傅里叶级数的优越性

傅里叶级数的优越性

摘要众所周知，幕级数是一种最为简单放入级数，它有具有很好的性质，在许多方面都有运用。是数学分析解决问题的有利工具，特别是在研究函数方面。而傅里叶级数作为比幕级数更为复杂的令一种级数，是继幕级数后。形成的在理论以及其他许多方面，如在工程技术，特别是无线电、通信、数字处理中一个比不可少的工具。那么傅里叶级数在那些方面优越幕级数呢？优越的程度如何？引起优越的原因是什么？本文将进行有利的研究。1傅里叶级数的优越性1.1在级数存在性的问题上定义1f(x)在x0点的某领域内具有任意阶导数，(n=0,1,2,3・・・.)所确定的a称为函数f(x)的Taylor系数，用这些系数组成的幕级数男a(x-X0)称为函数f(x)的Taylor级数，记n=1f(x)~Za(x一x)n (1)n=1由此可知，只要函数f(x)在点x0点附近存在任意阶导数，就都有其对应的Taylor级数，且幕级数至少有有一个收敛点x0于是，Taylor级数一定收敛，但在x的某领域内不一定收敛于函数f(x)。0例1由于函数「0,x=0,f(x)=<e-x2妇,在x=0处任何阶导数都等于0，即fn(0)=0,n=1,2,3...,所以f(x)在x=0的泰勒级数为0+0Xx+—x2+...+-0xn+....2! n!显然它在(-3,+反上收敛，且其和函数S(x)=0。由此看到，对一切x。0都有f(x)。S(xX

这个例子说明，具有任何阶段的导数的函数，其泰勒级数并不是都能收敛函数本身。即在(1)式中不可以改“〜”号为“=”。反之，若有幕级数男a(x-x)在x点0 0n=1附近一一致收敛(或收敛)于函数f(x)的Taylor级数展开式。定义2设函数f(x)在［-兀,兀］上可积，由a=~L"f(x)cosnxdx,(n=0,1,2,...)n兀一兀b=1"f(x)sinnxdx,(n=0,1,2,...)n兀一兀所确定的数a与b称为函数f(x)的傅里叶系数，用这些做成三角函数(2)(2)-^o+男(aconx+(2)(2)n=1f(x)—20+f(x)—20+为(acosnx+bsinnx)n=1于是，在［-兀,兀］上的可积函数f(x)，一定存在其相应的傅里叶级数，但是傅里叶级数不一定收敛于函数f(x)，即在不可以将“〜〃换成“=”号，反之若有［-兀,兀］上的三角函数-20+为(acosnx+bsinnx)n=1一致收敛于函数f(x)，则此级数一定是傅里叶级数的展开式。结论1如果两函数f(x)与g(x)在x的某领域中有相同的值，则不论它们在这领域外的0值是怎么样的，它们的傅里叶级数在x0处同时收敛散，而且收敛时有相同的和，考虑到f(x)的傅里叶系数a与b是由f(x)在整个区间［-兀，兀］所确定，上述这个局部化结果是出乎意料的，这说明了傅里叶级数的优越性。比较可知，函数f(x)相应的傅里叶级数的存在性的条件要比函数相应幕级数的条件更低。即可写成其相应的傅里叶级数的函数要比相应的幕级数的函数更多。1.2在级数的收敛性问题上在(1)，(2)式中，什么时候“〜”号为“=”号呢？即在什么时候级数收敛于函数呢？有结论2若函数f3)是以2兀为周期的分段函数，则函数的傅里叶级数处处收敛，且有尤(acosnx+bsinnx)nn=1该结论的条件可以降低，从而可以建立一些更精细的判别法具有分段光滑的函数类更广泛的函数类的展开为傅里叶级数的收敛问题。定理(傅里叶收敛的充分条件，Dini判别法)设f(x)是周期为2兀且在［-兀,兀］上可积或绝对可积得函数，对某个实数s，令中(t)=f(X0+1)+f(x0-1)-2s，如果对〉0，使得函数业在「-兀,兀］上可积或绝对可积，则f(x)的傅里叶级数在xt「 0处收敛于s从Dini判别法可以推导一些便于运用的判别法。当f(x)在x处为第一类间断点时，f(x)的傅里叶级数收敛于0厂一f,一 一f,-—f(x+0)+f(x-0)］0 0n特别的，当f(x)在x0处连续时，f(x)的傅里叶级数在x0处收敛于f(x)。推论2,如果周期为2兀的函数f(x)在［-兀,兀］上是分段可导的，则f(x)的1傅里叶级数在每点x处收敛于2〔f(x+0)+f(x-0)］特别的，在f(x)连续点收敛于f(x)。0结论3若函数f(x)在x0处有任意阶导数则函数f(x)在x0点附近展开成Taylor级数的充分必要条件是limR(X)=0,其中，R(x)为Taylor级数的xT3n余项。由此可看到，只要f(x)是周期为2兀的函数，且在［-兀,兀］上有一阶导数，就可以将它展开成傅里叶级数，而幕级数展开的必要条件是f(x)为有任意阶导数存在

的函数，从这点看，傅里叶级数比幕级数优越。1.3在级数的不唯一性问题上将给定的可积函数f3)展开为傅里叶级数，可根据不同的情况，不同的区间，函数要研究的不同形式，而展开成不同的形式。从而更好的研究函数。在这方面傅里叶级数比幕级数更优越。因为幕级数展开相对来说比较狭隘。其中常见的有以下几种。(1)若函数f3)是以2兀为周期的函数，则可由n兀"f(x)sinnxdx,(n=0,1,2,...)n兀一兀求出相应的傅里叶级数nn=1寸+¥(acosnx+bnn=1然后根据函数的性质及相应的收敛定理写出函数f(x)的傅里叶展开式，同时注明收敛区间。(2)若函数只在［-兀,兀］上给出，则用周期开拓的办法归结为(1)，但收敛期间只在［—兀,兀］上考虑。例2设函数是f(x)=|sinx|，一丸＜x〈丸,求f(x)的傅里叶展开式。解f解f(x)是［-兀,兀］的偶函数，如图就是这函数及周期延拓的图形，由于f(x)是22L.,=—尸sinxcosnxdx=兀o'0,n=3,5,...<4 1 (n=0,1,2,...)一— 兀n2—1,

TOC\o"1-5"\h\z2R. •，八Jsinnxsinxdx=012兄cos2mx

-m=12兄cos2mx

-m=14m^i一8<x<+8因此sinx=一_一" cos2mx=—兀兀14m2-1 兀(3)对于之在(0,兀)上定义的函数，如何展开成傅里叶级数呢？这时，在(。,兀)上可以任意补充f(x)的定义，使f(x)在上定［-兀,兀］上有定义，然后在以2兀为周期的函数延拓到整个数轴上。对于不同的延拓，得到的傅里叶级数自然不一样，但在(0,兀)上，它们都收敛于同一函数，而奇性延拓和偶性延拓是最常好、见得两种方法。在奇延拓下，函数f(x)的傅里叶级数呈现形如男bsinnx的形式。称之nn=1为函数的正弦函数。在偶函数延拓下的函数函数f(x)的傅里叶级数呈现形如男acosnx的形式，称之为函数的余弦函数。nn=1(4)若函数f(x)是以21为周期的函数，可a=1f1f(x)cos号^dx,(n=0,1,2,...)b=1J1f(x)sinn^xdx,(n=0,1,2,...)求出相应的傅里叶级数为：刍+男(acos阳+bsin四)2n1n1n1总上所述，对于函数f(x)的傅里叶级数展开，因考虑的区间性质不同，而展开的傅里叶级数也不一样，这充分说明了傅里叶级数给研究函数提供了方便，对研究函数提供了更为广泛的空间，从而使我们更好的研究函数，广泛的用于工业上，是我们更为有利的条件。但是幕级数的展开式，形式很唯一，其方法也是唯一的。若函数f(x)在x0附近能展开成幕级数的形式，则它一定是Taylor级数的形式