第四节直线平面平行的判定及其性质

第四节直线平面平行的判定及其性质第一页，共三十四页，编辑于2023年，星期五两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM＝FN，求证：MN∥平面BCE.线面平行的判定及应用

第二页，共三十四页，编辑于2023年，星期五分析

要证MN∥平面BCE，其一，只需在平面BCE内找到一条与MN平行的直线即可；其二，构造面面平行，用面面平行的性质．第三页，共三十四页，编辑于2023年，星期五证明

方法一：过M作MP⊥BC，NQ⊥BE，P、Q为垂足，连接PQ，如图所示．∵MP∥AB，NQ∥AB，∴MP∥NQ，∵AC＝BF，AM＝FN，∴CM＝BN，∴NQ＝BN＝CM＝MP，∴MPQN是平行四边形，∴MN∥PQ，PQ⊂平面BCE.而MN⊄平面BCE，∴MN∥平面BCE.方法二：过M作MG∥BC，交AB于G，连接NG，如图所示．∵MG∥BC，BC⊂平面BCE，MG⊄平面BCE，∴MG∥平面BCE.又，∴GN∥AF∥BE，同理可证，GN∥平面BCE.∵MG∩NG＝G，∴平面MNG∥平面BCE.又MN⊂平面MNG，∴MN∥平面BCE.第四页，共三十四页，编辑于2023年，星期五

规律总结

证明直线和平面平行，通常采用如下两种方法：①利用直线和平面平行的判定定理，通过“线线”平行证得“线面”平行；②利用两平面平行的性质定理，通过“面面”平行证得“线面”平行．第五页，共三十四页，编辑于2023年，星期五变式训练1如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M、N分别是BC和A1B1的中点．求证：MN∥平面AA1C1.第六页，共三十四页，编辑于2023年，星期五【证明】第七页，共三十四页，编辑于2023年，星期五线面平行的性质及应用一条直线和两个相交平面都平行，则这条直线和两个平面的交线平行．第八页，共三十四页，编辑于2023年，星期五分析

写出“已知”“求证”，过已知直线作两个平面与已知平面相交，由线面平行的性质，证明线线平行．第九页，共三十四页，编辑于2023年，星期五解已知：α∩β＝b，α∥α，a∥β，求证：a∥b.证明：如图，过直线a作两个平面α′，β′，使得α′∩α＝c，β′∩β＝d，则a∥c，a∥d，∴c∥d，∵c⊄β，d⊂β，∴c∥β，∵α∩β＝b，c⊂α，∴c∥b，∴a∥b.

第十页，共三十四页，编辑于2023年，星期五

规律总结线面平行的性质及应用主要有两个方面：其一，由线面平行证明线线平行，即由线面平行到线线平行的转化；其二，由线面平行证明面面平行，即由线面平行到面面平行的转化．第十一页，共三十四页，编辑于2023年，星期五变式训练２

如图所示，在四面体A－BCD中，截面EFGH平行于对棱AB和CD.试问：截面在什么位置时，截面的面积最大？

第十二页，共三十四页，编辑于2023年，星期五【解析】

第十三页，共三十四页，编辑于2023年，星期五已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、E、F、N分别是A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的中点．求证：(1)E、F、B、D四点共面；(2)平面AMN∥平面EFDB.面面平行的判定及应用

第十四页，共三十四页，编辑于2023年，星期五分析

依据平面的基本性质和面面平行的判定定理．第十五页，共三十四页，编辑于2023年，星期五证明

第十六页，共三十四页，编辑于2023年，星期五规律总结

面面平行的判定统统涉及线面平行的判定与性质的综合应用，解题时，要准确地找到解题的切入点，灵活地运用相关定理来解决问题．第十七页，共三十四页，编辑于2023年，星期五

变式训练３异面直线AB、CD分别与两个平行平面α和β相交于A、B和C、D，M、N分别是AB和CD的中点，求证：MN∥α.第十八页，共三十四页，编辑于2023年，星期五【证明】作BE∥DC交平面α于E，取BE的中点P，连EA、EC、PM、PN，如图所示．则PM∥AE，PN∥EC.∴PM∥平面EAC，PN∥平面EAC，∴平面PMN∥平面EAC，而MN⊂平面PMN，∴MN∥平面EAC，即MN∥α.第十九页，共三十四页，编辑于2023年，星期五(12分)

如图所示，线段PQ分别交两个平行平面α，β于A、B两点，线段PD分别交α，β于C、D两点，线段QF分别交α，β于F、E两点，若PA＝9，AB＝12，BQ＝12，△ACF的面积为72，求△BDE的面积．面面平行的性质及应用第二十页，共三十四页，编辑于2023年，星期五

分析由α∥β寻找线线平行，从而判断△ACF和△BDE的关系，运用已知面积代换，求未知面积．第二十一页，共三十四页，编辑于2023年，星期五解

第二十二页，共三十四页，编辑于2023年，星期五规律总结

利用面面平行可以得到线面平行和线线平行，所以面面平行的应用，主要就是两个转化：其一，由面面到线面的转化；其二，由面面到线线的转化．第二十三页，共三十四页，编辑于2023年，星期五

变式训练４

如图所示，平面α∥平面β，点A∈α，C∈α，点B∈β，D∈β，点E，F分别在线段AB，CD上，且AE∶EB＝CF∶FD.求证：EF∥β.第二十四页，共三十四页，编辑于2023年，星期五【证明】

(1)当AB，CD在同一平面内时，由α∥β，α∩平面ABDC＝AC，β∩平面ABDC＝BD，∴AC∥BD.∵AE∶EB＝CF∶FD，∴EF∥BD.又EF⊄β，BD⊂β，∴EF∥β.(2)当AB与CD异面时，如图甲．设平面ACD∩β＝DH，取DH＝AC.∵α∥β，α∩平面ACDH＝AC，∴AC∥DH.连接AH，∴四边形ACDH是平行四边形．在AH上取一点G，使AG∶GH＝CF∶FD，连接EG、FG、BH.又∵AE∶EB＝CF∶FD，∴GF∥HD，EG∥BH.又EG∩GF＝G，∴平面EFG∥β.∵EF⊂平面EFG，∴EF∥β.综上，EF∥β.第二十五页，共三十四页，编辑于2023年，星期五1．线线平行、线面平行、面面平行的转换第二十六页，共三十四页，编辑于2023年，星期五2．解答或证明线面、面面平行的有关问题，常常要作辅助线或辅助面注意：(1)所作的辅助线或面需要有理论依据；(2)辅助线或面具有什么性质，一定要以某一性质定理作为依据，不能随意添加．3．证“线面平行”的方法(1)判定定理(线线平行⇒线面平行)；(2)面面平行的性质定理(面面平行⇒线面平行)．第二十七页，共三十四页，编辑于2023年，星期五4．证明“面面平行”的方法(1)用判定定理或推论；(2)用“同垂直于一条直线的两个平面平行”来判定；(3)依据“平行于同一个平面的两个平面平行”来判定．第二十八页，共三十四页，编辑于2023年，星期五5．两个平面平行的性质有五条(1)两个平面平行，其中一个平面内的任一直线必平行于另一个平面，这个定理可简记为“面面平行，则线面平行”．用符号表示是：α∥β，a⊂α，则a∥β.(2)如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行，这个定理可简记为“面面平行，则线线平行”．用符号表示是：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，则a∥b.(3)一条直线垂直于两平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面．这个定理可用于证线面垂直．用符号表示是：α∥β，a⊥α，则a⊥β.(4)夹在两个平行平面间的平行线段相等．(5)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．第二十九页，共三十四页，编辑于2023年，星期五如图所示，在正方体中，E，F分别是棱BC，的中点，求证：EF∥平面.第三十页，共三十四页，编辑于2023年，星期五错解

第三十一页，共三十四页，编辑于2023年，