结构力学位移法

结构力学位移法第一页，共七十七页，编辑于2023年，星期五主要内容§6－1位移法的基本概念§6－2单杆分析－－固端弯矩和刚度方程§6－3位移法正则方程及其矩阵形式§6－4位移法计算结构在荷载作用下的内力§6－7对称结构的计算§6－5位移法计算超静定结构在非荷载作用下的内力§6－6降低动不定次数—新单元的引入§6－8位移法与力法的比较第二页，共七十七页，编辑于2023年，星期五§6-1位移法基本概念位移法－－displacementmethod以超静定结构中的结点位移（线位移或角位移）作为基本未知量，根据结点的平衡条件建立位移正则方程，解出基本未知量后即可由结点位移与内力的关系式求出相应的杆内力，并用平衡方程解出全部支反力和内力。一、力法和位移法的区别1.所选用的基本未知量不同，因而主攻目标不同，解决问题的思路也不同力法：原结构静定基多余未知力基本未知量原结构过渡位移法：原结构杆件结点位移基本未知量原结构过渡第三页，共七十七页，编辑于2023年，星期五2.出发点不同力法：位移法：静定结构杆件3.力法只适用解超静定结构位移法主要用于解超静定结构，但也可解静定结构4.位移法可采用标准化程序基本假设：忽略杆件轴向变形的影响。第四页，共七十七页，编辑于2023年，星期五ABCll图a原结构PΔ1Δ1BC图bPΔ1ABΔ1图c二、位移法的基本思路

Δ1－－基本未知量为将AB和BC杆分开计算B点刚结添加附加刚臂约束固定端原结构AB和BC两根两端固定梁的组合体动定基本体系，即动定基。利用叠加原理：荷载＋位移Δ1即：可把动定基拆开成两根两端固定的超静定梁分别计算，然后根据一定的条件（即使附加刚臂形同虚设）组合起来代替原结构.结点B的力矩平衡条件位移法典型方程(canonicalequationsindisplacementmethod)第五页，共七十七页，编辑于2023年，星期五拆结构拆成杆件，得杆件的刚度方程（变形协调条件）搭杆件组成结构，进行整体分析，得出基本方程（静力平衡条件）位移法求解超静定结构需解决以下问题：1.位移法的基本未知量包括哪些位移？动定基如何选取？2.两端固定的超静定梁在荷载和支座位移作用下的力法计算－－单杆分析？3.如何建立位移法正则方程？第六页，共七十七页，编辑于2023年，星期五1、基本未知量(primaryunknownindisplacementmethod)(结点的角位移和线位移)二、位移法的基本概念结点－－指结构中两根或两根以上的直杆件的联结点、结构的支承点以及任何伸出杆件的自由端。结构上各个结点独立位移的总数称为结构的动不定度或动不定次数（结点位移自由度）既无线位移又无角位移的结点称为动定结点。如固定端结点结点位移第七页，共七十七页，编辑于2023年，星期五ABCDBCBC1）、在刚结点处加上刚臂。2）、在结点会发生线位移的方向上加上链杆。将可能产生的结点线位移和角位移都加入人为约束，使之成为动不定度为零的结构，即“动定基本结构”，简称“动定基”。动定基是原结构化成的、由若干超静定梁构成的组合体。两端固定的超静定梁－－动定基的基本单元类型

(带有附加刚臂()或附加链杆)－－动定基2、基本体系(primarysystemindisplacementmethod)第八页，共七十七页，编辑于2023年，星期五附加刚臂与附加链杆数目的总和即为基本未知量数目。3、动不定次数的确定将动不定结构变为动定结构使其变为几何不变所需添加的约束数即为动不定次数。平面刚架独立角位移动不定度＝刚结点数＋铰端数＋自由端数独立线位移＝将所有刚结点（固定支座和自由端）铰化，使之成为几何不变体系所需添加的链杆数。铰化添加链杆连续梁动不定度的确定可参照平面刚架。第九页，共七十七页，编辑于2023年，星期五如何确定基本未知量举例：动不定度＝使原结构变成相应动定基所需施加的附加约束数桁架:线位移自由度＝2j-b3角1线4角2线4角2线2角1线3角2线

4角2线第十页，共七十七页，编辑于2023年，星期五§6-2单杆分析－－固端弯矩和刚度方程一、杆端力的表示方法和正负号的规定

1、弯矩：MAB表示AB杆A端的弯矩。对杆端而言，顺时针为正，逆时针为负；对结点而言，顺时针为负，逆时针为正。

PBAMAB0MBA0

2、剪力：QAB表示AB杆A端的剪力。正负号规定同前。PBAQBA0QAB0第十一页，共七十七页，编辑于2023年，星期五3、固端弯矩(fixed-endmoment)、固端剪力(fixed-endshearforce)-----单跨超静定梁仅由于荷载作用所产生的杆端弯矩称为固端弯矩，相应的剪力称为固端剪力。用MAB、MBA、QAB、QBA表示二、两端固定梁在跨间荷载作用下的固端弯矩(fixed-endmoment)BAPlMABMBARRBAqlRRMABMBAR=P/2M=Pl/8R=ql/2M=ql2/8载常数第十二页，共七十七页，编辑于2023年，星期五fQBAQABPq

AB

ABlBAMABMBA三、两端固定梁由于支座位移引起的杆端反力－－梁元刚度方程

刚度(stiffness)-----两端固定梁由于杆端单位位移所引起的杆端反力ABX1X2X3X4如图示:支座位移θA,θB,ΔA,ΔB解：2次超静定，静定基如图所示力法方程：x1=1lMl图x2=1M2图l计算系数和自由项l称为“旋转角”，则：ABD=记b第十三页，共七十七页，编辑于2023年，星期五解得：称为“线刚度”,则：：令lEIi=第十四页，共七十七页，编辑于2023年，星期五其矩阵形式为：即梁元的刚度方程－－描述了梁元的杆端力和杆端位移之间的关系式中：梁元刚度矩阵对称矩阵kij－－由于“j”处的单位位移所引起的“i”处的杆端反力“形常数”第十五页，共七十七页，编辑于2023年，星期五BAl1234人BAl1234人杆端位移及相应反力序号规定：第十六页，共七十七页，编辑于2023年，星期五四、一端固定、另一端铰支梁元的刚度方程

第十七页，共七十七页，编辑于2023年，星期五五、一端固定、另一端定向支承梁的刚度方程

第十八页，共七十七页，编辑于2023年，星期五2、荷载引起的固端力p401

第十九页，共七十七页，编辑于2023年，星期五第二十页，共七十七页，编辑于2023年，星期五§6-3位移法正则方程及其矩阵形式基本未知量符号的规定：+一、位移法的基本原理ABCll图a原结构PΔ1Δ1ABCll图b动静基ABC图d位移作用动定基Δ1Δ1K11Δ1＋ABC图eΔ1=1作用静定基Δ1Δ1＝×Δ1ABCll图c荷载作用动定基P＝m1P第二十一页，共七十七页，编辑于2023年，星期五所以：K11Δ1+m1P=0ABCll图a原结构PΔ1Δ1ABC图d位移作用动定基Δ1Δ1K11Δ1＋ABCll图c荷载作用动定基P＝m1P()()K11---结点B的刚度K11代表了由于结点发生单位转角位移而引起的结点反力距值。它等于汇交于该结点的各杆端反力距之和。故称“结点刚度”。Kij---由于“j”的单位位移所引起的“i”的反力.单元刚度ABC图eΔ1=1作用静定基Δ1Δ1×Δ1＝－－位移法正则方程－－结点B的力矩平衡方程第二十二页，共七十七页，编辑于2023年，星期五解得：()然后利用单元刚度方程即可求得原结构各杆端弯矩，从而作出原结构的M图。进而作Q图和N图。也可利用叠加原理计算原结构未知反力和内力：其中：分别为动定基在单位位移状态下的弯矩、剪力值分别为动定基在荷载状态下的弯矩、剪力值载常数形常数第二十三页，共七十七页，编辑于2023年，星期五()()()位移法的基本特点：以未知结点位移作为基本未知量基本做法：先拆后搭拆施加与结点未知位移相应的附加约束（刚臂或链杆）结构拆成若干单根杆件（梁单元）搭原结构动定基附加约束处静力平衡条件第二十四页，共七十七页，编辑于2023年，星期五Δ3=1(f)时的反力矩和反力Δ3=1Δ2=1(e)时的反力矩和反力Δ2=1(d)时的反力矩和反力Δ1=1二、多次动不定结构的位移法正则方程及其矩阵形式Δ1Δ2Δ3(a)原结构(b)动静基m2pm3pm1p(c)荷载单独作用k11k21k31Δ1=1k12k22k32k13k23k33第二十五页，共七十七页，编辑于2023年，星期五由叠加原理，其位移法方程为：K11Δ1+K12Δ2

＋K13Δ3＋m1P=0K21Δ1+K22Δ2

＋K23Δ3＋m2P=0K31Δ1+K32Δ2

＋K33Δ3＋m3P=0结点的力矩平衡条件力的平衡条件其实质：附加约束方向上的静力平衡方程。注意：若结点上有外荷载，则在建立位移法方程时应予以考虑，根据符号规定，可将其放在相应方程的右端项中。Kij：根据梁元刚度矩阵元素叠加可得mip：查载常数可得。第二十六页，共七十七页，编辑于2023年，星期五利用内力叠加公式求结构支反力（力矩）、内力及绘内力图MP、QP、ＲＰ

－－动定基在荷载下的杆端弯矩、杆端剪力、支反力Mi、Qi、Ｒi

－－动定基在各单位位移下的杆端弯矩、杆端剪力、支反力第二十七页，共七十七页，编辑于2023年，星期五推广：n次动不定结构的位移法正则方程为：Kij——结点刚度mip

——动定基在荷载下的固端弯矩（剪力），称为自由项。K11Δ1+K12Δ2

＋•••＋

K1nΔn＋m1P=m1K21Δ1+K22Δ2

＋•••＋K2nΔn＋m2P=m2Kn1Δ1+Kn2Δ2

＋•••＋Kn3Δn＋mnP=mn••••••••••••••••••••••••••••••••mi

——作用于结点（结构）上与Δi方向相应的外荷载（力矩或力），称为右端项。其方向按假设Δi的正向为基准第二十八页，共七十七页，编辑于2023年，星期五其矩阵形式为：即：——结构刚度矩阵，其中Kij为各结点的刚度.位移法典型方程(canonicalequationsindisplacementmethod)结构的刚度矩阵(stiffnessmatrix)——固端反力列向量.——结点外荷载列向量.第二十九页，共七十七页，编辑于2023年，星期五解得：利用叠加原理求M、Q、R三、几点说明

（1）主系数、副系数、刚度系数、自由项。（2）两类系数：附加刚臂上的反弯矩；附加链杆上的反力。（3）位移法的实质：以结点未知位移表示的静力平衡条件。第三十页，共七十七页，编辑于2023年，星期五四、解题步骤分析结构的结点自由度，即确定位移法基本未知量Δ1、Δ2…Δn（2）将可能产生位移的结点施以相应的约束，得到由若干两端固定的超静定梁组合而成的动定基；（3）列位移法正则方程；（a）载常数表——mip，处理作用于各杆的跨中荷载;（b）形常数表——kij从而求结点刚度Kij（c）建立方程的右端项mi——处理与未知结点位移相应的结点外荷载;（4）解位移法方程；（5）根据M=M1X1+M2X2+……+MP绘弯矩图，进而绘剪力图、轴力图。第三十一页，共七十七页，编辑于2023年，星期五6－4位移法计算结构在荷载作用下的内力例1、求图示连续梁的内力并作出M图。qClløBøBBAa原结构CøBøBBAb动定基Δ1qΔ2解：1).此梁为二次动不定结构，取结点B、C的转角位移为基本未知量Δ1、Δ2，得动定基如图（b)示：2）列位移法正则方程K11Δ1+K12Δ2

＋m1P=m1K21Δ1+K22Δ2

＋m2P=m23)求载常数miP4)求结点刚度Kijql2/8CAB22ql/12Mp图ql2/12ACBM1图2EI/l4EI/lΔ1=12EI/l第三十二页，共七十七页，编辑于2023年，星期五5)求右端项mi-———考虑与Δi相应的结点外荷载，以顺时针为正CøBøBBAb动定基Δ1qΔ26)代入正则方程，解之得：（）（）7)求内力:()()第三十三页，共七十七页，编辑于2023年，星期五绘弯矩图如图(e)所示CBAeM图2ql/8ql/28ql/1422CBA(f)Q图4ql/73ql/73ql/28依内力图求支座反力:

MA=ql/28();VA=3ql/28();VB=19ql/28();VC=3ql/7()2同理：绘剪力图如图(f)所示:第三十四页，共七十七页，编辑于2023年，星期五例题2

试计算图示刚架，绘弯矩图。Δ1AD3EI20kN/mEBC2m4m(a)原结构2m4m3EI4EI4EIP=50kN(b)动定基ADEBCΔ1Δ2解：1).此刚架为二次动不定结构，取结点A、B的转角位移为基本未知量Δ1、Δ2，得动定基如图（b)示：2）列位移法正则方程K11Δ1+K12Δ2

＋m1P=0K21Δ1+K22Δ2

＋m2P=03)求载常数miP4)求结点刚度Kij第三十五页，共七十七页，编辑于2023年，星期五5)代入正则方程，解之得：6)求内力:()7EIΔ1+2EIΔ2-80/3=02EIΔ1+11EIΔ2

＋5/3=0（）（）根据()()()()()()()第三十六页，共七十七页，编辑于2023年，星期五7)作弯矩图,如图（c）所示(c)M图(kN.m)ADEBC6.0912.1831.2328.5623.221.34由结点B处的弯矩值校核思考：此结构若用力法计算六次超静定结构?第三十七页，共七十七页，编辑于2023年，星期五

位移法计算基本步骤1）确定超静定次数，解除多余约束代以多余约束力，得静定基2）建立力法方程4）求解力法方程，得基本未知量5）根据叠加原理作内力图，并校核3）作图和图，计算柔度系数和自由项力法计算基本步骤1）确定基本未知量，添加约束，得动定基2）建立位移法方程3）计算刚度系数和自由项4）求解位移法方程，得基本未知量5）根据叠加原理作内力图，并校核比较：第三十八页，共七十七页，编辑于2023年，星期五例题3

试计算图示刚架，绘M图、Q图、N图。ADEI10kN/mB(a)原结构8mEI2EI6mC(b)动定基ADBCΔ1Δ2Δ3解：1).此刚架为三次动不定结构，取结点B、C的转角位移和BC杆的水平线位移为基本未知量Δ1、Δ2、Δ3，得动定基如图（b)示：2）列位移法正则方程K11Δ1+K12Δ2

+K13Δ3

＋m1P=0K21Δ1+K22Δ2

+K23Δ3

＋m2P=03)求载常数miP和结点刚度KijK31Δ1+K32Δ2

+K33Δ3

＋m3P=0第三十九页，共七十七页，编辑于2023年，星期五(b)动定基ADBCΔ1Δ2Δ34)代入正则方程，解之得：（）（）()5)求内力第四十页，共七十七页，编辑于2023年，星期五()根据()()()()()6)作M图（略）(b)动定基ADBCΔ1Δ2Δ3第四十一页，共七十七页，编辑于2023年，星期五课堂练习:求图示梁的弯矩图。?第四十二页，共七十七页，编辑于2023年，星期五解：1、基本未知量2、求各杆端弯矩求固端弯矩、线刚度计算3、建位移法方程4、求基本未知量5、求杆端弯矩第四十三页，共七十七页，编辑于2023年，星期五§6-5位移法计算超静定结构在非荷载作用下的内力K11Δ1+K12Δ2

＋•••＋

K1nΔn＋m1P＋m1c

＋m1t=0K21Δ1+K22Δ2

＋•••＋K2nΔn＋m2P＋m2c

＋m2t=0Kn1Δ1+Kn2Δ2

＋•••＋Kn3Δn＋mnP＋mnc

＋mnt

=0•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••问题归结为：求mic

和mit与力法类似支座位移、温度改变等非荷载因素下：第四十四页，共七十七页，编辑于2023年，星期五例：图示刚架的A支座下沉a，试用位移法计算并绘其内力图。

超静定结构在支座位移(移动或转动)影响下一般会引起内力。用位移法计算时,基本未知量和基本方程以及作题步骤都与荷载作用时一样,不同的只有固端力一项，例如由荷载产生的固端弯矩改变成由已知位移产生的固端弯矩，具体计算通过下面的例题来说明。一、支座位移时超静定结构的位移法计算(a)原结构Δll解：1)此刚架为二次动不定结构，取结点B、C的转角位移为基本未知量Δ1、Δ2，得动定基如图（b)示：2）列位移法正则方程K11Δ1+K12Δ2

＋m1C=0K21Δ1+K22Δ2

＋m2C=0(b)动定基Δ1Δ2第四十五页，共七十七页，编辑于2023年，星期五3)求miC和结点刚度Kij4)代入方程得解得()()(b)动定基Δ1Δ2第四十六页，共七十七页，编辑于2023年，星期五5)求杆端弯矩()根据()()6)剪力图和轴力()()()()第四十七页，共七十七页，编辑于2023年，星期五课堂练习：图示刚架的A支座产生了水平位移a、竖向位移b=4a及转角，试绘其弯矩图。第四十八页，共七十七页，编辑于2023年，星期五刚架的最后弯矩图为第四十九页，共七十七页，编辑于2023年，星期五§6-6降低动不定次数—新单元的引入一、概述两端固定梁增加结构动不定度二、一端固定、另一端铰支的梁元刚度方程－－形常数的计算

ABX1X2＝0X3X4x1=1lMl图力法方程解：一次超静定结构第五十页，共七十七页，编辑于2023年，星期五解得利用平衡可求得即：第五十一页，共七十七页，编辑于2023年，星期五其矩阵形式为Ⅱ型梁元的刚度方程－－描述了Ⅱ型梁元的杆端力和杆端位移之间的关系式中：——Ⅱ型梁元刚度矩阵对称矩阵kij－－由于“j”处的单位位移所引起的“i”处的杆端反力“形常数”即1234第五十二页，共七十七页，编辑于2023年，星期五1234杆端位移及相应反力序号规定：此外，1234人1234人第五十三页，共七十七页，编辑于2023年，星期五qClløBøBBA(a)原结构：Δ1CøBøBBA(c)k11CBA(d)qm1PCøBøBBA(b)动定基：Δ1qRR11+m1P=01、基本体系---动静基2、平衡条件因为：R11=K11Δ1(见图）所以：K11Δ1+m1P=0

Δ1=－m1P／K11CøBøBBAk11Δ1=１例1：第五十四页，共七十七页，编辑于2023年，星期五例2：用位移法计算图示刚架,并作M图,已知EI为常数.ABC4m4m图a原结构P=10kNq=2.5kN/mD4mABC图b动定基ⅠDΔ1Δ２Δ４Δ3解：1)此刚架为四次动不定结构，取基本未知量为Δ1、Δ2、Δ3、Δ４

，得动定基如图（b)示：2）列位移法正则方程K11Δ1+K12Δ2

+K13Δ3

+K1４Δ４

＋m1P=0K21Δ1+K22Δ2

+K23Δ3

+K24Δ4

＋m2P=03)求自由项miP和结点刚度KijK31Δ1+K32Δ2

+K33Δ3

+K34Δ4

＋m3P=0K41Δ1+K42Δ2

+K43Δ3

+K44Δ4

＋m4P=10第五十五页，共七十七页，编辑于2023年，星期五ABC图b动定基ⅠDΔ1Δ２Δ3Δ４4)代入正则方程，解之得：5)求内力(略)（）（）()（）思考:是否还有其他解法?第五十六页，共七十七页，编辑于2023年，星期五ABC图c混合动定基ⅡDΔ1Δ2解二:采用Ⅰ、Ⅱ型梁元组成的混合动定基K11Δ1+K12Δ2

+m1P=0K21Δ1+K22Δ2

＋m2P=10（）()代入正则方程，解之得：第五十七页，共七十七页，编辑于2023年，星期五ABC图e混合动定基ⅢΔ1ABC图d等效结构P=10kNq=2.5kN/mＭ=４０kN．mK11Δ1

+m1P=M（）解三:简化的混合动定基第五十八页，共七十七页，编辑于2023年，星期五课堂练习:

试计算图示连续梁，绘弯矩图。各杆EI相同。动定基第五十九页，共七十七页，编辑于2023年，星期五EI/32EI/3EI/3M1图Δ1=12EI/3M2图MP图2EI/3EI/3EI/2454522.522.545Δ2=130kn10kn/m动定基5、依M=M11+M2

2+MP绘弯矩图Δ1Δ2第六十页，共七十七页，编辑于2023年，星期五对称结构的内力与变形特点对称结构在对称荷载作用下产生对称的内力与变形；对称结构在反对称荷载作用下产生反对称的内力与变形。半结构的选取原则利用结构对称性取半结构(或四分之一结构)进行计算时,其半结构分开处的约束支座是根据其变形条件来确定的。

§6-7对称结构的计算一、半结构法

用半个结构的计算简图代替原结构对刚架进行分析的方法。回顾第六十一页，共七十七页，编辑于2023年，星期五1.奇数跨对称结构在对称轴上的截面C无转角和水平位移，但有竖向位移。（1）对称荷载作用下（图a）计算中所取半边结构如图（b）所示，C处取为滑动支承端。第六十二页，共七十七页，编辑于2023年，星期五

在对称轴上的截面C无竖向位移，但有转角和水平位移。（2）反对称荷载作用下（图a）计算中所取半结构如图（b）所示，C处取为链杆支座。第六十三页，共七十七页，编辑于2023年，星期五2.偶数跨对称结构在对称轴上的截面C无转角和水平位移，柱CD无弯矩和剪力。因为忽略杆CD的轴向变形，（1）对称荷载作用下（图a）故半边结构如图（b）所示，C