普通高等学校招生全国统一考试第二次模拟考试数学（理）试卷

绝密★启用前2023年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z在复平面内对应的点为，是z的共轭复数，则A． B． C． D．2．已知集合，，若，则A． B． C． D．3．已知命题的否定为“，”，则下列说法中正确的是A．命题为“，x2+1>1”且为真命题B．命题为“，”且为假命题C．命题为“，”且为假命题D．命题为“，”且为真命题4．世界数学三大猜想：“费马猜想”、“四色猜想”、“哥德巴赫猜想”，其中“四色猜想”和“费马猜想”已经分别在1976年和1994年荣升为“四色定理”和“费马大定理”．281年过去了，哥德巴赫猜想仍未解决，目前最好的成果“1＋2”由我国数学家陈景润在1966年取得．哥德巴赫猜想描述为：任何不小于4的偶数，都可以写成两个质数之和．在不超过17的质数中，随机选取两个不同的数，其和为奇数的概率为A． B． C． D．5．执行如图所示程序框图，则输出的S的值是A． B． C． D．6．下列函数中，定义域和值域不相同的是A． B． C． D．7．已知向量，，且，则实数的值为A．8 B． C．4 D．已知焦点在轴上的双曲线，一条渐近线的倾斜角是另一条渐近线的倾斜角的5倍，则双曲线的离心率是A． B．2 C． D．9．如图，生活中有很多球缺状的建筑．球被平面截下的部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，球缺的曲面部分叫做球冠，垂直于截面的直径被截后的线段叫做球缺的高．球冠面积公式为，球缺的体积公式为，其中R为球的半径，H为球缺的高．现有一个球被一平面所截形成两个球缺，若两个球冠的面积之比为，则这两个球缺的体积之比为A．B．C． D．10．已知关于x的方程有两个正根，那么两个根的倒数和最小值是A．-2 B． C． D．111．为了降低或消除白炽灯对眼睛造成的眩光，给光源加上一个不透光材料做的灯罩，可以起到十分显著的效果.某一灯罩的防止眩光范围，可用遮光角这一水平夹角来衡量.遮光角是指灯罩边沿和发光体边沿的连线与水平线所成的夹角，图中灯罩的遮光角用表示.若图中，，且，则A．44 B．66 C．88 D．110曲线，要使直线与曲线有四个不同的交点，则实数的取值范围是 B．C． D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为______．7816

6572

0802

6314

0702

4369

1128

059814．在等比数列中，、是函数的极值点，则＝_______．15．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，异面直线AB与CD的夹角为__________．16．若直线与曲线相切，直线与曲线相切，则的值为___________.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17．(12分)已知为等差数列的前n项和，，．(1)求的通项公式；(2)若，的前n项和为，证明：．18．(12分)某校工会开展健步走活动，要求教职工上传3月1日至3月7日的微信记步数信息，下图是职工甲和职工乙微信记步数情况：(1)从3月2日至3月7日中任选一天，求这一天职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000的概率；(2)从3月1日至3月7日中任选两天，记职工乙在这两天中微信记步数不低于10000的天数为，求的分布列及数学期望；(3)下图是校工会根据3月1日至3月7日某一天的数据制作的全校200名教职工微信记步数的频率分布直方图．已知这一天甲和乙微信记步数在单位200名教职工中排名（按照从大到小排序）分别为第68和第142，请指出这是根据哪一天的数据制作的频率分布直方图（不用说明理由）．19．(12分)已知O为坐标原点，F为抛物线的焦点，抛物线C过点．(1)求抛物线C的标准方程；(2)已知直线l与抛物线C交于A，B两点，且，证明：直线l过定点．20．(12分)如图，线段是圆柱的母线，是圆柱下底面的直径.(1)弦上是否存在点D，使得平面，请说明理由；(2)若，，点，A，B，C都在半径为的球面上，求二面角的余弦值.21．(12分)已知函数.（1）若在处有极值，问是否存在实数m，使得不等式对任意及恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.；（2）若，设.①求证：当时，；②设，求证：（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．[选修4－4：坐标系与参数方程]在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，常数，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的方程为.(1)写出的极坐标方程和的直角坐标方程；(2)若直线和相交于两点，以为直径的圆与直线相切，求的值.23．[选修4-5：不等式选讲]已知函数．(1)当时，求不等式的解集；(2)若的最小值为2，且，求的最小值．2023届高三第二次模拟数学(理科)参考答案一、单选题1．答案：A解析：依题意，，则，所以.故选：A2．答案：D解析：由题意可知，，即，所以，所以，.故选：D.3．答案：C解析：命题的否定为特称命题，：，，当时，，为假命题，ABD错误，C正确.故选：C.4．答案：B解析：不超过17的质数有：2，3，5，7，11，13，17，共7个，随机选取两个不同的数，基本事件总数，其和为奇数包含的基本事件有：，共6个，所以.故选：B5．答案：B解析：由题意可知，流程图的功能为计算的值，裂项求和可得：.故选：B.6．答案：D解析：对于A：函数的定义域为，值域也为，不符合题意；对于B：函数的定义域和值域都为，不符合题意；对于C：的定义域和值域都为，不符合题意；对于D：的定义域为；当时，；当时，；所以值域为，定义域和值域不相同，符合题意；故选：D．7．答案：A解析：因为，，.所以.所以.故选：A8．答案：A解析：由题意设一条渐近线的倾斜角为，则另一条渐近线的倾斜角为，由双曲对称性可得，则一条渐近线的斜率为，设双曲线的长半轴长为a，短半轴长为b，则，故离心率为，故选：A9．答案：C解析：设小球缺的高为，大球缺的高为，则，①由题意可得：，即：，②所以由①②得：，，所以小球缺的体积，大球缺的体积，所以小球缺与大球缺体积之比为.故选：C.10答案：B解析：由题意可得，解得或，设两个为，，由两根为正根可得，解得，综上知，.故两个根的倒数和为，，，，故，，故两个根的倒数和的最小值是.故选：B11．答案：B解析：，即，所以，，解得，故选：B.12．答案：B解析：由题意得：，即，即曲线上的点为圆上或圆外的点，由得：或，由得：或或或，由此可得曲线的图象如下图所示，由图象可知：当时，直线与曲线有四个不同交点；实数的取值范围为.故选：B.二、填空题13．答案：11解析：由题设，依次取出的编号为08、02、14、07、11、05，所以第5个个体的编号为11.故答案为：1114．答案：解析：，由题是方程的两个不等实根，则由韦达定理，所以又是的等比中项且与同号，则.故答案为：.15．答案：解析：如图所示，把展开图恢复到原正方体．连接AE，BE．由正方体可得且，∴四边形ADCE是平行四边形，∴AEDC．∴或其补角是异面直线AB与CD所成的角．由正方体可得：，∴是等边三角形，∴．∴异面直线AB与CD所成的角是60°．故答案为：60°16．答案：1解析：设，则，设切点为，则，则切线方程为，即，直线过定点，所以，所以，设，则，设切点为，则，则切线方程为，即，直线过定点，所以，所以，则是函数和的图象与曲线交点的横坐标，易知与的图象关于直线对称，而曲线也关于直线对称，因此点关于直线对称，从而，，所以．故答案为：1.三、解答题17．答案：(1)；(2)详见解析.解析：（1）由设数列的公差为，则解得，，所以是首项为3，公差为2的等差数列，所以；（2）由，可得，所以,又，故.18．答案：(1)(2)分布列见解析，(3)3月3日解析：（1）令时间A为“职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000”，从3月2日至3月7日这6天中，3月2日、5日、7日这3天中，甲乙微信记步数都不低于10000，故.（2）由（1）知：，，，，的分布列为：（3）根据频率分步直方图知：微信记步数落在，，，，（单位：千步）区间内的人数依次为人，人，人，人，人，由甲微信记步数排名第68，可知当天甲微信记步数在15000到20000万之间，根据折线图知：只有3月2日，3月3日，3月7日.由乙微信记步数排名第142，可知当天乙微信记步数在5000到10000万之间，根据折线图知：只有3月3日和3月6日，所以3月3日符合要求.19．答案：(1)(2)证明见解析解析：（1）因为抛物线C过点，∴，解得，∴抛物线C的标准方程为．（2）设，直线l的方程为，联立，化为，，∴，∵，∴，，解得，满足，∴直线l的方程为，∴直线过定点．20．答案：(1)存在，理由见解析(2)解析：（1）当点D为的中点时，平面，证明如下：取AB的中点D，连接OD，∵O，D分别为，的中点，则，平面，平面，∴平面，又∵，平面，平面，∴平面，，平面，∴平面平面，由于平面，故平面.（2）∵是的直径，可得，即，且，，故，，又∵平面，且平面，∴，即，，两两垂直，且点，A，B，C都在半径为的球面上，可知该球为以、、为长、宽、高的长方体的外接球，则，可得，以A为原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立直角坐标系，则，，，，得，，设为平面的一个法向量，则，令，则，可得，且为平面的一个法向量，设二面角为，则，所以二面角的余弦值为.21．答案：（1）存在，；（2）①证明见解析；②证明见解析.解析：由题可知，.（1）由，可得，.又当时，，故在区间单调递减，在单调递增.故函数在处取得极值，所以.∵，.∴，当时，由上述讨论可知，单调递增，故不等式对任意及恒成立，即：，即：对恒成立，令，，即，且，整理得，且，解得：，即为所求.（2）①∵，当时，，在上单调递减，即证.②由①可得：令：，得，即：=即证.22．答案：(1)