结构力学矩阵位移法

结构力学矩阵位移法第一页，共二十八页，编辑于2023年，星期五主要内容1基本概念2局部坐标系下单元刚度矩阵3整体坐标系下单元刚度矩阵4直接刚度法5引入边界条件的方法6等效结点荷载7直接刚度法的另一种形式——先处理法8用先处理法计算矩形刚架第二页，共二十八页，编辑于2023年，星期五§10.5引入边界条件的方法上节中讨论了如何形成原始结构刚度矩阵[K]0和建立原始结构刚度方程[K]0{}0=

{F}

。要使该方程有确定的解，必须引入边界条件。下面讨论如何引入边界条件。这是一种比较适用于手算的边界条件引入方法。其过程是通过互换行列的方法重新排列原始刚度方程，使得待求结点位移分量位于方程中位移向量的前面，结点位移分量为已知的位于方程中位移向量的后面。

1、静力凝聚法

如在例1中1、4号结点的位移分量已知为0，2、3号结点的位移分量为待求量。调整前的原始结构刚度方程为M2X2X3Y3Y2M3123图10-6例1题图xy1234②③①第三页，共二十八页，编辑于2023年，星期五通过互换行列后调整后的原始结构刚度方程为为了清楚起见。令：代表自由结点上的荷载列向量，为已知值；第四页，共二十八页，编辑于2023年，星期五代表位移分量为已知的约束结点力列向量，一般为待求量；代表自由结点上的位移列向量，一般为待求量；代表约束结点上的位移列向量，为已知值。如例1中M2X2X3Y3Y2M3123图10-6例1题图xy1234②③①则把调整后的原始刚度矩阵分块后可得上式可得对于例1

第五页，共二十八页，编辑于2023年，星期五我们把引入边界条件后缩减的刚度矩阵[K]称为结构刚度矩阵。为简化书写常略去下标简记为[K]。仔细分析容易发现，在原始结构刚度矩阵[K]0中，把结点位移分量为已知的那些行列划掉，紧缩原始结构刚度矩阵，即可得结构刚度矩阵[K]。紧缩后第六页，共二十八页，编辑于2023年，星期五因为所以设{F}为作用于支座上的荷载向量{P}和约束反力向量{R}之和，即则若支座上无荷载作用，则对于复杂的结构，采用矩阵位移法分析时，需借助计算机工具进行分析计算。显然，静力凝聚法在计算机上不易实现，即使能够实现也很容易引起编码混乱。使得计算结果难于分析。计算机程序计算时常采用下面两种方法。第七页，共二十八页，编辑于2023年，星期五

2、乘大数法为了把位移分量已知的分量从原始结构刚度方程中去掉，可以采用乘大数法。设第r个位移分量已知，且ur=r

，原始结构刚度方程为（改写成分量的形式）

用一个充分大的数N乘以上式中主对角线上的第r个元素Krr，并用N.Krr.代替荷载分量Fr,则上式变为

第八页，共二十八页，编辑于2023年，星期五这就相当于把原来的第r个方程去掉。同时也不改变原始刚度矩阵的规模。对所有的边界条件重复上述工作。该方法与静力凝聚法相比，工作量大为减少。但应注意，大数N要根据机器的容量，适当选取，过大计算过程容易造成数据溢出，过小不能准确反映给定位移边界条件。

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3、划零置1法在所需去掉的第r个方程中，将Krr换成1，而将相应的行列的其它元素全部置0。然后用已知位移分量r代替荷载分量Fr。其它荷载分量需做如下调整:调整后原始结构刚度方程变为

这种方法引入边界条件后也不改变原始刚度矩阵的规模，其工作量比乘大数法稍大，但不会产生人为边界条件误差。

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4、先处理法该方法是通过引入定位向量数组的方法，直接形成结构刚度矩阵，不产生原始结构刚度矩阵。后面将专门讨论。

一些大型的通用结构分析程序一般采用乘大数法或划零置1法种引入边界条件的方法。直接刚度法计算过程总结如下结构离散化。将结点和单元编码；建立结构（整体）坐标系下的原始结点荷载列向量{F}0及与之对应的原始结点位移列向量{}0

。单元分析。计算结构坐标系下的单元刚度矩阵，并分块组装原始结构刚度矩阵。将单元刚度矩阵中四个子块局部编码i、j换成结点编码（1，2…n），按换码后的下标“对号入座”累加到原始结构刚度矩阵相应的位置中。第十一页，共二十八页，编辑于2023年，星期五引入边界条件。根据给定问题的边界条件，修改原始结构刚度矩阵（采用前述的方法之一），求出结点位移。应用整体坐标系下的单元刚度方程求出杆端力，再利用坐标变换，求出局部坐标系下的单元杆端力。作内力图，寻求危险截面或可能的危险截面。计算支座反力。计算结果校核。第十二页，共二十八页，编辑于2023年，星期五例3计算图示桁架各杆的内力，设各杆的EA=常数。ll10kN10kN图10-9例3题图解：(1)结构离散化，6个单元，4个结点，整体坐标系如图示。③④⑤⑥1234图（a）①②xy(2)建立结构的位移和结点力列向量其中，第十三页，共二十八页，编辑于2023年，星期五(3)单元分析单元①，i=1，j=2，=/2单元②，i=2，j=3，=0单元③，i=4，j=3，=/2③④⑤⑥1234图（a）①②xy第十四页，共二十八页，编辑于2023年，星期五③④⑤⑥1234图（a）①②xy单元④，i=1，j=4，=0单元⑤，i=4，j=2，=3/4,单元⑥，i=1，j=3，=/4,第十五页，共二十八页，编辑于2023年，星期五③④⑤⑥1234图（a）①②xy注：后面的计算中取(4)组装结构原始刚度矩阵赋0加单元①加单元②加单元③加单元④第十六页，共二十八页，编辑于2023年，星期五③④⑤⑥1234图（a）①②xy加单元⑤加单元⑥代入数据展开得第十七页，共二十八页，编辑于2023年，星期五(5)引入边界条件采用静力凝聚法，因结点1、4的位移为零，则③④⑤⑥1234图（a）①②xy第十八页，共二十八页，编辑于2023年，星期五③④⑤⑥1234图（a）①②xy(6)解方程组求结点位移及约束反力结构刚度方程为[K]{}={F}

，代入数据得第十九页，共二十八页，编辑于2023年，星期五解之得求约束反力因为{F}=[K]{}

，即

(7)求各杆的杆端力第二十页，共二十八页，编辑于2023年，星期五③④⑤⑥1234图（a）①②xy则单元①，i=1，j=2，=/2第二十一页，共二十八页，编辑于2023年，星期五③④⑤⑥1234图（a）①②xy单元②，i=2，j=3，=0则第二十二页，共二十八页，编辑于2023年，星期五③④⑤⑥1234图（a）①②xy单元③，i=4，j=3，=/2则第二十三页，共二十八页，编辑于2023年，星期五③④⑤⑥1234图（a）①②xy单元④，i=1，j=4，=0则第二十四页，共二十八页，编辑于2023年，星期五单元⑤，i=4，j=2，=3/4,③④⑤⑥1234图（a）①②xy则第二十五页，共二十八页，编辑于2023年，星期五③④⑤⑥1234图（a）①②xy单元⑥，i=1，j=3，=/4