第48讲空间几何体的表面积与体积

第48讲 空间几何体的表面积与体积31．(2017·江卷浙)某几何体的三视图如图所示 (单位：cm)，则该几何体的体积 (单位：cm)是(A)A.ππ＋1B.＋3223πD.3πC.＋1＋322由几何体的三视图可知，该几何体是一个底面半径为1，高为3的圆锥的一半与一个底面为直角边长是2的等腰直角三角形，高为3的三棱锥的组合体，所以该几何体的体积11211πV＝3×2π×1×3＋3×2×2×2×3＝2＋1.2．(2015·课标卷Ⅰ新)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有(B)A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛π16设米堆的底面半径为r尺，则2r＝8，所以r＝π，所以米堆的体积为1×12π×(162×5≈320(立方尺)．故堆放的米约有320V＝43π·r·5＝12π)99÷1.62≈22(斛)．3．(2018·北五校高三联考河)已知几何体的三视图如图所示，则其体积为(C)4A．1 B.35C.3 D．2将三视图还原为直观图，如图 1.图1由直观图可知，该几何体是一个组合体，将该组合体分割成两个几何体，如图 2.图2其中E-AGHD为四棱锥，EGH-FBC为三棱柱．12四棱锥E-AGHD是底面边长分别为1,2的矩形，高为1，其体积V1＝×1×2×1＝.33三棱柱EGH-FBC为斜三棱柱，此棱柱通过割补可变成一个直三棱柱E′GH-F′BC，如图3.图31此棱柱的体积 V2＝2×2×1×1＝1.所以所求几何体的体积V＝V51＋V2＝.3为14．已知球O的半径为R，A，B，C三点在球O的球面上，球心O到平面ABC的距离R，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，则球O的表面积为(D)216A.9πB.3π64C.9πD.3π在△ABC中，因为AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，所以∠ABC＝30°，由正弦定理得AC＝2r(r为△ABC的外接圆半径)，sin∠ABC2＝4，所以r＝2.即2r＝sin30°因为R2＝r2＋h2，又因为 h＝R2，2所以R2＝4＋R4，解得R2＝163，64π所以球O的表面积为S＝4πR＝3.5．(2016·江卷浙)某几何体的三视图如图所示 (单位：cm)，则该几何体的表面积是 80cm2，体积是 40 cm3.由三视图还原几何体如图所示，下面长方体的长、宽都是 4，高为2；上面正方体的棱长为 2.所以该几何体的表面积为 (4×4＋2×4＋2×4)×2＋2×2×4＝80(cm2)；体积为4×4×2＋23＝40(cm3)．6．(2017天·津卷)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为918，则这个球的体积为

2π

.设正方体的棱长为

a，则

6a2＝18，所以

a＝

3.设球的半径为

R，则由题意知

2R＝

a2＋a2＋a2＝3，所以

3R＝2.故球的体积

4 3 4 33 9V＝3πR＝3π×(2)＝2π.7．一个正三棱锥的底面边长为

6，侧棱长为

15，求这个三棱锥的体积．如图，正三棱锥

S-ABC

，设H为正三角形ABC的中心，连接SH，则SH即为该正三棱锥的高，连接AH并延长交BC于E，则E为BC的中点，且AH⊥BC.因为△ABC是边长为6的正三角形，32所以AE＝2×6＝33，所以AH＝3AE＝23，△11×6×33＝93.在△ABC中，SABC＝2BC·AE＝2在Rt△SHA中，SA＝15，AH＝23，所以SH＝SA2－AH2＝15－12＝3，所以V正三棱锥＝1△1×93×3＝9.3SABC·SH＝38．(2015·庆卷重)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 (A)123＋πB.3＋πC.1＋2πD.2＋2π33由三视图可知该几何体是由一个半圆柱和一个三棱锥组成的．由图中数据可得三棱锥的体积1×1×2×1×1＝11×π×12×2＝π，所以V＝1V1＝323，半圆柱的体积V2＝23＋π.9．(2017山·东卷)由一个长方体和两个1圆柱体构成的几何体的三视图如下图，则该几何4体的体积为2＋π.22,1,1的长方体和两个半径为1，高为1的1该几何体由一个长、宽、高分别为4圆柱体构成，12π所以V＝2×1×1＋2×4×π×1×1＝2＋2.10．如图，是一个奖杯的三视图(单位：cm)，底座是正四棱台．(1)求这个奖杯的体积 (π取3.14)；(2)求这个奖杯的底座的侧面积．球的体积V球＝43πr3＝36π，圆柱的体积

V圆柱＝Sh1＝64π，正四棱台的体积是

1V正四棱台＝3h2(S上＋S下＋

S上·S下)