罗巴切夫斯基几何

罗巴切夫斯基几何双曲几何01简介辨析模型发展历程目录030204基本信息罗巴切夫斯基几何，也称双曲几何，波利亚-罗巴切夫斯基几何或罗氏几何，是一种独立于欧几里得几何的一种几何公理系统。双曲几何的公理系统和欧氏几何的公理系统不同之处在于欧几里得几何的“第五公设”（又称平行公理，等价于“过直线之外一点有唯一的一条直线和已知直线平行”）被代替为“双曲平行公理”（等价于“过直线之外的一点至少有两条直线和已知直线平行”）。在这种公理系统中，经过演绎推理，可以证明一系列和欧氏几何内容不同的新的几何命题，比如三角形的内角和小于180度。简介简介凡是不涉及到平行公理的几何命题，在欧氏几何中如果是正确的，在双曲几何中也同样是正确的。而依赖于平行公理的命题，在双曲几何中都不成立。下面举几个例子加以说明：欧氏几何:同一直线的垂线和斜线相交。图1.罗巴切夫斯基几何相关图形垂直于同一直线的两条直线平行。存在相似而不全等的多边形。过不在同一直线上的三点可以做且仅能做一个圆。双曲几何：同一直线的垂线和斜线不一定相交。垂直于同一直线的两条直线，当两端延长的时候，离散到无穷。不存在相似而不全等的多边形。模型克莱因模型庞加莱模型模型庞加莱模型Poincaremodel：在双曲几何的庞加莱模型中，“点”是庞加莱圆盘（即平面上单位圆盘的内部）上的点，“直线”是所有包含在庞加莱圆盘内，并于单位圆垂直相交的圆弧。在这个模型内，可以证明过两“点”有唯一的“直线”等双曲几何的公理。而且我们可以看到，过“直线”外的一点有不止一条“直线”和已知“直线”平行（即不相交）。克莱因模型Kleinmodel：在克莱因模型中，“点”仍然是庞加莱圆盘上的点，“直线”是单位圆的所有弦（chord）。这个模型仍然满足双曲几何的所有公理。但克莱因模型中两条直线的夹角并不等于欧氏几何意义下的夹角。辨析三角形平行线辨析平行线平行线是公理几何中非常重要的概念。如果两条直线没有交点，那么它们称为平行。在欧氏几何中，平行线的性质本质上由平行公理刻画。它等价于如下陈述：“过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行”。而在罗巴切夫斯基几何中，平行线变多了。从“过直线外一点至少有两条不同的直线和已知直线平行”，我们可以证明过这一点有无穷多条平行线。三角形欧氏几何中三角形的内角和是180度。这个命题依赖于欧氏几何的平行公理。而在双曲几何中，任何三角形的内角和一定是严格小于180度；内角和与180度的差称为这个三角形的“缺陷”（defect）。这个数值与三角形的面积成正比例。而因为缺陷最多是180度，所以在双曲几何中，三角形的面积不可能无限大。这又是与欧氏几何的直觉完全相反的现象。发展历程发展历程1893年，在喀山大学树立起了世界上第一个为数学家雕塑的塑像。这位数学家就是俄国的伟大学者、非欧几何的重要创始人——罗巴切夫斯基（Никола́йИва́новичЛобаче́вский，NikolaiIvanovichLobachevskii，尼古拉·伊万诺维奇·罗巴切夫斯基）。非欧几何是人类认识史上一个富有创造性的伟大成果，它的创立，不仅带来了近百年来数学的巨大进步，而且对现代物理学、天文学以及人类时空观念的变革都产生了深远的影响。不过，这一重要的数学发现罗巴切夫斯基提出后相当长的一段时间内，不但没能赢得社会的承认和赞美，反而遭到种种歪曲、非难和攻击，使非欧几何这一新理论迟迟得不到学术界的公认。罗巴切夫斯基是在尝试解决欧氏第五公设问题的过程中，从失败走上他的发现之路的。欧氏第五公设问题是数学史上最古老的著名难题之一，它是由古希腊学者最先提出来的。公元前三世纪，希腊亚历山大里亚学派的创始者欧几里得集前人几何研究之大成，编写了数学发展史上具有极其深远影响的数学巨著《几何原本》。这部著作的重要意义在于，它是用公理法建立科