2023年湖南省邵阳市绥宁县中考数学一检试卷含解析

2023年湖南省邵阳市绥宁县中考数学一检试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

若反比例函数y=［的图象经过点（一1,3）,那么k的值是（）

A.3B.-3C-1D--I

2.方程然=2023%的解是（）

A.%=2023B.x=-2023

C.x=0或2023D.x=2023或-2023

3.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体是（）

D.棱柱

4.在Rt△力BC中，ZC=90°,若2C=2BC,贝iJcosB的值是（）

B.?D?

A垓C中

5.下列命题中，真命题是（）

A.两个等腰三角形一定相似B.两个直角三角形一定相似

C.两个菱形一定相似D.两个等边三角形一定相似

6.若y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则关于％的方程a/+

bx+c=0的另一个解为（）

A.

B.

C.0

D.1

7.如图。。的直径ABJ■弦CD,连接OC,BC,若NDCO=20。，那么

NBCO的度数为（）

A.35°

B.40°

C.30°

D.28°

8.如图，已知△ABC和△ABC都是00的内接三角形，AC和BD相交于

点E,则与AADE相似的三角形是（）D

A.△BCE

B.XABC

C.^ABD

D.2ABE

9.若一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y=a/+bx的图象只

B.4个

C.3个

D.2个

二、填空题（本大题共8小题，共24分）

11.在平面直角坐标系中，抛物线丫=（巾+2）/一3%+6开口向下，那么ni的取值范围

是一•

12.已知一1是一元二次方程27-mx-3=0的一个根，那么该方程的另一个根是一

13.如图，AB为。。的直径，C,。为。。上两点，若NBCD=40。,

则Z.ABD的大小为

14.如图，已知。。的直径4B为10,弦CD=8,CDJ.AB于点E,则

sin/OCE的值为—.

15.如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成两部分，SA4D£：

S四边形BDEC=4：5,则行的值是___•

16.现分别有长2cm和5cm的两条线段，再从下列长度：lezn、2czn、3cm、4cm、5cm、6cm、

7cm,8cm的线段中随机选取一条组成一个三角形，那么能组成三角形的概率是

17.在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2-2x-3向左平移2个单位，再向上平移3个单位,

得到的抛物线顶点坐标是

18.如图，△AOB是直角三角形，AAOB=90°,乙ABO

点4在反比例函数y=:的图象上，若点8在反比例函数y

象上，则k=.

三、解答题（本大题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.（本小题分）

0

ilM：（-1）-2023x（1_V-5）-yT2cos45°tan60°-|7-3-2|.

20.(本小题分)

如图，△A8C是等边三角形，点。、E分别在CB、4c的延长线上，^ADE=60°.

(1)请找出图中相似的三角形;

(2)请选择其中一对说明理由.

21.(本小题分)

如图，在平面直角坐标系中，直线y=x-Tn与x轴交于点力(-2,0),与反比例函数y=5在第

一象限内的图象交于点B(2,zi),连接BO.

(1)求该反比例函数的解析式和直线4B的解析式；

(2)若直线AB与y轴的交点为C,求△OCB的面积.

22.(本小题分)

游泳是一项深受青少年喜爱的体育活动，学校为了加强学生的安全意识，组织学生观看了纪

实片“孩子，请不要私自下水”，并于观看后在本校的2000名学生中作了抽样调查.请根据

下面两个不完整的统计图回答以下问题：

(1)这次抽样调查中，共调查了名学生；

(2)补全两个统计图；

（3）根据抽样调查的结果，估算该校2000名学生中大约有多少人“一定会下河游泳”？

23.（本小题分）

为满足市场需求，某服装超市在六月初购进一款短袖7恤衫，每件进价是80元；超市规定每

件售价不得少于90元，根据调查发现：当售价定为90元时，每周可卖出600件，一件7恤衫售

价每提高1元，每周要少卖出10件.若设售价为X。290）元，每周所获利润为（?（元），请解答

下列问题：

（1）每周短袖7恤衫销量为y（件），则y=一（含x的代数式表示）,并写出Q与x的函数关系式；

（2）当售价x定为_元时，该服装超市所获利润最大，最大利润为_元；

（3）该服装超市每周想从这款7恤衫销售中获利8500元，又想尽量给客户实惠，该如何给这款

7恤衫定价？

24.（本小题分）

如图，四边形4BCD是某水库大坝的横截面示意图，坝高8米，背水坡的坡角为45。，现需要

对大坝进行加固，使上底加宽2米，且加固后背水坡的坡度i=l：2,求加固后坝底增加的宽

度4F的长.

25.（本小题分）

如图，4B是00的直径，点F、C在。。上且R=瑟，连接AC、AF,过点C作CDJ.AF交4F

的延长线于点。.

（1）求证：直线。。是。0的切线；

（2）若4a4。=30。，CD=y/~3,求蔡的长.

a

26.(本小题分)

如图，一次函数y=gx+2与x轴，y轴分别交于力、C两点，二次函数丫=QM+故+c的图

象经过4、C两点，与x轴交于另一点B,其对称轴为直线％=-|.

(1)求该二次函数表达式；

(2)在y轴的正半轴上是否存在一点M,使以点M、0、B为顶点的三角形与仆人。。相似，若存

在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由；

(3)在对称轴上是否存在点P,使△PAC为等腰三角形，若存在，求出点P的坐标；若不存在,

请说明理由.

X

答案和解析

1.【答案】B

解：•反比例函数y=5的图象经过点(一1,3),

k

••・3Q=廿

解得k=-3,

故选：B.

根据反比例函数y=5的图象经过点(-1,3),可以得到3=告，即可得到k的值.

本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确k=xy.

2.【答案】C

解：丫x2=2023%.

x2—2023x=0,

x(x-2023)=0,

%=0或2023.

故选：C.

用因式分解法解一元二次方程即可.

本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公

式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法.

3.【答案】A

解：俯视图为圆的几何体为球，圆锥，圆柱，再根据其他视图，可知此几何体为圆柱.

故选:A.

主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形，从而得出答案.

本题考查由三视图确定几何体的形状，主要考查学生空间想象能力.

4.【答案】B

解：如图.

VZ-C=90°,AC=2BC=x,

••AB=VBC2+AC2=V%2+4x2=\TSx-

nBCXyTS

-,-COSB=A§=7^=--

故选：B.

如图，由NC=90°,AC=2BC=x,根据勾股定理得=VBC2+AC2=V%2+4x2=，三工.再

根据余弦值的定义得cosB=躇=备=罕.

ABV5x5

本题主要考查勾股定理、锐角三角函数的定义，熟练掌握勾股定理以及锐角三角函数的定义是解

决本题的关键.

5.【答案】D

解：A两个等腰三角形对应角不一定相等，故不一定相似，故此选项不合题意；

B.两个直角三角形对应角不一定相等，故不一定相似，故此选项不合题意；

C.两个菱形对应角不一定相等，故不一定相似，故此选项不合题意；

D两个等边三角形一定相似，故此选项符合题意.

故选：D.

直接利用等腰三角形、直角三角形、菱形、等边三角形的性质，结合相似图形的判定方法判断得

出答案.

此题主要考查了命题与定理以及相似图形，正确掌握相似图形的判定方法是解题关键.

6.【答案】B

解：・•・根据图示知，抛物线与x轴的一个交点是(3,0)对称轴为x=l,

・•・根据对称性，抛物线与x轴的另一交点为(-1,0),

.♦.令y=0,HPax2+bx+c=0,

二方程a/+bx+c=0的解是Xi=-ITx2=3.

即方程的另一解为一1,.

故选:B.

根据抛物线的轴对称性即可求得抛物线与x轴的两个交点的坐标，这两个交点的横坐标就是方程

ax2+bx+c=0的解.

本题考查了抛物线与x轴的交点，解题时:注意二次函数y=ax2+bx+c与方程a-+"+c=0

间的关系.

7.【答案】A

解：•••AB_LCD,

乙DCO+Z.AOC=90°,

乙4OC=90°-20°=70°,

・•・^ABC=^AOC=35°,

vOB=OC,

:.乙BCO=乙ABC=35°.

故选：A.

先根据垂直的定义可计算出乙40c=70°,再根据圆周角定理得到4aBe=35°,然后利用OB=0C

得至UNBC。=乙4BC.

本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的

圆心角的一半.

8.【答案】A

解：•••Z.BCE=Z.BDA,^.CEB=Z.DEA

•••△ADE^-^BCE,

故选：A.

根据同弧和等弧所对的圆周角相等，则力B弧所对的圆周角NBCE=NBD4NCEB和nDE4是对顶

角，所以△40E-ABCE.

考查相似三角形的判定定理：两角对应相等的两个三角形相似.

9.【答案】C

解：•••一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限，

•••a<0,b<0,

.,.二次函数y=ax2+bx的开口向下，对称轴在y轴左侧，

故选：C.

根据一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限判断出a、b的符号，从而判断出函数开口

方向，对称轴的位置，据此即可判断.

本题考查了一次函数图象与系数的关系，二次函数图象，根据直线判断出函数解析式的系数的符

号是解题的关键.

10.【答案】B

【解析】

【分析】

主要考查图象与二次函数系数之间的关系.此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用.

由开口方向、与y轴交于负半轴以及对称轴的位置，即可确定a,b,c的正负；由对称轴x=—/=1,

可得6+2a=0；由抛物线与x轴的一个交点为(-2,0),对称轴为：x=l,可得抛物线与支轴的另

一个交点为(4,0)；当％=—1时,y=Q—b+cV0；Q—b+cV0,b+2Q=0,即可得3a+cV0.

【解答】

解：丁开口向上，

a>0,

・・•与y轴交于负半轴，

AC<0,

:对称轴x=—?>0,

2a

••b<0,

・•・abc>0,

故①正确；

•・•对称轴％=—?=1,

2a

・•・b+2Q=0,

故②正确；

•・・抛物线与％轴的一个交点为(一2,0),对称轴为：x=1,

.•・抛物线与x轴的另一个交点为(4,0),

故③正确；

•.•当x=—1时，y=a—b+c<0,

・•・a+cvb,

故④错误；

va—b+c<0,b+2a=0,

・•・3Q+c<0；

故⑤正确.

故选8.

11.【答案】m<-2

解：抛物线y=(?n+2)x2—3x+ni开口向下，

m+2<0,

・•・m<—2.

故答案为：tn<—2.

根据抛物线开口向下可得m+2V0,进而求解.

本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质.

12.【答案】|

解：设方程另一根为打，

则一1xx=

422

解得：X2=|.

故方程的另一个根是|.

故答案为：|.

设方程另一根为小，根据根与系数的关系得到-1XX2=-|，然后解此方程即可.

本题考查了根与系数的关系：若与,右是一元二次方程。X2+以+©=09片0)的两根时，与+

bc

全=一1

13.【答案】50°

解：连接力C,如图,

•"B为。。的直径,

：.UCB=90°,\”I/

Z.ACD=90°-^BCD=90°-40°=50°,、

4ABD=^ACD=50°.

故答案为50。.

连接4C,如图，先利用圆周角定理得到N4CB=90。，则利用互余计算出44CD=50。，然后再利

用圆周角定理得到448。的度数.

本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的

圆心角的一半.推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90。的圆周角所对的弦是直径.

14.【答案】|

解：「AB是。0的直径，弦CDJ.4B,

CE=Q=^X8=4,OC==|x10=5,

OE=VOC2-CE2=V52-42=3,

0E

・•・si.nzOCE=—=3

故答案为:|.

由AB是OO的直径，弦CD148,根据垂径定理，可求得CE的长，然后由勾股定理即可求得OE,

继而求得sinzOCE的值.

此题考查了垂径定理、勾股定理以及三角函数.此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用.

15.【答案】|

解：vDE//BC,

ADE~&ABC,

.S&ADE_/DE、2

-.

SMOE：S四边形BDEC4：5,

.SADE_g

ShABC9

・幽2=I

•,(BC)-9f

.&

"FC=3,

故答案为：

利用相似三角形的判定与性质得到沙匹=(看/，再利用比例的性质解答即可得出结论.

'△ABC

本题主要考查了平行线的性质，相似三角形的判定与性质，比例的性质，熟练掌握相似三角形的

判定与性质是解题的关键.

16.【答案】I

解：根据三角形的三边关系，第三边应满足大于3cm而小于7cm,8种情况中有3种情况满足，故

能组成三角形的概率是去

O

故答案为：I.

利用列举法，根据构成三角形的条件，找到条件成立的线段的条数，计算概率即可.

本题考查概率知识在实际问题中的应用.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

17.【答案】(—1,5)

解：■■■y=x2—2x-3=(x-I)2—4,

••・抛物线y=%2-2%-3向左平移2个单位，再向上平移3个单位后所得抛物线的解析式为y=(%-

1+2)2+2+3=(x+l)2+5,

・••得到的抛物线顶点坐标是(-1,5).

故答案为：(-1,5).

根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可.

本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键.

18.【答案】-6

解：过点A,B作4CJ.X轴，BDlx轴，分别于C,D.

设点A的坐标是(m,n),则4C=n,0C=m.

VZ-AOB=90°,

・•・Z,AOC+乙BOD=90°.

•・•Z.DBO+(BOD=90°,

:.乙DBO=Z.AOC.

v(BDO=Z.ACO=90°,

BDOfOCA.

乙AOB=90。,Z.ABO=30°,

OB/-x

BDODOBf

OCACOAN

设4(m,n),则8(—，3九,Cm),

,・•点4在反比例函数y=:的图象上，

・•・mn=2,

：•—y/~~3n-^~~3m=-3x2=-6,

・•・k=—6.

故答案为：—6.

要求函数的解析式只要求出8点的坐标就可以，过点4,8作4CJ.%轴，轴，分别于C,。.根

据条件得到△4C0SA00B,得到：瞿=整=穿=，号，然后用待定系数法即可.

C/C/1CC//1

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，利用相似三角形的性质

求得点B的坐标(用含n的式子表示)是解题的关键.

19.【答案】解：原式=(―l)xl-nx?xV~3-(2-C)

=-1-5^3+<3-2

=—3.

【解析】分别根据绝对值的性质、零指数及负整数指数幕的运算法则、特殊角的三角函数值计算

出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可.

本题考查的是实数的运算，熟知绝对值的性质、零指数及负整数指数基的运算法则、特殊角的三

角函数值是解题的关键.

20.【答案】解：（1）相似三角形有：△ACD〜△4DE,△480〜△DCE；

（2）△ACD〜△ADE的理由：

•••△4BC是等边三角形，

・•・Z.ACD=Z.ABC=60°,

vZ.ACD=Z.CDE+Z-E,

・•・Z-CDE+Z-E=60°,

vZ-ADE=60°,

AAADC+乙CDE=60°,

:.Z.ADC=Z.E.

vZ-DAC=Z.EAD,

ACD^LADE；

&ABDs>DCE的理由：

•・•△48C是等边三角形，

・・・乙ACD=乙ABC=60°,

:.匕ABD=Z.ECD=120°.

vZ.ACD=Z-CDE+乙E，

Z.CDE+乙E=60°,

vZ.ADE=60°,

/.z?lDC+zC£）E=60o,

:.乙ADC=Z-E.

・■・△ABDs〉DCE.

【解析】（1）利用相似三角形的判定定理解答即可；

（2）利用等边三角形的性质和相似三角形的判定与性质解答即可.

本题主要考查了相似三角形的判定定理，等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是

解题的关键.

21.【答案】解：（1）,・,直线y=%—6与％轴交于点4（一2,0）,

—2—m=0,

.・.m=—2,

，直线4B的解析式为y=%+2；

•・,点8(2,九)，

・•・ri=2+2=4,

，点B的坐标是(2,4)；

•・・点B在反比例函数y=5的图象上，

・•・k=2X4=8；

・••反比例函数的解析式为：y=-；

JX

(2)在y=x+2中，令x=0,得y=2.

•••点C的坐标是(0,2),

•••OC~2；

11

•••S40cB=EOCX2=]X2X2=2.

【解析】(1)利用待定系数法即可求解；

(2)把x=0代入直线4B的解析式y=x+2得y=2,即OC=2,利用三角形面积公式即可求得.

本题是反比例函数和一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，一次函数图象上

点的坐标特征，三角形的面积，求得交点坐标是解题的关键.

22.【答案】(1)400；

(2)见解析；

(3)100人；

解：(1)总人数是：20+5%=400(人)；

故答案为400；

(2)一定不会的人数是400-20-50-230=100(A),

家长陪同的所占的百分百是黑x100%=57.5%,

补图如下:

山％

家长陪

结伴

同时含

25%、12.5%

定不会

(3)根据题意得：

2000x5%=100(人).

答：该校2000名学生中大约有多少人“一定会下河游泳”有100人.

(1)根据一定会的人数和所占的百分比即可求出总人数；

(2)用总人数减去其它人数得出不会的人数，再根据家长陪同的人数除以总人数得出家长陪同时会

的所占的百分比，从而补全统计图；

(3)用2000乘以一定会下河游泳所占的百分百，即可求出该校一定会下河游泳的人数.

本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的

信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分

占总体的百分比大小，用到的知识点是频率=二泠.

总人数

23.【答案】-10x+150011512250

解:(1)每周短袖7*恤衫销量为y=600-10x(%-90)=-10x+1500,

y=—10%+1500,

故答案为：-10%+1500；

根据题意得:Q=(x-80)y=(x-80)(-10x+1500)=-10x2+2300%-120000,

•••Q与x的函数关系式为Q=-10x2+2300%-120000；

(2)Q=-10x2+2300%-120000=-10(x-115)2+12250,

•••-10<0,

・•・当x=115时，Q有最大值，最大值为12250,

故答案为：115,12250；

(3)当Q=8500时,-10(x-115)2+12250=8500,

解得Xi=95,&=135,

•••尽量给客户实惠，

:，x=95.

答：这款7恤衫定价为95元/件.

(1)根据“当售价定为90元时，每周可卖出600件，一件7恤衫售价每提高1元，每周要少卖出10

件.“即可得出每天的销售量与每件售价M元)之间的函数关系式；根据利润=每件的利润X销售

量列出函数解析式；

(2)把(1)中Q关于x的解析式化为顶点式，由函数的性质求最值；

(3)当Q=8500时，解一元二次方程求出方程的根，取较小的值.

本题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用以及二次函数的最值，解题的关键是找出等量

关系，列出函数解析式.

24.【答案】解：分别过点E、。作EG14B、DH1AB^AB^G,H,

AGHB

•••四边形ABCD是梯形，月SB〃CD,

平行且等于EG,

故四边形EGHD是矩形，

ED=GH,

在Rt△ADH中，AH=DH+tan^DAH=8+tan450=8(米)，

^.Rt△FGE^,i=1：2=当

FG

：.FG=2EG=16(米)，

AF=FG+GH-AH=16+2-8=10(米).

答：加固后坝底增加的宽度AF的长是10米.

【解析】分别过E、。作4B的垂线，设垂足为G、比在中，根据坝高和坡角，求出4”的

长；同理在RtAEFG中，根据坝高及坡比，即可求出尸G的长，可由4尸=FG+GH-4H求出4F的

长.

本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是理解坡度、坡比的含义，构造直角三角形,

利用三角函数表示相关线段的长度，难度一般.

25.【答案】(1)证明：•••FC=BC，

・•・Z.FAC=Z-BAC,

v0A=0C,

:.Z-OAC=Z.OCA,

・•・Z.FAC=Z.OCA,

・・・OC//AF,

・・・CD1AF,

:.0C1CD,

•••0C是。。的半径，

・•.CD是。。的切线；

(2)解：如图，连接BC,

•••ACAD=30°,

•••乙BOC=2ABAC=2/.CAD=60°,

Z.AOC=180°-60°=120°,

••,4B是。。的直径，

•••2LACB=90°,

1

BC=^AB,

■：CDVAD,Z.CAD=30°,CD=「,

：.AC=2CD=2<3，

■■■AB2-(^AB)2=(20，

：.AB=4或AB=-4(舍去),

・•・OA=2,

【解析】(1)根据圆周角定理得乙FAC=4B4C,而乙。4。=4。。4^\z.FAC=Z.OCA,可判断0C/

/AF,由于C014