第四章表象理论

第四章表象理论第一页，共三十七页，编辑于2023年，星期五三个公式：平均值公式本征值方程薛定谔方程在任意表象中的表示幺正变换应作为综合性内容，重点掌握其性质表象理论中采用的数学工具主要是矩阵矩阵力学（海森堡Heisenberg

）〖前称波动力学〗

1态在任意表象中的表示

1.1Q表象的形成首先考虑，在坐标表象中力学量算符的本征函数构成正交归一完备系，其本征值譜为；体系状态用归一化波函数描述，将其展开为力学量的本征函数的叠加

（1）（2）

第二页，共三十七页，编辑于2023年，星期五

并且（3）说明：（1）表示（给出）量子态在时刻测量粒子坐标为的概率表示（给出）在该量子态中测量粒子的力学量所得结果为的概率

二者从不同角度对同一量子态给予描述物理意义是等价的

数学上也是等价的

（2）一般不再是坐标的函数

而是力学量的本征值的函数，即量子数的函数，随的不同取不同复数值.

第三页，共三十七页，编辑于2023年，星期五1.2表象中态函数的表示（态的表象）

是从力学量的角度描述量子态的波函数为量子态在表象中的表示（波函数）以表示这一量子态，则该态在表象中的表示可写成一列矩阵形式（4）

共厄矩阵为（5）

第四页，共三十七页，编辑于2023年，星期五体系的归一化条件

写为矩阵形式为（6）1.3讨论（1）表象中状态的描述依赖于坐标表象中力学量的本征函数系，每一个必定给出在表象中的一个对应数，可见几何空间坐标轴表象的基矢几何空间中的矢量态矢态矢在表象基矢上的分量构成了在表象中的表示，由于构成的空间维数可以是无穷的，甚至是不可数的希尔伯特空间（态空间）（2）对于连续谱是连续的，写成函数形式矩阵行列不可数第五页，共三十七页，编辑于2023年，星期五（3）力学量算符的本征函数在表象中

（自身表象）

符号

即的本征值为分离谱时，其本征矢在自身表象中的矩阵表示为（7）态矢的矩阵形式仍为注意：当的本征值为连续谱时，其本征矢在自身表象中为函数

第六页，共三十七页，编辑于2023年，星期五（4）所谓表象的基矢，应该是一组力学量完全集决定的本征态，例如在三者的共同表象中，基矢为

即共同本征函数系为1.4特例

（1）动量表象.以力学量完全集的共同本征函数

作为基矢，则任意态

第七页，共三十七页，编辑于2023年，星期五动量本征值为连续谱，若具体给出状态为平面单色波

这是动量算符的本征值为的本征态（在坐标表象中的表示，自由粒子波函数），它在动量表象的表示为（8）即自身表象中是以动量为变量的函数（表象中同样存在以坐标为变量的函数，它是坐标算符的属于本征值的本征函数）

第八页，共三十七页，编辑于2023年，星期五（2）能量表象（中心力场能量表象为例）

力学量完全集的共同本征函数作为能量表象的基矢，对任意态若具体给出第九页，共三十七页，编辑于2023年，星期五则从而在表象中态函数

（9）

第十页，共三十七页，编辑于2023年，星期五2力学量（算符）在任意表象中的表示

力学量算符的具体形式应该与波函数的具体形式相对应，以保证对波函数的作用有意义

2.1任意力学量算符在表象中的表示表象中，的算符方程为（以一维为例）选择表象时，首先注意到以力学量算符的本征函数完全集作为基矢，并假设具有分谱，然后将，按展开（10）

（11）

第十一页，共三十七页，编辑于2023年，星期五代入（10）中后两边以作用，并利用的正交归一性得

式中（13）式即为力学量算符在表象中的矩阵元，是在表象中的表示它所构成的算符矩阵为（12）

（13）

（14）

第十二页，共三十七页，编辑于2023年，星期五2.2讨论

（1）力学量算符在表象中的矩阵元依赖于表象基矢（2）厄米算符在表象中的矩阵，其对角矩阵元互为共轭复数当时对角元即对角元为实数（3）由共轭矩阵（转置取复共轭）的定义知（15）

（16）

（17）

这样的矩阵称为厄米矩阵

第十三页，共三十七页，编辑于2023年，星期五（4）算符在自身表象中的矩阵为对角矩阵，即当

时，有

这些实数的对角矩阵元即为算符的本征值（5）对于连续谱，矩阵元写成为连续变量下标，行和列是不可数的3表象特例（补充一）

3.1动量表象以动量算符的本征函数作为基矢，则算符在动量表象的矩阵元为（18）

（19）

第十四页，共三十七页，编辑于2023年，星期五（1）动量算符动量算符在自身表象中即为动量（或）（2）坐标算符坐标算符在动量表象中为

（20）

第十五页，共三十七页，编辑于2023年，星期五动量表象中算符x的本征函数为

又坐标表象中x的本征函数为，所以（3）角动量算符

第十六页，共三十七页，编辑于2023年，星期五

若将代入，得动量表象中

角动量算符

（4）哈密顿算符在动量表象中的表示

3.2能量表象以的本征函数为基矢，可能是

一维无限深势阱

一维谐振子

中心力场

第十七页，共三十七页，编辑于2023年，星期五算符在能量表象中的矩阵元（1）哈密顿算符

哈密顿算符在自身表象中为对角矩阵，能量本征值一目了然（2）不显含时间算符微分矩阵元

因为一般

第十八页，共三十七页，编辑于2023年，星期五所以称为算符的运动方程

微分算符矩阵元即微分算符矩阵元转化为这个算符的矩阵元与相应的能级差之积，如

第十九页，共三十七页，编辑于2023年，星期五例题一求能量表象中一维无限深势阱中粒子的坐标与动

量的矩阵元

解：基矢能级

当时，对角元为当时，非对角元为

第二十页，共三十七页，编辑于2023年，星期五第二十一页，共三十七页，编辑于2023年，星期五4量子力学公式的矩阵表述（以分立谱为例）

实质是把表象中的表达式变换到表象中，故以表象基矢为基础，以态矢及算符

（矩阵）

（矩阵元）进行变换可得

第二十二页，共三十七页，编辑于2023年，星期五

表象

表象（矩阵）

力学量平均值

本征方程

薛定谔方程

内积即第二十三页，共三十七页，编辑于2023年，星期五注意“内积”的简易表示式，非常方便！本征函数的正交归一性平均值矩阵元态在Q表象的表示厄米算符定义第二十四页，共三十七页，编辑于2023年，星期五问题重点在于应用，而应用时关键在于（1）分清表象基矢及表象中各力学量的本征态[注意力学量在表象中本征态为]以及任意态（2）分清表象中各力学量的形式（包括对角矩阵）

5幺正变换

5.1任务前面讨论表象的变换，现把任意算符及态矢从表象变换到另一表象中，目的是简化对问题的讨论

5.2基础（1）表象的基矢与；（2）表象中的算符

第二十五页，共三十七页，编辑于2023年，星期五

（3）表象中的态矢

5.3变换矩阵（1）变换矩阵的矩阵元两表象基矢的内积，注意脚标所代表的表象（表象，表象）、先后顺序及星号（21）

第二十六页，共三十七页，编辑于2023年，星期五（2）变换矩阵为幺正矩阵

即

（23）式为幺正变换条件，可见变换矩阵一般情况下不是厄米矩阵5.4算符及态矢的变换（22）

（23）

或（24）

或

（25）

第二十七页，共三十七页，编辑于2023年，星期五说明：（1）变换的关键在于利用两个表象的基矢得到

变换矩阵；

（2）是同一力学量算符，表示同一态，只不过所处表象不同（采用不同变量）。5.5幺正变换的两个重要性质

（1）幺正变换不改变算符的本征值。这给我们提供了一个求算符本征值的方法：（）一般情况下算符在表象中可能不是对角矩阵，其本征值通过解久期方程求得；但能通过适当的幺正变换使算符进入另一个表象而对角化。

第二十八页，共三十七页，编辑于2023年，星期五

（）非对角矩阵到对角矩阵的变换，即原表象到自

身表象的变换。关键在于找到原表象与

自身表象的基矢，以构成幺正矩阵。

（）幺正变换不改变算符的本征值，所以变换后的对角矩阵元即为其本征值。（2）幺正变换不改变矩阵的迹例题2在正交归一化基矢所张的三维矢量空间中，时的态矢。而物理体系的能量算符和另外两个物理量算符与的矩阵形式为第二十九页，共三十七页，编辑于2023年，星期五

均为实数，求

（1）所采用的是什么表象？基矢是什么？（2）表象中波函数（态矢）的表示；（3）态的能量可能值及相应概率、、=？（4）态中算符、的可能值及相应概率。解：（1）因为矩阵为对角矩阵能量表象；此表象为的本征态，基矢在能量表象中为（2）表象中波函数的表示为表象

第三十页，共三十七页，编辑于2023年，星期五或利用可得

故能量表象中态矢为（3）由对角矩阵可知，能量取值只能是、、，且是两度简并的，取和的