第四章动能定理

第四章动能定理第一页，共六十三页，编辑于2023年，星期五§4-1质点系和刚体的动能1.质点的动能2.质点系的动能动能是一非负的标量，只取决于各质点速度的大小，而与方向无关。质点的质量与其速度平方乘积的一半称为质点的动能。国际单位制中，动能的常用单位是kg·m2/s2，即J第二页，共六十三页，编辑于2023年，星期五质点系的质心：C,平动坐标系:Cxyz,速度vC

vi

=vc+vir

OAvixyzvCz'y'x'CvCvirrCrir第三页，共六十三页，编辑于2023年，星期五质点系在绝对运动中的动能,等于它随质心一起平动时的动能,加上它在以质心速度做平动的坐标系中相对运动的动能。这就是柯尼西定理。

第四页，共六十三页，编辑于2023年，星期五例题

坦克或拖拉机履带单位长度质量为ρ，轮的半径为r，轮轴之间的距离为d，履带前进的速度为v0。求：全部履带的总动能。v0C2C1drv0解：在C1C2杆上建立动系C1x´y´。x'y'牵连运动为平动，牵连速度为v0,相对运动为绕在两个圆轮上履带的运动。圆轮的角速度为ω＝v0/r,履带上各点的相对速度均为v0。第五页，共六十三页，编辑于2023年，星期五

解：应用柯希尼定理，全部履带的总动能为v0C2C1drx'y'v0第六页，共六十三页，编辑于2023年，星期五平动刚体的动能平动刚体的动能，等于刚体的质量与质心速度平方乘积的一半。质点系的动能3、刚体运动的动能定轴转动刚体的动能第七页，共六十三页，编辑于2023年，星期五A，B两轮质量相同，以相同的角速度ω绕圆心O转动。A轮为匀质圆盘、B轮质心在C点.两轮动能是否相同？OOeCAB

思考题定轴转动刚体的动能，等于刚体对转轴的转动惯量与其角速度平方乘积的一半.第八页，共六十三页，编辑于2023年，星期五平面运动刚体的动能AviCvCPrcriP根据转动惯量的平行轴定理有平面运动刚体的动能,等于它以质心速度作平动时的动能与相对于质心轴转动时的动能之和。上面结论是否也适用于刚体的任意运动？第九页，共六十三页，编辑于2023年，星期五匀质杆,质量为m,长为L,以角速度ω绕O

轴转动。

计算刚体的动量、动量矩、动能

第十页，共六十三页，编辑于2023年，星期五质量为m

，半径为R

的匀质圆盘，以角速度绕垂直于图面的O轴转动。O（C）OC计算刚体的动量、动量矩、动能

第十一页，共六十三页，编辑于2023年，星期五C质量为m，半径为R

的匀质圆轮，以角速度沿直线轨道纯滚动。计算刚体的动量、动量矩、动能

第十二页，共六十三页，编辑于2023年，星期五

系统如图所示，轮Ⅰ的质量为m1，纯滚动，OA杆的质量为m，角速度为ω，求系统的动能。ⅠⅡOACr1r21vA

练习题第十三页，共六十三页，编辑于2023年，星期五已知滑块A的质量为m1，质点B的质量为m2

,AB杆的长度为l、不计质量，以角速度ωAB绕A点转动，滑块的速度为vA。求系统的动能。Am1θm2BlvAωAB滑块A的动能质点B的动能vAvBA第十四页，共六十三页，编辑于2023年，星期五已知滑块A的质量为m1；匀质杆AB的长度为l、质量为m2，以角速度ωAB绕A点转动。圆盘B的质量为m3,半径为r，与杆固连；滑块的速度为vA，求系统的动能。Am1Oxx´y´θm2BlvAyωABCr

思考题第十五页，共六十三页，编辑于2023年，星期五§4-2力的功1．功的概念在一无限小位移中力所做的功称为元功力在一段路程中对物体作用的累积效果。第十六页，共六十三页，编辑于2023年，星期五2．常见力的功（1）重力的功对于质点系有结论（2）重力的功与运动路径无关。（1）重力的功等于重力与重心高度降的乘积。（3）重心下降重力作正功；否则重力做负功。第十七页，共六十三页，编辑于2023年，星期五（2）弹性力的功第十八页，共六十三页，编辑于2023年，星期五思考例：弹簧AB两端固定如图，原长为L0=R，刚性系数为k，若AB=2R，DE=R。当弹簧中点由D移动到E的过程中，弹性力所作的功为:

。（弹簧在线性变化范围内）

第十九页，共六十三页，编辑于2023年，星期五设一刚体在F作用下平动，其质心在C点，刚体上点A的矢径是r，速度是v,则力F的元功dW=F‧dr=

F‧drC总功dW=F‧v

dt

=F‧vC

dt∑dW=∑F‧dr=

∑F‧drC=∑F‧vC

dtOdrxrFAvyzCdrC

vC（3）平动刚体上力的功第二十页，共六十三页，编辑于2023年，星期五（4）定轴转动刚体上作用力的功若力矩是常量，则力的总功为W

=Mz(F)(21)

第二十一页，共六十三页，编辑于2023年，星期五

假设扭簧上的杆处于水平时扭簧未变形，且变形时在弹性范围之内。变形时扭簧作用于杆上的力对点O之矩为

其中k为扭簧的刚度系数。当杆从角度θ1转到角度θ2时所作的功为

扭转弹簧力矩的功

第二十二页，共六十三页，编辑于2023年，星期五

设一刚体在力F作用下作平面运动，其质心在C点，速度vC

，刚体上点A的速度vA

,则力F的元功总功dW

=F‧vAdt=F‧（vC+vAC

）dt

∑dW=∑

[F‧drC+mC(F)

d

]

=F‧vCdt

+F‧vAC

dt

=F‧drC+F‧

(r)

dt

=F‧drC+mC(F)

d作用于平面运动刚体上的力的功，等于该力在刚体随质心平动中的功与力对质心的矩在刚体转动中的功之和。ωrFACvCvCvACvAd（5）平面运动刚体上作用力的功第二十三页，共六十三页，编辑于2023年，星期五半径为2r的圆轮在水平面上作纯滚动如图示，轮轴上绕有软绳,轮轴半径为r，绳上作用常值水平拉力F，求轮心C运动x

距离时,力F所作的功。

W

=

F

x

—mC(

F)x2rOrCF

思考题第二十四页，共六十三页，编辑于2023年，星期五约束力元功之和等于零的约束称为理想约束。3．理想约束约束反力的功（1）光滑固定面（2）光滑铰链或轴承约束（3）刚性连接的约束（4）联接两个刚体的铰链（5）柔性而不可伸长的绳索约束第二十五页，共六十三页，编辑于2023年，星期五圆轮沿支承面滚动时，摩擦力(约束力)的功。OvOCFFN

因为C为速度瞬心，所以作用在C点的静摩擦力F

所作元功为（1）圆轮连滚带滑运动时，动摩擦力F所作元功为（2）圆轮纯滚动时，这时出现静摩擦力F

。第二十六页，共六十三页，编辑于2023年，星期五在一般质点系中，两质点间距离是可变的，因而，可变质点系内力所做功的总和不一定等于零。除了质点系内力功之和,任何两个物体之间的内力作功之和也为零。dr1dr2r1A1OA2F2F1r14．质点系和刚体内力的功∑dW=F1d(A1A2)

但是,刚体内任意两点间的距离始终保持不变，所以刚体内力所做功的总和恒等于零。第二十七页，共六十三页，编辑于2023年，星期五工程上几种内力作功的情形

●

作为整体考察，所有发动机的内力都是有功力。例如汽车内燃机工作时，气缸内膨胀的气体质点之间的内力；气体质点与活塞之间的内力；气体质点与气缸内壁间的内力；这些内力都要作功。

●

有相对滑动的两个物体之间的摩擦力作负功。

●

弹性构件横截面上的所有内力分量作负功。第二十八页，共六十三页，编辑于2023年，星期五1．质点动能定理§4-3质点与质点系动能定理第二十九页，共六十三页，编辑于2023年，星期五

质点动能定理的微分形式,即质点动能的增量等于作用在质点上力的元功.

质点动能定理的积分形式,即质点运动的某个过程中,质点动能的改变量等于作用在质点的力所作的功.第三十页，共六十三页，编辑于2023年，星期五2．质点系动能定理

在质点系中任取一质点,满足质点动能定理

设质点系有n个质点,对每个质点都可列出上面的能量和功的方程式,将n个方程相加有:质点系动能的微分等于作用于质点系各力的元功的代数和，即质点系动能定理的微分形式。第三十一页，共六十三页，编辑于2023年，星期五

积分形式表示：质点系的动能在某一路程中的改变量等于作用在质点系上的所有力（主动力、约束力、内力、外力）在此过程中的功的代数和。

“微分形式”一般用于理论推导；“积分形式”常用来求速度、角速度、位移等；“导数形式”常用来求加速度、角加速度等。微分形式导数形式积分形式第三十二页，共六十三页，编辑于2023年，星期五例

卷扬机如图所示。鼓轮在常力偶矩作用下将圆柱体沿斜面上拉。已知鼓轮的半径为R1,质量为m1，质量分布在轮缘上；圆柱体的半径为R2，质量为m2，质量均匀分布。设斜面的倾角为q，圆柱体沿斜面只滚不滑。系统从静止开始运动，求圆柱体中心的速度与其路程之间的关系。开始时动能为0，t时刻动能为解：系统为研究对象；系统受理想约束,

做功的力有M,m2g.第三十三页，共六十三页，编辑于2023年，星期五第三十四页，共六十三页，编辑于2023年，星期五例

提升机构如图所示，设启动时电动机的转矩M视为常量，大齿轮及卷筒对于轴AB的转动惯量为J2，小齿轮、联轴器及电动机转子对于轴CD的转动惯量为J1，被提升的重物重为P，卷筒、大齿轮及小齿轮的半径分别为R、r2及r1。略去摩擦及钢丝绳质量，求重物从静止开始上升距离s时的速度及加速度。第三十五页，共六十三页，编辑于2023年，星期五第三十六页，共六十三页，编辑于2023年，星期五第三十七页，共六十三页，编辑于2023年，星期五例

质量为m，半径为r的均质圆柱体，在半径为R的固定大圆槽内作无滑动的滚动。试列写系统的运动微分方程。（q的变化规律）解：在任一瞬时(q),系统动能：其中：第三十八页，共六十三页，编辑于2023年，星期五第三十九页，共六十三页，编辑于2023年，星期五例题系统在铅直平面内由两根相同的匀质细直杆构成，A,B为铰链，D为小滚轮,且AD水平。每根杆的质量为m，长度为l，当仰角1=60º时，系统由静止释放。求当仰角减到2=30º时，杆AB的角速度，摩擦和小滚轮的质量都不计。ABD1122BAFEmgmgD第四十页，共六十三页，编辑于2023年，星期五系统开始静止，初动能T1=0。解:取整个系统为研究对象，其中杆AB作定轴转动，而杆BD做平面运动。∵PB=BD=AB，ωAB=ωBDvB=AB·ωAB

=PB·ωBD杆BD的速度瞬心在P点vBvDωBDωAB60º60ºPBADFEmgmgFAxFAyF

D22vEvE

=PE·ωBD=PE

·ωAB=PB·sin(22)

·ωAB=l·sin60º

·ωAB第四十一页，共六十三页，编辑于2023年，星期五

(顺钟向)在运动过程中，只有杆的重力mg做功，所以作用在系统中的力的总功为由T2T1=∑W

得

BADFEmgmgFAxFAyF

D2260º60ºPωBDωABvEvBvD第四十二页，共六十三页，编辑于2023年，星期五当仰角减到2=30º

时，杆AB的角加速度？

思考题ABDFE11mgmgBADFEmgmgFAxFAyF

DvBvD90º－ωBDωABPvE∵PB=AB=BD,AB·ωAB=PB·ωBDωAB=ωBDvE

=PE·ωBD=PE

·ωAB第四十三页，共六十三页，编辑于2023年，星期五由T2T1=∑W

得

BADFEmgmgFAxFAyF

DvBvD90º－ωBDωABPvE上式两边求导

，注意即可得杆AB的角加速度。第四十四页，共六十三页，编辑于2023年，星期五

若在FE之间连接一根刚度系数为k的水平弹簧，当仰角1=60º时为弹簧原长。求当仰角减到2=30º

时，杆AB的角速度。

思考题ABDFE11mgmg22BAFEmgmgD第四十五页，共六十三页，编辑于2023年，星期五1.功率2.功率方程§4-4功率、功率方程、机械效率单位时间力所作的功.质点系动能对时间的一阶导数,等于作用于质点系的所有力的功率的代数和.第四十六页，共六十三页，编辑于2023年，星期五3．机械效率

机械效率：机械在稳定运转时，有用输出功率与输入功率之比。——机器平衡方程第四十七页，共六十三页，编辑于2023年，星期五例：一矿井提升设备如图所示。质量为m、回转半径为r的鼓轮装在固定轴上，鼓轮上半径为r的轮上用钢索吊有一平衡重量m2g。鼓轮上半径为R的轮上用钢索牵引重为m1g的矿车。设车在倾角为a的轨道上运动。如在鼓轮上作用一常力矩Mo。求：(1)矿车的加速度；(2)连接平衡重物钢索中的拉力；(3)鼓轮的轴承约束力。不计各处的摩擦及车轮的滚动摩阻§4-5普遍定理的综合应用第四十八页，共六十三页，编辑于2023年，星期五解：系统为研究对象；理想约束,作功的力有Mo,m1g

m2g。第四十九页，共六十三页，编辑于2023年，星期五求钢索拉力和鼓轮轴承约束力研究重物B

研究矿车A以鼓轮为研究对象第五十页，共六十三页，编辑于2023年，星期五例题复摆是一个在重力作用下可绕水平轴O摆动的刚体.它的质量是m,对转轴的转动惯量是JO,质心C到转轴O的距离OC=b.设摆动开始时OC对铅直线的偏角是0，角速度是。试求摆动中轴承O对复摆的反力。OC0bF1F2mgatcanc

研究复摆在任意位置时的受力分析,为便于计算把轴承反力沿质心轨迹的切线和法线方向分解成两个分力F1和F2。第五十一页，共六十三页，编辑于2023年，星期五应用动能定理:T2

T1

=∑W，有将上式两端对时间求导，得OC0bF1F2mgatcanc第五十二页，共六十三页，编辑于2023年，星期五动力学综合问题求解技巧

明确研究对象,系统(整体)还是部分受力分析-----守恒运动分析-----运动关系定理的选取

动能定理-----突破口(整体),适宜理想约束,一个自由度,主要求解运动量.

质心运动定理-----求力,适宜刚体任何运动形式.

动量矩定理-----求力,适宜刚体转动和平面运动.第五十三页，共六十三页，编辑于2023年，星期五

例题行星齿轮机构在水平面内运动。质量为m的均质曲柄AB带动行星齿轮II在固定齿轮I上纯滚动。齿轮II的质量为m2，半径r2。定齿轮I的半径r1。杆与轮铰接处的摩擦力忽略不计。当曲柄受力偶矩为M的常力偶作用时，求杆的角加速度及轮II边缘所受切向力F。ⅠⅡABMr1r2解:

1.求杆的角加速度第五十四页，共六十三页，编辑于2023年，星期五由动能定理得ⅠⅡABMr1r22.求轮II边缘所受切向力F取轮II为研究对象ⅡBr2FByFBxFFN2由相对质心的动量矩定理得第五十五页，共六十三页，编辑于2023年，星期五

例题

长为l、质量为m的均质细杆静止直立于光滑水平面上。当杆受微小干扰而倒下时，求杆刚刚到达地面时的角速度和地面约束力。ACvCvA由质心运动位置守恒可知，直杆在倒下过程中其质心将铅直下落。第五十六页，共六十三页，编