简单不等式的解法

简单不等式的解法第一页，共三十三页，编辑于2023年，星期五§1.2简单不等式的解法1．不等式的解法遍及整个高中数学，是解决高中数学问题的一个工具，因此在高考中有着十分重要的地位．高考中涉及不等式解法的试题属于基础题，一般综合集合、函数、数列、解析几何等知识命题．2．复习时要在几种简单不等式的解法上下工夫，特别是在“三个二次”、利用函数单调性解简单指数对数不等式、用分类讨论法解含参不等式等方面下工夫，做到真正掌握．3．高考中涉及本节知识的试题一般为选择题或填空题，属于基础题，难度不大，因此在教学过程中要注意对学生解题规范性、技巧性及效率的培养．第二页，共三十三页，编辑于2023年，星期五4．教学中教师应该对本节所列例题有所选择，不一定要全部讲完．对“预测数据库”中所列练习也不一定要求学生全部做完，特别是“拓展探究”中的题，不必要求所有学生都完成．第三页，共三十三页，编辑于2023年，星期五高考问题1：考查不等式的解法解不等式是高考的重点内容，一般与集合、函数定义域等综合命题，以一元一次、一元二次不等式、简单绝对值不等式及简单指数对数不等式为命题对象，主要以选择题、填空题形式出现，属于中低难度题．高考问题2：考查分类讨论考查利用分类讨论的方法解含参数的不等式与含绝对值不等式的问题，解题关键是参数的合理分类，一般不单独命题，而是在某个解答题中体现，难度中等．高考问题3：考查函数、方程、不等式的关系高考对不等式的综合应用的考查十分广泛．一般涉及求参数取值范围的问题均与不等式相关．此外，对于不等式问题，往往需要第四页，共三十三页，编辑于2023年，星期五结合函数思想、数形结合思想、等价变换思想等从函数或方程角度分析，如不等式恒成立问题等．第五页，共三十三页，编辑于2023年，星期五第六页，共三十三页，编辑于2023年，星期五(2)一元二次不等式可整理为ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0).(3)简单的一元高次不等式解法：数轴标根法．2．简单的绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式可利用绝对值的概念转化为不含绝对值的不等式．第七页，共三十三页，编辑于2023年，星期五第八页，共三十三页，编辑于2023年，星期五第九页，共三十三页，编辑于2023年，星期五1．(2010年·安徽淮北二模)已知全集U＝R，集合M＝{x||x－1|＜2}和N＝{y|log3y＜1，y∈N*}的关系韦恩(Venn)图如图所示，则阴影部分所表示的集合的元素共有(

)(A)3个．(B)2个．(C)1个.(D)无穷多个．【解析】

M＝{x|－1＜x＜3}，N＝{y|0＜y＜3，y∈N*}＝{1,2}．故阴影部分所表示的集合M∩N＝{1,2}，有2个元素．【答案】

B第十页，共三十三页，编辑于2023年，星期五第十一页，共三十三页，编辑于2023年，星期五(A)(1,2).(B)(－∞，2)．(C)(2,5).(D)(－∞，5)．【解析】

A＝(－∞，2)，B＝(1,5)，故A∩B＝(1,2)．【答案】

A第十二页，共三十三页，编辑于2023年，星期五第十三页，共三十三页，编辑于2023年，星期五第十四页，共三十三页，编辑于2023年，星期五【点评】利用不等式恒成立求参数范围，常采用分离变量的方法，将不等式恒成立转化为函数最值问题，再借助解不等式方法求出参数范围．第十五页，共三十三页，编辑于2023年，星期五即g(t)＝mt－m＋1满足在t∈[0,1]时，g(t)＞0恒成立，故当m＝0时，g(t)＝1＞0成立；当m＞0时，g(t)≥g(0)＝－m＋1＞0，解得0＜m＜1；当m＜0时，g(t)≥g(1)＝1＞0成立，解得m＜0.综上可知C正确．【答案】

C第十六页，共三十三页，编辑于2023年，星期五第十七页，共三十三页，编辑于2023年，星期五【点评】含参数不等式的解是条件解，必须标明参数相应的取值范围，同时注意不同参数范围的解集不能取并集．能力训练2解关于x的不等式ax2＋(a－1)x－1＞0.第十八页，共三十三页，编辑于2023年，星期五【指点迷津】由于所给函数为对数函数，故解不等式f(3x2－2x＋5)≥f(4x2＋x－5)需要考虑函数的单调性和定义域，由此将不等式转化为一元二次不等式，再由A∩B≠Ø考察两个解集的关系，从而得出关于p的不等式，解出实数p的取值范围．第十九页，共三十三页，编辑于2023年，星期五【点评】解关于对数(或指数)不等式，主要利用对数(或指数)函数的单调性，将其转化为一元一次或一元二次不等式，同时要考虑函数的定义域．考察两个集合的包含关系可利用数轴考查两个数集区间端点的大小关系．第二十页，共三十三页，编辑于2023年，星期五第二十一页，共三十三页，编辑于2023年，星期五1．不等式的基础是一元一次不等式和一元二次不等式,解决其他类型不等式的关键是利用有关不等式的性质或函数单调性等,将其等价转化为一元一次、一元二次不等式(组)．2．解决含参数的不等式问题，一要根据参数在不等式中的位置进行分类(如一元二次不等式中的二次项系数、指对数不等式中的底数等)，二要注意根据参数分类讨论得到的不等式解集不能取并集，但是分段函数根据定义域分类讨论得到的不等式解集需取并集．3．解决不等式中的参数取值范围问题，会用不等式及其对应的方程、函数三者之间的关系加以解决．第二十二页，共三十三页，编辑于2023年，星期五例1

(2010年·湖北八市高三调考)关于x的不等式2－x2＞|x－a|至少有一个负数解，则a的取值范围是________．【解析】如图，在同一坐标系内分别作出f(x)＝2－x2，g(x)＝|x－a|的图象，当a＞0时如图，将函数y＝|x|的图象向右平移经过点A时，此时恰好使不等式没有负数解，可求得a＝2，当a＝0时易知一定满足，故当0≤a＜2时符合条件，第二十三页，共三十三页，编辑于2023年，星期五当a＜0时如图，将函数y＝|x|的图象向左平移和抛物线相切时恰好不满足条件，设切点(x0，y0)，据题意可得－2x0＝1⇒x0＝－，故切点(－，)在直线y＝x－a上，代入求得a＝－，故－＜a＜0时满足条件，综上所述a的取值范围是(－，2)．【答案】

(－，2)第二十四页，共三十三页，编辑于2023年，星期五第二十五页，共三十三页，编辑于2023年，星期五基础过关2．(2010年·山东临沂市二模)若不等式|2x－3|＞4与不等式x2＋px＋q＞0解集相同，则p∶q等于(

)(A)12∶7.(B)7∶12.(C)－12∶7.(D)－3∶4.第二十六页，共三十三页，编辑于2023年，星期五第二十七页，共三十三页，编辑于2023年，星期五第二十八页，共三十三页，编辑于2023年，星期五能力提升第二十九页，共三十三页，编辑于2023年，星期五【解析】如图，易得f(x－1)＜0的解集是(0,2)．【答案】

D9．已知关于x的一元二次不等式ax2－8x＋2a2＜0的解集为M，且2∉M，则实数a的取值范围是________．【解析】

∵2∉M，∴4a－16＋2a2≥0，即有a2＋2a－8≥0，解得a∈(－∞，－4]∪[2，＋∞)，第三十页，共三十三页，编辑于2023年，星期五故实数a的取值范围范围是(－∞，－4]∪[2，＋∞)．【答案】

(－∞，－4]∪[2，＋∞)10．(2010年·福州二模)已知f(x)＝x2－2ax＋2(a∈R)，当x∈[－1，＋∞)时，不等式f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围．第三十一页，共三十