2016年研究生数学建模竞赛优秀论文选-《粮食最低收购价政策问题研究》3-50

校届

国2.第十

参赛密码校届

国2.第十（由组委会填写）

“HW杯”

学三参赛队号全1.队员姓名研3.学建模竞赛

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粮食最低收购价政策问题研究

参赛密码粮食最低收购价政策问题研究（由组委会填写）

“HW杯”第十三届全国研究生数学建模竞赛

题目摘要：

粮食最低收购价政策旨在保护农民种粮收益，促进粮食产业稳定发展，保障国家粮食安全。本文在查阅大量数据和相关政策的基础上，运用主成分分析、多元线性回归分析和柯布—道格拉斯函数等方法研究了粮食最低收购价政策问题。对于问题一，根据粮食最低收购价政策实行范围和各省份粮食播种面积，本文首先明确出研究的粮食品种对象为小麦和水稻，进而运用所占总播种面积比值最大法确定出小麦的主产省份为山东和河南，水稻的主产省份为湖南和江西；其次，在分析相关数据基础上，综合考虑影响粮食种植面积可能的直接因素和间接因素，得出影响粮食种植面积的指标体系包括农业劳动人口、进口量、出口量、农民教育程度、城乡收入差距、家庭负担（消费收入）、农资指数、农机总动力、上年粮食最低收购价、工业生产总值和城市区域面积11项指标，并对各指标进行了合理性分析；然后，利用主成分分析法对上述11项指标进行筛选，得出影响山东小麦的4个主要影响因素为上年粮食收购价、农业劳动人口、家庭负担和小麦出口量，影响河南小麦种植面积的3项主要因素为农民教育程度、农资指数和城市区域面积，影响湖南水稻播种面积的2个主要指标是上年粮食收购价和农民受教育程度，影响江西水稻的3个主要指标为上年粮食收购价、农业劳动人口和工业生产总值；最后，运用多元线性回归模型，建立了粮食种植面积关于主要影响因素的回归方程（见式4-13~4-16），利用相关系数、残差和显著性水平，对模型的可信度和可靠性进行了评价，得知该模型的精确度较高。对于问题二，在查阅文献和收集相关数据的基础上，本文首先选出评价粮食最低收购价政策执行效果的主要指标有粮食种植面积、农资指数、粮食总产量、农机总动力、人民支出，其次，利用主成分分析法筛选出3个主要成分（见式5-7和5-8）代替原来

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的较多影响因素；然后，运用多元线性回归分析法，建立粮食最低收购价政策执行效果的评价模型（见式5-11）；最后，参照问题一的粮食主产区，选择河南省的小麦和江西省的水稻为例，比较研究了粮食主产区粮食最低收购价执行的效果，由河南省小麦的相关数据为：R2=0.118，F=0.2676，p=0.8467，江西省水稻的相关数据为：R2=0.097，

F=0.2148，p=0.8827，得知执行效果并不是很显著。

对于问题三，选择运用数据分析法探讨我国粮食价格所具有的特殊规律性。基于所查文献资料和相关数据，本文首先根据以小麦和水稻为代表的粮食周度、月度、季度市场收购价，得出粮食市场收购价格具有波动性上升规律（见图6-1~6-9）；其次，根据近十年小麦和水稻的最低收购价格，运用Excel绘出最低收购价走势图（见图6-10、图6-11），得出最低收购价总体呈现递增规律，并且粮食的最低收购价受宏观调控等因素影响，具有可调控性；然后，结合粮食市场收购价与粮食最低收购价绘出两者走势图（见图6-12、图6-13），根据图形得出粮食市场收购价与粮食最低收购价走势趋势大体一致，并且市场收购价格略高于最低收购价格，最低收购价格上升幅度紧随粮食的市场收购价格之后，说明粮食价格规律受市场供求、居民收入与消费结构、粮食产量、粮食生产成本、农户的收益以及竞争机制和风险机制等客观因素的影响；最后，简单分析影响粮食价格波动的因素以及现今粮食价格体系存在的问题。对于问题四，本文首先基于柯布-道格拉斯函数，建立了粮食生产量函数（见式7-2），并结合粮食需求量函数（见式7-4），以粮食生产量和需求量差值最小为目标函数，以粮食收购价格、人均消费、种植面积之间的关系为约束条件，建立合理制定粮食最低收购价模型；其次，对模型进行分析和公式推导，得到了粮食最低收购价格的上限和下限数学公式，在以小麦数据为研究对象，利用MATLAB求解，得出“十二五”期间每年的小麦最低收购价合理范围（见表7-2）；然后，通过实际小麦最低收购价数据验证，得出该模型的合理性较好，最后，基于“十二五”期间的数据，运用该模型预测出2017年小麦的最低收购价下限为2.5元/公斤，上限为4.8元/公斤。对于问题五，基于问题四的最低收购价格区间上下限数学公式和市场价格供求关系，通过公式推导得到2015年小麦最低收购价合理区间和实现小麦相对2000年种植面积5%的增加量。文中在满足市场需求和农民利益的条件下，确定了2015年最低收购价格的合理区间下限为0.68元/公斤，上限为3.28元/公斤；以及通过最低收购价格实现种植面积增产的最小收购价格为3.1元/kg，该值落在最低收购价格合理区间内，所以适当的提高最低收购价格可以实现2015年小麦种植面积相对2000年小麦种植面积的5%增加量。对于问题六，基于前五个问题中对粮食种植面积和粮食最低收购价合理制定问题，为我国合理调控粮食种植提出了一些优化决策和建议。最后，对模型的优缺点进行了评价，并提出了一些模型的改进措施和模型推广。关键词:粮食种植面积；主成分分析；多元线性回归；粮食最低收购价；柯布—道格拉斯函数

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影响粮食种植面积的因素有多种，请相关的指标体系和关于粮食种植面积的数

学者们对粮食最低收购价政策各执己见。请建立评价粮食最低收购价政策执行

影响粮食种植面积的因素有多种，请相关的指标体系和关于粮食种植面积的数

学者们对粮食最低收购价政策各执己见。请建立评价粮食最低收购价政策执行

通过查阅比较我国粮食相关数据，建立数学模型对我国粮食价格所具有的的特

建立合理制定粮食最低收购价价格的模型，进一步评价出“十二五”期间粮食假设农业机械总动力为常数；

粮食问题既是重要的经济问题，也是重大的政治问题。随着近年来土地、人口、环境日益凸显，加之国际粮食市场的冲击，我国粮食产业面临着潜在的风险，为此粮食保护政策的作用愈来愈重要。粮食保护政策由粮食生产支持政策、粮食价格支持政策和收入支持政策组成，而粮食最低收购价政策就属于粮食价格支持政策范畴。所谓粮食最低收购价政策，就是以确保生产中消费者利益、保障国家粮食安全为目的，当市场粮价低于国家确定的最低收购价时，国家对短缺的重点粮食品种，指定有资质的粮食企业，按最低收购价收购农民余粮的价格支持政策。我国2005年首次启动最低收购价政策的执行预案，多年以来不断上调最低价价格，至今年粮食的最低收购价格仍然较高，如小麦、早籼稻、中晚籼稻和粳稻分别为每50公斤118元、133元、138元和155元。对于最低收购价政策，学者们的意见贬褒不一，有学者认为该政策是保护国家粮食生产的重要渠道之一，还有学者认为该政策不利于粮食市场的正常运转，增大了粮食企业的经营风险。同样，学者们对粮食最低收购价政策实施效果的评价也是各不相同。通常可根据粮食种植面积在该政策实施前后是否有显著性变化，来衡量该政策的实施效果。但粮食种植面积不仅依赖于粮食最低价收购政策，还与家庭负担、农资价格、粮食需求量和政府补贴等因素息息相关。粮食最低收购价政策有利于稳定市场粮价、促进农民增收，有利于稳定粮农的收入，有利于调动农民种粮、地方抓粮的积极性。合理制定粮食最低收购价是一项重要的工作，粮食最低收购价的高低影响粮农种粮的积极性和国家粮食市场的稳定。国家对于粮食的补贴金额受制于粮食的市场价格，当粮食最低收购价过高时，不仅会增加粮食的库存压力和国家财政的支出风险，还会提高粮食市场价格从而加重消费者负担，当粮食最低收购价过低时，会严重打击农民的种粮积极性，不利于保障国家粮食安全。根据查阅的相关资料和数据，通过建立合理的数学模型，解决以下问题：1.学模型，对指标体系的合理性进行讨论和评价，研究他们之间的关系，并运用合理的方法检验和分析得出的相应结果的可信度和可靠性；2.效果的数学模型。根据粮食品种和区域差异，利用所建立的数学模型，评价粮食主产区中具有代表性省份粮食最低收购价执行的效果；3.殊规律性做出探讨；4.最低收购价价格的合理性，并运用该模型预测2017年粮食最低收购价的合理范围。5．2015年我国小麦种植面积较2000年略有下降，请问是否可通过调整粮食最低收购价使得国家小麦的种植面积增加5%？并给出详细理由说明。6．根据以上粮食最低价政策的实施效果，为进一步加快我国农业发展，提出调控粮食种植的优化决策和建议。

二、模型假设

1.

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假设农村务农人口数为农村常住人口数；假设小麦和水稻的市场收购价格为其平均出售价格；假设家庭负担等同于家庭支出。符号ijsRreQyZECovLPKIA符号说明时间（年份）省份播种面积相关矩阵相关系数特征值残差残差平方和权重回归变量假设农村务农人口数为农村常住人口数；假设小麦和水稻的市场收购价格为其平均出售价格；假设家庭负担等同于家庭支出。符号ijsRreQyZECovLPKIA符号说明时间（年份）省份播种面积相关矩阵相关系数特征值残差残差平方和权重回归变量均差协方差正规方程随机误差显著性水平产量资本投入量劳动投入量技术进步系数随机扰动项3.4.

三、符号说明

序号1234567891011121314151617181920

四、问题一模型建立与求解

4.1问题分析

问题一要求我们建立影响粮食种植面积的指标体系和关于粮食种植面积的数学模型。由于影响粮食种植面积的因素比较多，而且可能存在着粮食品种和区域差异，因此首先需要根据我国粮食最低收购政策执行区域和时间确定出所研究的粮食品种对象，在确定出粮食品种对象的基础上，确定出所研究粮食品种的主产区省份，进而确定出影响粮食种植面积的指标体系。由于指标体系中影响因素很多，包括农业劳动人口、粮食进出口贸易、农民教育程度、城乡收入差距、家庭负担、农技价格、人工费用、农机总动力、上年粮食最低收购价、城市征用土地面积和工业化程度等，故最后拟采用主成分分

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x小ij表示i年x小ij表示i年j省小麦播种面积。20（4-1）的多元线性回归模型。为验证该模型的合理性，需要对指标体系的合理性进行讨论和评价，研究指标之间的关系，利用残差分布检验模型求解结果的可靠性和可信度。综上所述，建立关于粮食种植面积的数学模型流程图如图4-1所示。

图4-1建立粮食种植面积数学模型流程示意图

4.2模型准备

查阅相关文献[1-2]，可得知我国粮食最低收购价政策执行区域，粮食最低收购价政策只限于规定品种的重点主产区，小麦是河北、河南、山东、湖北、安徽、江苏六省，早籼稻是湖南、湖北、江西、安徽、广西五省，中晚籼稻与粳稻是辽宁、吉林、黑龙江、江苏、安徽、江西、河南、湖北、湖南、广西、四川十一省，因此可确定出本文研究的粮食品种为小麦和水稻。通过各种数据网站，搜集相关粮食数据，如粮食播种面积、各农作物播种面积等数据，然后比较分析同一粮食在不同省份播种面积的大小，从而得出不同农作物的各自主产区省份。

4.3模型建立与求解

4.3.1确定粮食品种

由模型准备可得，我国实行粮食最低收购价政策的粮食作物只有小麦和水稻两种，并且本题中也只提及该两种作物自2005年以来的最低收购价格，以及最低收购价价格的变化，因此本文中选定小麦和水稻两种农作物作为研究粮食最低收购价政策问题的对象。

4.3.1确定小麦、水稻的主产省份

通过中华人民共和国国家统计局网站[3]，搜集近20年来小麦和水稻的播种面积相关数据。通过分别比较小麦和水稻各省份总播种面积占全国播种面积的比值大小，来选定小麦和水稻的主要产区省份。计算近20年来各省小麦总播种面积s，计算公式如下小j

s小ji1其中，i表示年份，j表示全国省份，x小ij

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30小麦播种面积所占百分比/%0.33280.45449.76333.07582.56360.24130.11631.86080.20347.96380.46638.70120.08760.1198614.3135s小js地区河南省湖北省湖南省广东省广西壮族自治区重庆市四川省贵州省云南省西藏自治区陕西省甘肃省青海省宁夏回族自治区新疆维吾尔自治区100%小麦播种面积所占百分比/%20.01683.85840.31210.03240.04571.24185.90991.60762.14440.17385.15564.12010.54971.01093.5567（4-2）

计算各省小麦总播种面积所占粮食总播种面积百分比p，计算公式如下30小麦播种面积所占百分比/%0.33280.45449.76333.07582.56360.24130.11631.86080.20347.96380.46638.70120.08760.1198614.3135s小js地区河南省湖北省湖南省广东省广西壮族自治区重庆市四川省贵州省云南省西藏自治区陕西省甘肃省青海省宁夏回族自治区新疆维吾尔自治区100%小麦播种面积所占百分比/%20.01683.85840.31210.03240.04571.24185.90991.60762.14440.17385.15564.12010.54971.01093.5567（4-2）小j

p小j

小jj1计算得出的各省小麦总播种面积所占粮食总播种面积百分比数据，见表4-1所示。

表4-1各省份小麦播种面积所占百分比数据

地区

北京市天津市河北省山西省内蒙古自治区辽宁省吉林省黑龙江省上海市江苏省浙江省安徽省福建省江西省山东省为进一步便于比较各省份之间，小麦的总播种面积所占比值的大小关系，将表4-1中的数据做成如图4-2所示的柱状图。

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x水ij表示i年j省水稻播种面积。计s水j水稻播种面积所占百分比/%0.03100.1707s地区湖北省湖南省20水稻播种面积所占百分比/%4.73048.5789（4-3）

图x水ij表示i年j省水稻播种面积。计s水j水稻播种面积所占百分比/%0.03100.1707s地区湖北省湖南省20水稻播种面积所占百分比/%4.73048.5789（4-3）

由图4-2可得知，小麦的总播种面积比值最大的两个省份为山东省和河南省，播种面积所占比值分别为14.3%和20.0%。同样的方法，计算近20年来各省水稻总播种面积s，计算公式如下水j

s水ji1其中，i表示年份，j表示全国省份，x小ij算各省水稻总播种面积所占粮食总播种面积百分比p，计算公式如下水j

p100%（4-4）水j31

水jj1计算得出的各省水稻总播种面积所占粮食总播种面积百分比数据，见表4-1所示。

表4-2各省份水稻播种面积所占百分比数据

地区

天津市河北省

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0.01340.18811.27141.41534.90553.60884.47962.00824.51761.91666.83100.98861.9399广东省广西壮族自治区海南省重庆市四川省贵州省云南省西藏自治区陕西省甘肃省青海省宁夏回族自治区新疆维吾尔自治区4.95445.68182.59154.01676.08704.74375.68723.33814.17433.459804.72406.1947

山西省0.01340.18811.27141.41534.90553.60884.47962.00824.51761.91666.83100.98861.9399广东省广西壮族自治区海南省重庆市四川省贵州省云南省西藏自治区陕西省甘肃省青海省宁夏回族自治区新疆维吾尔自治区4.95445.68182.59154.01676.08704.74375.68723.33814.17433.459804.72406.1947内蒙古自治区辽宁省吉林省黑龙江省上海市江苏省浙江省安徽省福建省江西省山东省河南省同样利用作图软件将表4-2中的水稻总播种面积所占百分比作出柱状图，如图4-3所示。

图4-3各省份水稻播种面积所占百分比柱状图

通过图中柱状图形的高低可得知，水稻主产省份为江西省和湖南省，总播种面值所占比值分别为6.83%和8.58%。

4.3.2确定影响粮食种植面积指标体系

农民影响粮食种植面积的因素有很多，包括农业劳动人口、进口量、出口量、农民受教育程度、城乡收入差距、家庭负担（消费收入）、农资指数、农机总动力、上年粮食最低收购价、工业生产总值和城市区域面积11项指标。统计年鉴中可提供乡村人口文盲率数据，故可用乡村人口文盲率代替农民受教育程度。由于影响粮食种植面积的因

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农业劳动人口（万人）5462.005482.005559.005646.005698.005902.005860.005909.006055.006066.00农资价格（上年=100）101.18103.00105.90111.10103.0096.30119.30107.10103.00106.2iiii出口量（吨）957.4725200.139794.251.178400.12125949.13233662011482.2260264.5农机总动力（万千瓦）13101127391241912098116281108010350991795559199*进口量（吨）2971249.15506711.33688616.31248822.11218722.7893709.8331873.4583424.75584094.923510133.2上年粮粮食收购价11811210295908777727272农民受教育程度0.060.070.070.070.070.070.070.070.000.07工业生产总值35387.4343900.2154428.2762958.5371209.4283851.39999504.98114707.29129906.01141415.02xs城乡收入差距68147824927910664116921295514450163101764417340城市区域面积84963.7283739.4283994.983999.483026.9482399.8982107.8182162.682135.2936876.34x家庭负担7962.206877.306776.055900.574807.184417.184077.053621.603143.802735.80ii1,2,,p（4-5）

素较多，采用主成分分析法筛选出主要指标[4]，利用农业劳动人口（万人）5462.005482.005559.005646.005698.005902.005860.005909.006055.006066.00农资价格（上年=100）101.18103.00105.90111.10103.0096.30119.30107.10103.00106.2iiii出口量（吨）957.4725200.139794.251.178400.12125949.13233662011482.2260264.5农机总动力（万千瓦）13101127391241912098116281108010350991795559199*进口量（吨）2971249.15506711.33688616.31248822.11218722.7893709.8331873.4583424.75584094.923510133.2上年粮粮食收购价11811210295908777727272农民受教育程度0.060.070.070.070.070.070.070.070.000.07工业生产总值35387.4343900.2154428.2762958.5371209.4283851.39999504.98114707.29129906.01141415.02xs城乡收入差距68147824927910664116921295514450163101764417340城市区域面积84963.7283739.4283994.983999.483026.9482399.8982107.8182162.682135.2936876.34x家庭负担7962.206877.306776.055900.574807.184417.184077.053621.603143.802735.80ii1,2,,p（4-5）（附录1）。以山东小麦为例，详细介绍主成分分析法筛选主要影响粮食种植面积的过程。2005-2014年间山东小麦上述十一项指标的统计数据如表4-3所示。

表4-32005-2014年间山东小麦十一项指标的统计数据

时间

2014201320122011201020092008200720062005续表

时间

2014201320122011201020092008200720062005将以上各指标的原始数据和小麦播种面积数据进行标准化，标准化后数据见表4-4。利用下式将原始数据标准化

x

ii

式中x为x的均值；s为样本离差阵S

-10-

农业劳动人口-3.7407-2.7434-2.0156-1.4308-0.4228-0.01950.03231.17850.90957.1477农资价格-3.6701-2.7147-1.9843-1.3715-0.4043-0.01840.02691.15020.87897.0301农业劳动人口影响率/%-3.1985-3.2466出口量-3.6812-2.7275-1.9837-1.9514-0.4040-0.0200-0.0099-0.1323-0.165924.9721农机总动力-3.8461-2.7830-2.0565-1.5067-0.4444-0.02060.03851.19890.92857.2112出口量影响率/%-3.1476-3.2279进口量0.38800.28030.20860.16420.04740.00230.42171.7576-0.3819-0.8086上年粮粮食收购价-3.6703-2.7148-1.9843-1.3713-0.4043-0.01840.02681.15000.87887.0294进口量影响率/%0.33180.3317农民受教育程度-3.6688-2.7142-1.9837-1.3703-0.4040-0.01840.02681.14960.87847.0280工业生产总值-4.1906-2.9669-2.3477-2.5908-0.9114-0.1122-0.01392.19243.302411.5295农民受教育程度影响/%率-3.1370-3.2121城乡收入差距-3.7589-2.7560-2.0376-1.4891-0.4447-0.02110.04651.23300.97577.3814城市区域面积-5.2333-3.2407-2.6077-3.6889-1.1514-0.1031-0.01891.74371.63917.8247城乡收入差距影响率/%-3.2141-3.2616家庭负担-3.7745-2.7509-2.0228-1.4336-0.4198-0.01920.03041.16720.89437.0815播种面积1.16950.84500.62890.49370.14240.0069-0.0198-0.3982-0.4376-2.4307家庭负担影响率/%-3.2275-3.2555

表4-42005-2014年间山东小麦十一项指标和播种面积标准化数据农业劳动人口-3.7407-2.7434-2.0156-1.4308-0.4228-0.01950.03231.17850.90957.1477农资价格-3.6701-2.7147-1.9843-1.3715-0.4043-0.01840.02691.15020.87897.0301农业劳动人口影响率/%-3.1985-3.2466出口量-3.6812-2.7275-1.9837-1.9514-0.4040-0.0200-0.0099-0.1323-0.165924.9721农机总动力-3.8461-2.7830-2.0565-1.5067-0.4444-0.02060.03851.19890.92857.2112出口量影响率/%-3.1476-3.2279进口量0.38800.28030.20860.16420.04740.00230.42171.7576-0.3819-0.8086上年粮粮食收购价-3.6703-2.7148-1.9843-1.3713-0.4043-0.01840.02681.15000.87887.0294进口量影响率/%0.33180.3317农民受教育程度-3.6688-2.7142-1.9837-1.3703-0.4040-0.01840.02681.14960.87847.0280工业生产总值-4.1906-2.9669-2.3477-2.5908-0.9114-0.1122-0.01392.19243.302411.5295农民受教育程度影响/%率-3.1370-3.2121城乡收入差距-3.7589-2.7560-2.0376-1.4891-0.4447-0.02110.04651.23300.97577.3814城市区域面积-5.2333-3.2407-2.6077-3.6889-1.1514-0.1031-0.01891.74371.63917.8247城乡收入差距影响率/%-3.2141-3.2616家庭负担-3.7745-2.7509-2.0228-1.4336-0.4198-0.01920.03041.16720.89437.0815播种面积1.16950.84500.62890.49370.14240.0069-0.0198-0.3982-0.4376-2.4307家庭负担影响率/%-3.2275-3.2555

时间

2014201320122011201020092008200720062005续表

时间

2014201320122011201020092008200720062005通过将上述十一项指标标准化数据与标准化后的山东小麦播种面积做比，得出各指标对小麦播种面积的影响率（表4-5）。

表4-52005-2014年间山东小麦十一项指标的影响率数据

时间

20142013

-11-

-3.2050-2.8980-2.9694-2.8285-1.6330-2.9596-2.0784-2.9406农资价格影响率/%-3.1381-3.2127-3.1552-2.7779-2.8394-2.6646-1.3566-2.8884-2.0085-2.9667

10.9992-0.0062-0.09650.36410.9663110.8912-0.03341

1I,p)，并使其按大小顺序排列，即2-3.1543-3.9525-2.8371-2.90540.50050.33230.3791-10.2736农机总动力影响率/%-3.2886-3.2935-3.2699-3.0519-3.1208-2.9927-1.9426-3.0109-2.1219-2.891910.99840.0256-0.09460.36660.967310.66020.6350.0708

0.4072p0.33170.33260.33270.3364-21.2990-4.41400.87260.3327上年粮粮食收购价-3.1383-3.2128-3.1552-2.7776-2.8391-2.6643-1.3549-2.8880-2.0081-4.743310.99990.99770.99730.993-3.2050-2.8980-2.9694-2.8285-1.6330-2.9596-2.0784-2.9406农资价格影响率/%-3.1381-3.2127-3.1552-2.7779-2.8394-2.6646-1.3566-2.8884-2.0085-2.9667

10.9992-0.0062-0.09650.36410.9663110.8912-0.03341

1I,p)，并使其按大小顺序排列，即2-3.1543-3.9525-2.8371-2.90540.50050.33230.3791-10.2736农机总动力影响率/%-3.2886-3.2935-3.2699-3.0519-3.1208-2.9927-1.9426-3.0109-2.1219-2.891910.99840.0256-0.09460.36660.967310.66020.6350.0708

0.4072p0.33170.33260.33270.3364-21.2990-4.41400.87260.3327上年粮粮食收购价-3.1383-3.2128-3.1552-2.7776-2.8391-2.6643-1.3549-2.8880-2.0081-4.743310.99990.99770.99730.9936-0.0498-0.08150.375210.998210.9947-0.04420.01-0.0839-0.06340.39440.37340.96140.9677

0；然后分别求出-3.1543-2.7756-2.8371-2.6620-1.3518-2.8871-2.0073-2.8914工业生产总值-3.5832-3.5111-3.7331-5.2478-6.4004-16.26250.7027-5.5059-7.5466-3.21910.9604

0.99940.99830.998-3.2399-3.0163-3.1225-3.0570-2.3493-3.0965-2.2296-3.0367城市区域面积-4.4749-3.8351-4.1464-7.4720-8.0857-14.94110.9570-4.3789-3.7456-3.2163-2.9038-2.9479-2.7847-1.5358-2.9311-2.0436-2.91342011201020092008200720062005续表

时间

2014201320122011201020092008200720062005-2.8922各指标的相关矩阵R为10.99990.99820.9949-0.0426-0.08440.37290.9623

R

计算R的特征值与特征向量。首先解特征方程R0，通常用雅可比法求出特

征值i(i1,2,1

-12-

,p)。这里要求e1，即pei特征向量-0.374-0.3737-0.3739-0.3748-0.3741-0.3736-0.01380.0077-0.1626-0.366i1,2,pi

k1p贡献率/%0.60630.19940.10230.04550.03270.01322i-0.0482-0.0485-0.0483-0.0261-0.0452-0.03680.54070.61730.56160.0017,pi1,2,累计贡献率/%0.60630.80570.9080.95350.98620.99941，其中e表ij-0.0476-0.0671-0.05180.01940.04460.10380.8232-0.4205-0.33380.1072（4-6）,pij0.13760.14690.14810.13880.14770.16080.1019-0.06690.0444-0.924（4-7）-0.16820.27190.1943-0.468-0.18110.0665-0.0022-0.52470.57260.0269-0.4805-0.3536-0.28430.10110.30870.6371-0.1352-0.06150.1728-0.0001-0.57720.40910.2899-0.27310.4068-0.1190.03190.2654-0.2996-0.00120.34890.0792-0.0721-0.614-0.16710.5560.00270.274-0.2787-0.0022-0.34770.30570.12640.3914-0.70890.29230.0050.1048-0.13230.0000-0.0415-0.6049,p)。这里要求e1，即pei特征向量-0.374-0.3737-0.3739-0.3748-0.3741-0.3736-0.01380.0077-0.1626-0.366i1,2,pi

k1p贡献率/%0.60630.19940.10230.04550.03270.01322i-0.0482-0.0485-0.0483-0.0261-0.0452-0.03680.54070.61730.56160.0017,pi1,2,累计贡献率/%0.60630.80570.9080.95350.98620.99941，其中e表ij-0.0476-0.0671-0.05180.01940.04460.10380.8232-0.4205-0.33380.1072（4-6）,pij0.13760.14690.14810.13880.14770.16080.1019-0.06690.0444-0.924（4-7）-0.16820.27190.1943-0.468-0.18110.0665-0.0022-0.52470.57260.0269-0.4805-0.3536-0.28430.10110.30870.6371-0.1352-0.06150.1728-0.0001-0.57720.40910.2899-0.27310.4068-0.1190.03190.2654-0.2996-0.00120.34890.0792-0.0721-0.614-0.16710.5560.00270.274-0.2787-0.0022-0.34770.30570.12640.3914-0.70890.29230.0050.1048-0.13230.0000-0.0415-0.60490.7807-0.0717-0.1010.05880.00110.0446-0.04630.0007ij1示向量e的第j

矩阵R的特征值及特征向量如表4-6所示。表4-6矩阵R的特征值及相应的特征向量特征值7.09662.42400.42700.05210.00040.00000.00000.00000.00000.0000

计算主成分贡献率及累计贡献率。主成分z

ikk1累计贡献率为kkk1矩阵R的特征值、贡献率和累计贡献率如表4-7所示。表4-7矩阵R的特征值、贡献率和累计贡献率特征值7.09662.42400.42700.05210.00040.0000

-13-

0.0005000湖南水稻累计贡献率/%0.75160.88810.99991.0001.0001.0001.0001.0001.0001.000指标体系上年粮食收购价农业劳动人口家庭负担出口量进口量农机总动力指标体系1111江西水稻贡献率/%0.86450.1350.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.000指标排序7891011指标排序累计贡献率/%0.86451.0001.0001.0001.0001.0001.0001.0001.0001.000指标体系城市区域面积城乡收入差距工业生产总值农资价格农民受教育程度指标体系贡献率/%0.7590.1380.1030.0000.0000.0000.0000.0000.0000.000累计贡献率/%0.7590.8971.0001.0001.0001.0001.0001.0001.0001.000

0.00000.0005000湖南水稻累计贡献率/%0.75160.88810.99991.0001.0001.0001.0001.0001.0001.000指标体系上年粮食收购价农业劳动人口家庭负担出口量进口量农机总动力指标体系1111江西水稻贡献率/%0.86450.1350.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.000指标排序7891011指标排序累计贡献率/%0.86451.0001.0001.0001.0001.0001.0001.0001.0001.000指标体系城市区域面积城乡收入差距工业生产总值农资价格农民受教育程度指标体系贡献率/%0.7590.1380.1030.0000.0000.0000.0000.0000.0000.000累计贡献率/%0.7590.8971.0001.0001.0001.0001.0001.0001.0001.0000.00000.00000.0000前4个标准化指标的累计贡献率已达到95.35%，估只需考虑前四个主要指标即可。同理可得出河南小麦、湖南水稻和江西水稻指标矩阵R的贡献率和累计贡献率如表4-8所示。表4-8主产区小麦、水稻矩阵R的贡献率和累计贡献率河南小麦

贡献率/%

0.75160.13650.11180.00010.00010.00010000根据累计贡献率可得出河南小麦、湖南水稻和江西水稻分别需要考虑前3个、前2个和前2个指标。将以上11项指标根据得分进行排序（表4-9），选取排序在前4位的指标作为影响山东小麦种植面积的主要影响因素。表4-9山东小麦指标排序指标排序123456根据指标排序结果，最终得出山东小麦的4个主要影响因素为上年粮食收购价、农业劳动人口、家庭负担和小麦出口量。同理可得出影响河南小麦、湖南水稻和江西水稻种植面积的11项指标排序，分别见表4-10、4-11和4-12。表4-10河南小麦指标排序指标排序

-14-

农民受教育程度农资指数城市区域面积城乡收入差距家庭负担农机总动力指标体系上年粮食收购价农民受教育程度农机总动力城市区域面积出口量指标体系上年粮食收购价农业劳动人口工业生产总值农机总动力进口量出口量b11m7891011指标排序7891011指标排序7891011m进口量出口量农业劳动人口工业生产总值上年粮粮食收购价指标体系农业劳动人口工业生产总值家庭负担城乡收入差距农资指数指标体系城市区域面积家庭负担城乡收入差距农民受教育程度农资指数农民受教育程度农资指数城市区域面积城乡收入差距家庭负担农机总动力指标体系上年粮食收购价农民受教育程度农机总动力城市区域面积出口量指标体系上年粮食收购价农业劳动人口工业生产总值农机总动力进口量出口量b11m7891011指标排序7891011指标排序7891011m进口量出口量农业劳动人口工业生产总值上年粮粮食收购价指标体系农业劳动人口工业生产总值家庭负担城乡收入差距农资指数指标体系城市区域面积家庭负担城乡收入差距农民受教育程度农资指数（4-8）23456根据表4-10中，河南小麦的11项指标排序，可得知影响河南小麦种植面积的3项主要因素为农民教育程度、农资指数和城市区域面积。表4-11湖南水稻指标排序指标排序123456进口量由表4-11可得知，影响湖南水稻播种面积的指标体系中排序在前两位的分别是上年粮食收购价和农民受教育程度。表4-12江西水稻指标排序指标排序123456同理可判断出影响江西水稻的3大主要指标为上年粮食收购价、农业劳动人口和工业生产总值。

4.3.3建立关于粮食种植面积的数学模型

以影响粮食种植面积的主要因素为自变量，以粮食种植面积为因变量，建立粮食种植面积关于主要指标的多元线性回归数学模型。设粮食种植面积与主要影响指标之间的多元线性回归模型为ybbx

其中，y表示粮食种植面积，x表示主要影响指标，m

表示多元线性回归模型系数。

-15-

112233441122112233441122331122

1122b8.1010123412312122342322（4-9）（4-10）（4-11）

（4-12）。河南小麦种植面积的多元线性回归系（4-13）（4-14）（4-15）（4-16）小麦出口量四项，则建立关于山东小麦种植面积的数学模型如下：ybbxbxbxb

关于河南小麦种植面积的数学模型为ybbxbxb

关于湖南水稻种植面积的数学模型为ybbxb

关于江西水稻种植面积的数学模型为ybbxb

运用播种面积、上年粮食收购价、农业劳动人口、家庭负担和小麦出口量五项的数据，回归分析求出多元回归模型系数，利用MATLAB软件编程求解得出回归系数模型（附录2）。得出的关于山东小麦种植面积的多元线性回归系数为

b0.0927,b0.0489,b0.0391,b0.0666

数为b1.6000,b3290.5,b3411.4b

归系数为b4.9000,b2437.8,b2448.

数为b9.1049,b275.7944,b302.9884

因此，关于山东小麦种植面积的数学模型如下：y8.10100.0927x0.0489x0.0391x

关于河南小麦种植面积的数学模型为y1.60003290.5x3411.4x126.2

关于湖南水稻种植面积的数学模型为y4.90002437.8x2448.5

关于江西水稻种植面积的数学模型为y9.1049275.7944x302.9884

4.4模型检验

通过相关系数、残差、显著性水平对模型进行检验。相关系数是用以反映两个变量之间相关关系密切程度的统计指标，通过相关系数的大小，来度量粮食播种面积与主要影响指标之间的多元线性关系。残差是指实际观察值与估计值之间的差，通过残差可分析出模型的可靠性和精确度。

-16-

n

0.7355,r河南小麦11m(SSn

0.7355,r河南小麦11m(SS)(SS

nn0.5142，r湖南水稻fnfinfi1(SS)0.8291，r江西水稻22fifnf0.7133(S（4-17）S)

r

i1i1利用MATLAB软件编程求解（附录3），求出回归系数rr山东小麦

4.4.2残差eˆ

根据回归方程ybbxbx中计算出的结果为粮食播种面积的估计量，

际值通过国家统计局等数据库已查取获得，eˆ称为相应于不同年份时粮食播种面积的残差。利用MATLAB软件中rcoplot(r,rint)命令画出各年份数据点的残差分布图。关于山东小麦种植面积估计值与真实值的残差分布图如图4-4所示。

图4-4山东小麦种植面积残差分布图关于河南小麦种植面积估计值与真实值的残差分布图如图4-5所示。

-17-

图4-5河南小麦种植面积残差分布图关于湖南水稻种植面积估计值与真实值的残差分布图如图4-6所示。

图4-6湖南水稻种植面积残差分布图关于江西水稻种植面积估计值与真实值的残差分布图如图4-7所示。

-18-

图4-7江西水稻种植面积残差分布图由以上四图可知，每组数据点残差的置信区间均包含零点，因此该模型的可信度较高，具有较强的可靠性和精确度。

五、问题二模型建立与求解

5.1问题分析

国家最低收购价格政策执行十年间，最低收购价逐年提高。2014年稻谷最低收购价与2005年的相比，提高了近2倍。2014小麦最低收购价与2005年的相比，也提高了66.2%，这致使稻谷和小麦最低收购价政策的上涨空间变小，2015年最低收购价的价格与2014年持平，未有增长。粮食最低收购价格政策在一定程度上取得了良好的效果：我国稻谷产量逐年增加，粮食价格相对稳定。但粮食最低收购价格政策的实施也暴露出了一些亟待解决的新问题，例如国家财政补贴支出较大、扭曲了粮食市场、粮食收购与销售价格倒挂等。正是因为我国粮食最低收购价格政策的执行后存在这么多问题，已严重到我国农民增收、粮食产量稳定，所以我们才应了解粮食最低收购价格政策的执行效果如何，是否达到政策预定的目标。问题二要求我们建立粮食最低收购价政策执行效果的评价模型。首先分析题目和查阅相关文献[2][5]选出影响粮食最低收购价政策执行效果的因素；因为影响粮食最低收购价政策执行效果的因素较多，所以与问题一类似，再用主成分分析法选出较少的新因素代替原来的较多影响因素；最后用多元线性回归分析粮食最低收购价对各因素的影响，从而得出粮食最低收购价政策执行效果。

5.2模型准备

根据原题陈述，衡量粮食最低收购价政策实施的效果，主要是比较政策实施前后粮食种植面积是否有显著性变化，因此选定粮食种植面积为其中一个影响因素，粮食最低收购价政策可以直接影响到农民的收入和市场供应，而农民的收入和市场供应又与种植

-19-

设有n个样本，每个样本共有p个变量，将原始数据写成一个np阶的数据矩xxn2利用下式将原始数据标准化*iii设矩阵Xirrp2ijnk1(xk1ji1112xnpxs已标准化。计算变量x*的相关系数阵1112rpp(xx)(设有n个样本，每个样本共有p个变量，将原始数据写成一个np阶的数据矩xxn2利用下式将原始数据标准化*iii设矩阵Xirrp2ijnk1(xk1ji1112xnpxs已标准化。计算变量x*的相关系数阵1112rpp(xx)(xxnkiiikjjxi)21222pi1,2,21222kjx,pr(xx（5-2）r（5-4）n

2px)j2（5-1）（5-3）低收购价政策执行效果的因素有粮食种植面积、农资指数、粮食总产量、农机总动力、人民支出。

5.3模型建立与求解

根据问题分析，模型建立主要包括两大部分，首先用主成分分析法和MATLAB程序（附录4）选出较少主要影响因素代替原来的较多影响因素，再用多元线性回归分析[4]粮食最低收购价对各因素的影响，从而得出粮食最低收购价政策执行效果，参照问题一的粮食主产区，选择河南省的小麦和江西省的水稻为例，来比较研究粮食主产区粮食最低收购价执行的效果。

5.3.1主成分分析法的模型建立

1.阵

xx

X

x

2.

x

ii

式中x为x的均值；s为样本离差阵S

3.

rr

R

r

式中r为原变量的x与xr

k1因为R是实对称矩阵（即rr

-20-

计算R的特征值与特征向量。首先解特征方程i(ii,p)。这里要求e1，即peii计算主成分贡献率及累计贡献率。主成分zi1,2,pik1p小麦粮食总产量（万吨）积（千公顷）3329322631713123308230563051298029362578IR0，通常用雅可比法求,p)，并使其按大小顺序排列，即p0；然后分2i,pi1,2,小麦种植面年=100）5406.675366.6653405323.3352805263.352605213.335208.474962.67121，其中ij（5-5）,p农资指数（上（万千瓦）101.18103.00105.90111.10103.0096.30119.30107.10103.00106.20（5-6）农机总动力计算R的特征值与特征向量。首先解特征方程i(ii,p)。这里要求e1，即peii计算主成分贡献率及累计贡献率。主成分zi1,2,pik1p小麦粮食总产量（万吨）积（千公顷）3329322631713123308230563051298029362578IR0，通常用雅可比法求,p)，并使其按大小顺序排列，即p0；然后分2i,pi1,2,小麦种植面年=100）5406.675366.6653405323.3352805263.352605213.335208.474962.67121，其中ij（5-5）,p农资指数（上（万千瓦）101.18103.00105.90111.10103.0096.30119.30107.10103.00106.20（5-6）农机总动力入差距11476.0011149.0010872.0010515.0010195.009817.009429.008718.008309.007934.00城乡收11751.008693.007852.006859.005767.005220.004832.004213.003637.663107.00

出特征值1,2,

别求出对应特征值的特征向量e(i1,2,ij1e表示向量e的第j

5.

ikk1累计贡献率为kkk1最后通过累计贡献率达到95.184%，选出主要影响因素。

5.3.2主成分分析法的模型求解

Step1：根据题目要求以及相关文献选出影响小麦种植面积的若干指标和数据，如下表所示

表5-12005-2014年间河南小麦五项指标的统计数据

时间

2014201320122011201020092008200720062005

-21-

水稻粮食总产量（万吨）积（千公顷）2025200419761950193519051862180618091759小麦粮食总产量（万吨）1.359460.851750.580650.344050.141960.0138-0.01084-0.36081-0.57769-2.43069水稻粮食总产量（万吨）积（千公顷）1.341511.1104水稻种植面农资指数（上年=100）3339.453337.953328.333317.713318.443282.063255.543194.333239.343129小麦种植面积（千公顷）1.169460.845040.628870.49370.142360.00695-0.01981-0.39823-0.437640.09535水稻种植面年=100）0.930990.90958农机总动力（万千瓦）101.18103.00105.90111.10103.0096.30119.30107.10103.00106.20农资指数（上年=100）-0.71318-0.420050.047030.88455-0.42005-1.499162.205250.2403-0.42005-1.56076农资指数（上（万千瓦）-0.71318-0.42005城乡收入差距2014.004560.004200.003805.003359.002946.002506.002015.001832.001465.00农机总动力（万千瓦）1.337531.069960.84330.551180.28934-0.01997-0.33745-0.91924-1.25391-1.16377农机总动力入差距-0.79681.5725712112.6111569.657872.737280.805904.315306.195040.624506.033989.133776.49城乡收入差距2.095820.942670.625540.25108-0.1607-0.36697-0.51329-0.74671-0.96367城乡收1.795041.61377

水稻的数据如下表所示水稻粮食总产量（万吨）积（千公顷）2025200419761950193519051862180618091759小麦粮食总产量（万吨）1.359460.851750.580650.344050.141960.0138-0.01084-0.36081-0.57769-2.43069水稻粮食总产量（万吨）积（千公顷）1.341511.1104水稻种植面农资指数（上年=100）3339.453337.953328.333317.713318.443282.063255.543194.333239.343129小麦种植面积（千公顷）1.169460.845040.628870.49370.142360.00695-0.01981-0.39823-0.437640.09535水稻种植面年=100）0.930990.90958农机总动力（万千瓦）101.18103.00105.90111.10103.0096.30119.30107.10103.00106.20农资指数（上年=100）-0.71318-0.420050.047030.88455-0.42005-1.499162.205250.2403-0.42005-1.56076农资指数（上（万千瓦）-0.71318-0.42005城乡收入差距2014.004560.004200.003805.003359.002946.002506.002015.001832.001465.00农机总动力（万千瓦）1.337531.069960.84330.551180.28934-0.01997-0.33745-0.91924-1.25391-1.16377农机总动力入差距-0.79681.5725712112.6111569.657872.737280.805904.315306.195040.624506.033989.133776.49城乡收入差距2.095820.942670.625540.25108-0.1607-0.36697-0.51329-0.74671-0.96367城乡收1.795041.61377

表5-22005-2014年间江西水稻五项指标的统计数据

时间

2014201320122011201020092008200720062005将数据带入（5-1）式中可知，其为两个105阶的数据矩阵。Step2：用SPSS软件将表（5-1）和（5-2）中数据标准化分别如下两表所示。

表5-32005-2014年间河南小麦五项指标的标准化数据

时间

2014201320122011201020092008200720062005-2.34233水稻的数据如下表所示。

表5-42005-2014年间江西水稻五项指标的标准化数据

时间

20142013

-22-

0.802260.516130.351060.02091-0.4523-1.06858-1.03557-1.585820.995

0.81080.22660.9515

0.75780.2315特征向量-0.5041-0.49650.1158-0.5016-0.4841特征向量0.53840.5212-0.14770.4310.48050.772290.620730.631150.11196-0.26652-1.14006-0.49771-2.072410.10890.9248110.19380.50421-0.1036-0.1256-0.9852-0.03730.03970.8048-0.49120.0134-0.0381-0.33080.047030.88455-0.42005-1.499162.205250.2403-0.420050.095350.9950.129710.17280.22660.90730.89190.17280.95150.230910.02430.23150.70650.4050.5228-0.125-0.3016-0.6754-0.1773-0.6925-0.04620.4360.54471.237550.869950.454890.07054-0.33893-0.79587-0.96618-1.3077110.10890.802260.516130.351060.02091-0.4523-1.06858-1.03557-1.585820.995

0.81080.22660.9515

0.75780.2315特征向量-0.5041-0.49650.1158-0.5016-0.4841特征向量0.53840.5212-0.14770.4310.48050.772290.620730.631150.11196-0.26652-1.14006-0.49771-2.072410.10890.9248110.19380.50421-0.1036-0.1256-0.9852-0.03730.03970.8048-0.49120.0134-0.0381-0.33080.047030.88455-0.42005-1.499162.205250.2403-0.420050.095350.9950.129710.17280.22660.90730.89190.17280.95150.230910.02430.23150.70650.4050.5228-0.125-0.3016-0.6754-0.1773-0.6925-0.04620.4360.54471.237550.869950.454890.07054-0.33893-0.79587-0.96618-1.3077110.1089110.19380.7409-0.7260.6769-0.0037-0.04870.1111-0.17550.0507-0.28840.7254-0.59770.379550.18193-0.27761-0.4773-0.56596-0.74443-0.917-0.987990.89190.8108

0.92480.74090.7578

10.21020.07810.0205-0.80850.5437-0.0105-0.07-0.9448-0.31070.0760.90730.84790.70650.8954

2011201020092008200720062005Step3：用MATLAB软件计算标准化变量的相关系数矩阵。河南省小麦的相关系数矩阵如下所示R

0.8479湖南省水稻的相关系数矩阵如下所示R

0.8954Step4：用MATLAB软件计算矩阵R的特征值和特征向量，结果如下两表所示：表5-5矩阵R

特征值3.727020.975060.2348720.0605150.002529

表5-6矩阵R

特征值3.348970.993680.4750690.1682830.013998

-23-

贡献率/%0.74540.1950.0470.01210.0005贡献率/%0.66980.19870.0950.03370.0028******1yy0.4965xx0.1256xx0.6769x3*****1yy3*i累计贡献率/%0.74540.94040.98740.99951累计贡献率/%0.66980.86850.96350.9972110.11580.9852x0.125x30.0037x0.0205x110.5212贡献率/%0.74540.1950.0470.01210.0005贡献率/%0.66980.19870.0950.03370.0028******1yy0.4965xx0.1256xx0.6769x3*****1yy3*i累计贡献率/%0.74540.94040.98740.99951累计贡献率/%0.66980.86850.96350.9972110.11580.9852x0.125x30.0037x0.0205x110.5212x0.4912x0.6925x0.0507x0.0712**1*2**5220.14771x*0.01342x0.04623x0.28844x0.944815x23*433****34*44**45*55*5**（5-7）*（5-8）R的贡献率和累计贡献率如表5-7

表5-7矩阵R

特征值3.727020.975060.2348720.0605150.002529同理可得出江西水稻指标矩阵R的贡献率和累计贡献率如表5-8

表5-8矩阵R

特征值3.348970.993680.4750690.1682830.013998前3个标准化指标的累计贡献率均已达到95.35%，故只需考虑前三个主要指标即可。前3个标准化样本主成分中各标准化变量x前的系数即为对应特征向量，由此得i到3个标准化样本的主成分，河南小麦数据的主成分为y0.5041x0.1036x0.405x0.726x0.2102x