.又//，故四边形是平行四边形.所以所以是直角三角形，所以⊥…………8分又所以⊥

………11分又,,所以………12分21.（本小题满分13分）在中，.（Ⅰ）若，求的大小；（Ⅱ）若,求的面积的最大值.参考答案：（1），（2）．试题分析：（Ⅰ）因为由正弦定理可得，再利用余弦定理得所以即，所以为等边三角形.所以（注：当然也可用化角来处理）；（Ⅱ）由已知可得.所以，又.所以试题解析：（Ⅰ）方法一：因为且，所以.

………………2分又因为

，

………………4分所以.所以.所以.

………………6分因为，所以为等边三角形.所以.

………………7分（Ⅱ）因为，且，所以.

所以

………………9分（当且仅当时，等号成立）.

………………11分因为，所以.所以.所以.所以当是边长为1的等边三角形时，其面积取得最大值.………………13分考点：三角函数的性质与解三角形22.已知E，F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BC和CD的中点，求：