第四章稳定性与李雅普诺

第四章稳定性与李雅普诺2023/6/23第一页，共四十八页，编辑于2023年，星期五在此基础上，Lyapunov提出了两类解决稳定性问题的方法，即Lyapunov第一法和Lyapunov第二法。第一法通过求解微分方程的解来分析运动稳定性，即通过分析非线性系统线性化方程特征值分布来判别原非线性系统的稳定性；第二法则是一种定性方法，它无需求解困难的非线性微分方程，而转而构造一个Lyapunov函数，研究它的正定性及其对时间的沿系统方程解的全导数的负定或半负定，来得到稳定性的结论。这一方法在学术界广泛应用，影响极其深远。一般我们所说的Lyapunov方法就是指Lyapunov第二法。

第二页，共四十八页，编辑于2023年，星期五第四章稳定性与李雅普诺夫方法4.1李雅普诺夫关于稳定性的定义4.2李雅普诺夫第一法4.3李雅普诺夫第二法4.4李雅普诺夫方法在线性系统中的应用4.5李雅普诺夫方法在非线性系统中的应用本章小结和作业第三页，共四十八页，编辑于2023年，星期五4.1李雅普诺夫关于稳定性的定义一、系统状态的运动及平衡状态设系统的齐次状态方程为：f：n维向量函数设其在初始条件下，有唯一解那么，实际上描述了系统在n维空间中从初始状态出发的一条状态运动的轨迹。称为运动轨迹或状态轨迹。平衡状态：若存在状态向量，对所有t，都有成立，则称为系统的平衡状态。平衡状态不一定存在，也不一定唯一。如：其平衡状态有：稳定性是相对于平衡点而言的！第四页，共四十八页，编辑于2023年，星期五二、稳定性的几个定义1、Lyapunov意义下的稳定如果系统对任意选定的实数，都对应存在实数，使当时，从任意初态出发的解都满足则称平衡状态是Lyapunov意义下稳定的。其中，实数与有关，一般也与有关。如果与无关，则称这种平衡状态是一致稳定的。称为欧几里德范数，它的数学意义是：第五页，共四十八页，编辑于2023年，星期五第六页，共四十八页，编辑于2023年，星期五2、渐近稳定如果平衡状态是稳定的，而且当t无限增长时，轨线不仅不超出，而且最终收敛于，则称这种平衡状态是渐近稳定的。即有：第七页，共四十八页，编辑于2023年，星期五第八页，共四十八页，编辑于2023年，星期五3、大范围渐近稳定如果平衡状态是渐近稳定的，且渐近稳定的最大范围是整个状态空间，则为大范围渐近稳定的，其必要条件是整个状态空间只有一个平衡点。线性系统：渐近稳定大范围渐近稳定非线性系统：一般较小，小范围渐近稳定。4、不稳定如果对于某个实数和任一实数，不管多么小，由出发的状态轨线，至少有一条轨线越过，则称为不稳定。第九页，共四十八页，编辑于2023年，星期五第十页，共四十八页，编辑于2023年，星期五李雅普诺夫意义下的稳定与经典控制理论中稳定性的对比经典控制理论(线性系统)不稳定(Re(s)>0)临界情况(Re(s)=0)稳定(Re(s)<0)Lyapunov意义下不稳定稳定渐近稳定第十一页，共四十八页，编辑于2023年，星期五4.2李雅普诺夫第一法李雅普诺夫第一法又称间接法基本思路是通过状态方程的解来判别系统的稳定性。线性定常系统：由特征方程的根来判断稳定性。非线性系统：先线性化，再判别。一、线性系统的稳定判据线性定常系统，在平衡状态渐进稳定的充要条件是矩阵A的所有特征值均具有负实部。此为状态稳定性，或称内部稳定性。输出稳定性：如果系统对于有界输入u所引起的输出y是有界的，则称系统为输出稳定。BIBO稳定（BoundedInputBoundedOutput）

第十二页，共四十八页，编辑于2023年，星期五输出稳定性判据：线性定常系统输出稳定的充要条件是其传递函数的极点全部位于s平面的左半部。【例4-1】解：（1）由A的特征方程故系统的状态不是渐近稳定的。（2）系统的传递函数：故系统是输出稳定的。系统状态稳定系统输出稳定。系统输出稳定，且能控能观系统状态稳定。第十三页，共四十八页，编辑于2023年，星期五二、非线性系统的稳定性系统状态方程：是其平衡状态将其在邻域内展成泰勒级数：取偏差量则：其中，称为雅可比（Jacobian）矩阵高阶导数项第十四页，共四十八页，编辑于2023年，星期五在以上近似的基础上，再由A阵来判断非线性系统的稳定性：（1）如果A的所有特征值都具有负实部，则原非线性系统在平衡状态是渐进稳定的。（2）如果A的特征值至少有一个具有正实部，则原非线性系统在平衡状态是不稳定的（3）如果A的特征值至少有一个是0，则系统处于临界状态，原非线性系统的稳定性取决于高阶导数项R（X），无法由A来判别。第十五页，共四十八页，编辑于2023年，星期五【例4-2】非线性系统状态方程为判别其在平衡状态的稳定性。解：（1）求非线性系统的平衡状态（2）在处线性化可知A的特征值为：所以原非线性系统在处不稳定。第十六页，共四十八页，编辑于2023年，星期五（3）在处线性化此时A的特征值所以线性化后的系统处于临界稳定状态，无法判断原非线性系统的稳定性。第十七页，共四十八页，编辑于2023年，星期五4.3李雅普诺夫第二法李雅普诺夫第二法又称直接法，其基本思路是通过一个标量函数（称为李氏函数）对系统的平衡状态的稳定性作出判断。李氏函数一般是状态分量和时间t的标量函数，用表示，若与t无关，可用表示。一、预备知识1、标量函数的符号性质设为由n维向量X所定义的标量函数，且在X＝0处，恒有，对所有在域中的任何非零向量X，如果成立：（1），则称是正定的。如：第十八页，共四十八页，编辑于2023年，星期五（2），则称是半正定（非负定）的。如：（3），是负定的。如：（4），是半负定（非正定）的。如：（5），是不定的。如：例：（1）为半正定第十九页，共四十八页，编辑于2023年，星期五（2）（3）使2、二次型标量函数设为n个变量，定义二次型标量函数为：为正定为半正定第二十页，共四十八页，编辑于2023年，星期五如果，则称P为实对称阵，如：对二次型函数，若P为实对称阵，则必存在正交矩阵T，通过变换，使之化为：第二十一页，共四十八页，编辑于2023年，星期五此称为二次型函数的标准型，为P的互异特征值，则正定的充要条件是P的特征值均大于0。矩阵P的符号性质定义如下：设P为n×n实对称阵，为由P决定的二次型函数，则（1）正定，则P正定，记为P>0;（2）负定，则P负定，记为P<0;第二十二页，共四十八页，编辑于2023年，星期五（3）半正定，则P半正定，记为P>＝0;（4）半负定，则P半负定，记为P<＝0;3、希尔维斯特判据设实对称阵为其各阶主子式,即矩阵P或V(X)定号性的充要条件是:第二十三页，共四十八页，编辑于2023年，星期五(1)若，则P正定；(2)若，则P负定；(3)若，则P半正定；(4)若，则P半负定；第二十四页，共四十八页，编辑于2023年，星期五二、几个稳定判据设系统的状态方程为，平衡状态为，如果存在一个标量函数V（X），它满足：（1）V（X）对所有X都具有连续的一阶偏导数；（2）V（X）是正定的（3）V（X）对时间的导数分别满足以下条件：a，为半负定，则是李氏意义下的稳定，此称稳定判据。b，为负定，或者虽然为半负定，但对任意初始状态来说，除去外，对，不恒为零，则为渐进稳定；若当时，则为大范围渐进稳定。c，为正定，则是不稳定的，此为不稳定判据。第二十五页，共四十八页，编辑于2023年，星期五说明：（1），则此时，系统轨迹将在某个曲面上，而不能收敛于原点，因此不是渐近稳定。（2）不恒等于0，则说明轨迹在某个时刻与曲面相交，但仍会收敛于原点，所以是渐近稳定。（3）稳定判据只是充分条件而非必要条件！第二十六页，共四十八页，编辑于2023年，星期五【例4-3】已知非线性系统的状态方程，试用李氏第二法判断其稳定性。解：原点是其唯一平衡点取标量函数，显然V（X）正定；负定，原系统是渐进稳定的。又当时，所以也是大范围渐近稳定的。第二十七页，共四十八页，编辑于2023年，星期五【例4-3】已知系统的状态方程，是用李氏第二法判断其稳定性。解：线性系统，故是其唯一平衡点。将矩阵形式的状态方程展开得到：取标量函数故原系统不稳定。第二十八页，共四十八页，编辑于2023年，星期五三、对李氏函数的讨论（1）是正定的标量函数；（2）并不是对所有的系统都能找到来证明该系统稳定或者不稳定；（3）如果存在，一般是非唯一的，但关于稳定性的结论是一致的；（4）最简单的形式是二次型；（5）只是提供平衡点附近的运动情况，丝毫不能反映域外运动的任何信息；（6）构造需要一定的技巧。第二十九页，共四十八页，编辑于2023年，星期五4.4李雅普诺夫方法在线性系统中的应用一、线性定常连续系统渐进稳定性判据设线性定常系统为：，则平衡状态为大范围渐进稳定的充要条件是：对任意给定的正定实对称矩阵Q，必存在正定的实对称矩阵P，满足李雅普诺夫方程：且就是李氏函数。证明：取为李氏函数，P为正实对称矩阵，则易知V（X）正定。欲使系统稳定，则必须负定，即且Q正定。第三十页，共四十八页，编辑于2023年，星期五说明：（1）一般先取正定矩阵Q，带入李氏方程，求出P，判别P的正定性，从而判断系统的稳定性；（2）通常取Q＝I，以方便计算。（3）判据是充分必要的A的特征值均具有负实部；（4）若沿任一轨线不恒等于零，那么Q可取半正定，即可取计算更简单。实际运用中，若有则可以取Q为半正定。第三十一页，共四十八页，编辑于2023年，星期五【例4-4】

，分析其稳定性。解：方法一取Q＝I，设代入李氏方程得：P是对称矩阵，即，展开后可解得

可知故P是正定的，原系统稳定。此时，第三十二页，共四十八页，编辑于2023年，星期五方法二判断能否取Q为半正定，即取由于故可以取，代入李氏方程，得：解得：第三十三页，共四十八页，编辑于2023年，星期五所以P正定，原系统稳定。此时李氏函数为：此题也验证了4.3节中对李氏函数的讨论之（3）：如果存在，一般是非唯一的，但关于稳定性的结论是一致的。【例4-5】系统状态方程确定使系统稳定的K的取值范围。解：判别能否取Q为半正定第三十四页，共四十八页，编辑于2023年，星期五由故可以取Q为半正定。代入李氏方程后可解得：所以k的取值范围是：第三十五页，共四十八页，编辑于2023年，星期五4.5李雅普诺夫方法在非线性系统中的应用李氏第二法用于非线性系统只能说明局部稳定性，而且只是充分条件而非必要条件。一、雅可比（Jacobian）矩阵法又称克拉索夫斯基（krasovski）法设非线性系统：假设原点是其平衡状态，系统的雅可比矩阵第三十六页，共四十八页，编辑于2023年，星期五则系统在原点附近稳定的充分条件是：任给定正定实对称矩阵P，使下列矩阵：为正定的。并且是系统的一个李氏函数。如果当时，有则是大范围渐进稳定的。证明：选取二次型函数为李氏函数，因为P为正定实对称，故V（X）正定。又：第三十七页，共四十八页，编辑于2023年，星期五若要负定，则Q（X）正定。若取P＝I，则称为克拉索夫斯基表达式。此时推论：线性定常系统若矩阵A非奇异，且矩阵为负定，则系统在平衡状态是大范围渐进稳定的。第三十八页，共四十八页，编辑于2023年，星期五【例4-6】系统方程：，用克拉索夫斯基法分析稳定性。解：取P＝I第三十九页，共四十八页，编辑于2023年，星期五所以Q（X）是正定的。原系统稳定。且李氏函数：当时，有，故系统是大范围渐进稳定的。第四十页，共四十八页，编辑于2023年，星期五二、变量梯度法变量梯度法又称为舒茨－基布逊（Shultz-Gibson）法，由此二人在1962年提出。变量梯度法是基于以下事实：如果能够找到一个李氏函数，证明系统是渐近稳定的，那么这个李氏函数的梯度是必定存在而且是唯一的。则V（X）对时间的导数可表示为：第四十一页，共四十八页，编辑于2023年，星期五基本思路：先假定具有某种形式（系数待定）根据负定确定待定系数由求判别的正定性第四十二页，共四十八页，编辑于2023年，星期五