第四章 刚体的转动

1、刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体。(任意两点间距离保持不变的特殊质点组。)刚体最简单的运动形式：平动、转动。⑴刚体是理想模型⑵刚体模型是为简化问题引进的。说明：§4-1刚体的平动、转动和定轴转动质点质点系刚体集合特例第一页，共六十七页，编辑于2023年，星期五平动：当刚体运动时，如果刚体内任何一条给定的直线，在运动中始终保持它的方向不变，这种运动叫平动。特点：各点运动状态一样，如：等都相同。2.平动刚体平动质点运动平动刚体不一定做直线运动。第二页，共六十七页，编辑于2023年，星期五刚体的平动过程bca第三页，共六十七页，编辑于2023年，星期五刚体的平动过程bca第四页，共六十七页，编辑于2023年，星期五bcab刚体的平动过程第五页，共六十七页，编辑于2023年，星期五bca刚体的平动过程第六页，共六十七页，编辑于2023年，星期五bca刚体的平动过程第七页，共六十七页，编辑于2023年，星期五bca刚体的平动过程第八页，共六十七页，编辑于2023年，星期五bca刚体的平动过程第九页，共六十七页，编辑于2023年，星期五bca刚体的平动过程第十页，共六十七页，编辑于2023年，星期五bca刚体的平动过程第十一页，共六十七页，编辑于2023年，星期五3.刚体的定轴转动定轴转动：刚体上各点都绕同一转轴作不同半径的圆周运动。在相同时间内转过相同的角度。转动：刚体运动时，如果刚体的各个质点在运动中都绕同一直线作圆周运动，这种运动就叫做转动，这一直线就叫做转轴。

第十二页，共六十七页，编辑于2023年，星期五特点：角位移，角速度和角加速度均相同；质点在垂直转轴的平面内运动，且作圆周运动。刚体的定轴转动角位移角速度角加速度第十三页，共六十七页，编辑于2023年，星期五线量与角量之间的关系OP(t+t)P(t)xR第十四页，共六十七页，编辑于2023年，星期五4.角速度矢量角速度的方向：与刚体转动方向呈右手螺旋关系。角速度矢量在定轴转动中，角速度的方向沿转轴方向。角速度与线速度关系：第十五页，共六十七页，编辑于2023年，星期五例题4-1一飞轮转速n=1500r/min，受到制动后均匀地减速，经t=50s后静止。（1）求角加速度α

和飞轮从制动开始到静止所转过的转数N；（2）求制动开始后t=25s时飞轮的角速度；（3）设飞轮的半径r=1m，求在

t=25s时边缘上一点的速度和加速度。0vanatarO第十六页，共六十七页，编辑于2023年，星期五量值为0=21500/60=50rad/s，在t=50S时刻=0，代入方程=0+αt得解

（1）设初角度为0方向如图所示，0vanatarO从开始制动到静止，第十七页，共六十七页，编辑于2023年，星期五（2）t=25s时飞轮的角速度为的方向与0相同（3）t=25s时飞轮边缘上一点P的速度。的方向垂直于和构成的平面，如图所示由0vanatarO第十八页，共六十七页，编辑于2023年，星期五

的方向几乎和

相同。相应的切向加速度和向心加速度分别为的方向如图所示0vanatarO第十九页，共六十七页，编辑于2023年，星期五§4-2刚体的角动量转动动能转动惯量1.刚体的角动量（绕定轴）2.刚体的转动动能上式中的动能是刚体因转动而具有的动能，因此叫刚体的转动动能。第二十页，共六十七页，编辑于2023年，星期五刚体的角动量推导：图为以角速度绕定轴oz转动的一根均匀细棒。把细棒分成许多质点，其中第i个质点的质量为

当细棒以转动时，该质点绕轴的半径为它相对于o点的位矢为则对o点的角动量为：方向如图所示。第二十一页，共六十七页，编辑于2023年，星期五因此

而这个分量实际上就是各质点的角动量沿轴的分量之和。

对于定轴转动，我们感兴趣的只是对沿轴的分量，叫做刚体绕定轴转动的角动量。刚体对点的角动量，等于各个质点角动量的矢量和。第二十二页，共六十七页，编辑于2023年，星期五刚体转动惯量：刚体绕定轴的角动量表达式：式中叫做刚体对轴的转动惯量，用J表示。第二十三页，共六十七页，编辑于2023年，星期五刚体的转动动能推导：因此整个刚体的动能则该质点的动能为：刚体的转动动能应该是组成刚体的各个质点的动能之和。设刚体中第i个质点的质量为，速度为,刚体做定轴转动时，各质点的角速度相同。设质点离轴的垂直距离为，则它的线速度第二十四页，共六十七页，编辑于2023年，星期五—质元的质量—质元到转轴的距离连续分布3.转动惯量的计算质量有关(同分布M>m,JM>Jm)质量分布有关(同m,J中空>J实)转轴位置有关(3)转动惯量与(1)定义(2)物理意义

描述物体转动惯性的大小。第二十五页，共六十七页，编辑于2023年，星期五转动惯量是转动中惯性大小的量度。质量是平动中惯性大小的量度。比较：平动：平动动能

线动量转动：转动动能角动量第二十六页，共六十七页，编辑于2023年，星期五mRJzJc平行轴定理:

若刚体对过质心的轴的转动惯量为Jc，则刚体对与该轴相距为d的平行轴z的转动惯量Jz是第二十七页，共六十七页，编辑于2023年，星期五例题4-3求质量为m、长为l的均匀细棒对下面三种转轴的转动惯量：（1）转轴通过棒的中心并和棒垂直；（2）转轴通过棒的一端并和棒垂直；（3）转轴通过棒上距中心为h的一点并和棒垂直。llOxdxlOxdxAlxdxAABh第二十八页，共六十七页，编辑于2023年，星期五llOxdxA解如图所示，在棒上离轴x处，取一长度元dx，如棒的质量线密度为，这长度元的质量为dm=dx。

（1）当转轴通过中心并和棒垂直时，我们有第二十九页，共六十七页，编辑于2023年，星期五（2）当转轴通过棒的一端A并和棒垂直时，我们有lxdxA第三十页，共六十七页，编辑于2023年，星期五（3）当转轴通过棒上距中心为h的B点并和棒垂直时，我们有lOxdxABh第三十一页，共六十七页，编辑于2023年，星期五例题4-4求圆盘对于通过中心并与盘面垂直的转轴的转动惯量。设圆盘的半径为R，质量为m，密度均匀。rRdr解：设圆盘的质量面密度为，在圆盘上取一半径为r、宽度为dr的圆环（如图），环的面积为2rdr，环的质量dm=2rdr。第三十二页，共六十七页，编辑于2023年，星期五几种常见刚体转动惯量圆环转轴通过中心与盘面垂直r圆环转轴沿直径r几何形状不规则的刚体的转动惯量，由实验测定。薄圆盘转轴通过中心与盘面垂直rr2r1圆筒转轴沿几何轴第三十三页，共六十七页，编辑于2023年，星期五lr圆柱体转轴沿几何轴lr圆柱体转轴通过中心与几何轴垂直l细棒转轴通过中心与棒垂直l细棒转轴通过端点与棒垂直2r球体转轴沿直径2r球壳转轴沿直径第三十四页，共六十七页，编辑于2023年，星期五转动平面

沿Z轴分量为对Z轴力矩对O

点的力矩：§4-3力矩刚体定轴转动定律1.力矩第三十五页，共六十七页，编辑于2023年，星期五

力不在转动平面内注

（1）在定轴动问题中，如不加说明，所指的力矩是指力在转动平面内的分力对转轴的力矩。转动平面第三十六页，共六十七页，编辑于2023年，星期五

是转轴到力作用线的距离，称为力臂。（2）

（3）

对转轴的力矩为零，在定轴转动中不予考虑。

（4）在转轴方向确定后，力对转轴的力矩方向可用+、-号表示。转动平面第三十七页，共六十七页，编辑于2023年，星期五

2.刚体定轴转动定律刚体定轴转动的角加速度与它所受到的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。讨论：

（2）Mz

的符号：使刚体向规定的转动正方向加速的力矩为正；惯性大小的量度；转动惯量是转动（1）Mz

一定，J（3）为瞬时关系．第三十八页，共六十七页，编辑于2023年，星期五刚体定轴转动定律推导：应用牛顿第二定律，可得：ωO对刚体中任一质量元-外力-内力采用自然坐标系，上式切向分量式为：O’第三十九页，共六十七页，编辑于2023年，星期五用乘以左右两端：

设刚体由N个点构成，对每个质点可写出上述类似方程，将N个方程左右相加，得：

根据内力性质(每一对内力等值、反向、共线,对同一轴力矩之代数和为零)，得：第四十页，共六十七页，编辑于2023年，星期五得到：上式左端为刚体所受外力的合外力矩，以M表示；右端求和符号内的量与转动状态无关，称为刚体转动惯量，以J表示。于是得到刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律第四十一页，共六十七页，编辑于2023年，星期五刚体定轴转动定律在刚体定轴转动中的作用与牛顿第二定律在质点运动中的作用相似。刚体定轴转动的转动定理牛顿第二定律第四十二页，共六十七页，编辑于2023年，星期五例题4-5一轻绳跨过一定滑轮，滑轮视为圆盘，绳的两端分别悬有质量为m1和m2的物体1和2，m1<m2如图所示。设滑轮的质量为m，半径为r，所受的摩擦阻力矩为Mr。绳与滑轮之间无相对滑动。试求物体的加速度和绳的张力。解:受力分析设物体1这边绳的张力为T1、

T1’(T1’=T1)，物体2这边的张力为T2、T2’(T2’=T2)m1m2aT2T1T1G1am1T2G2am2第四十三页，共六十七页，编辑于2023年，星期五因m2>m1，物体1向上运动，物体2向下运动，滑轮以顺时针方向旋转，可列出下列方程：滑轮边缘上的切向加速度和物体的加速度相等：m1m2T2T1T1T2G2G1aaam1m2第四十四页，共六十七页，编辑于2023年，星期五当不计滑轮质量及摩擦阻力矩即令m=0、Mr=0时，有第四十五页，共六十七页，编辑于2023年，星期五例题4-6一半径为R，质量为m匀质圆盘，平放在粗糙的水平桌面上。设盘与桌面间摩擦系数为，令圆盘最初以角速度0绕通过中心且垂直盘面的轴旋转，问它经过多少时间才停止转动？rRdrde解：由于摩擦力不是集中作用于一点，而是分布在整个圆盘与桌子的接触面上，力矩的计算要用积分法。把圆盘分成许多质元，每个质元的质量dm=rddre，所受到的阻力矩是rdmg。第四十六页，共六十七页，编辑于2023年，星期五圆盘所受阻力矩：因m=eR2，代入得阻力矩使圆盘减速，即获得负的角加速度.设圆盘经过时间t停止转动，则有由此求得第四十七页，共六十七页，编辑于2023年，星期五§4-4定轴转动的动能定理

1.力矩的功当刚体在外力矩作用下绕定轴转动而发生角位移时，就称力矩对刚体做功。力对P点作功：0‘0第四十八页，共六十七页，编辑于2023年，星期五因力矩作功：对于刚体因质点间无相对位移，任何一对内力作功为零。0‘0内力作功为零。第四十九页，共六十七页，编辑于2023年，星期五2.定轴转动的动能定理根据定轴转动定律：外力矩所做元功为：总外力矩对刚体所作的功为：第五十页，共六十七页，编辑于2023年，星期五刚体定轴转动的动能定理：总外力矩对刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。第五十一页，共六十七页，编辑于2023年，星期五表明：一个不太大的刚体的重力势能与它的质量集中在质心时所具有的势能一样。3.刚体的重力势能即：质心高度为：

对于一个不太大的质量为的物体，它的重力势能应是组成刚体的各个质点的重力势能之和。第五十二页，共六十七页，编辑于2023年，星期五4、含刚体系统的机械能守恒定律对于含刚体的系统，机械能守恒定律可表示为考虑能否用机械能守恒定律再考虑能否应用动能定理最后再考虑应用刚体定轴转动定律解决实际问题第五十三页，共六十七页，编辑于2023年，星期五解先对细棒OA所受的力作一分析；重力作用在棒的中心点C，方向竖直向下；轴和棒之间没有摩擦力，轴对棒作用的支承力,垂直于棒和轴的接触面且通过O点，在棒的下摆过程中，此力的方向和大小是随时改变的。例题4-8一根质量为m、长为l的均匀细棒OA（如图），可绕通过其一端的光滑轴O在竖直平面内转动，今使棒从水平位置开始自由下摆，求细棒摆到竖直位置时其中点C和端点A的速度。GAAO第五十四页，共六十七页，编辑于2023年，星期五mg解法一:用刚体转动定律求解第五十五页，共六十七页，编辑于2023年，星期五解法二:用刚体定轴转动的动能定理GAAO第五十六页，共六十七页，编辑于2023年，星期五解法三:用机械能守恒定律求解选细棒和地球作为系统，只有重力做功，整个系统的机械能守恒选细棒竖直时的质心位置为重力势能的零点GAAO第五十七页，共六十七页，编辑于2023年，星期五§4-6刚体角动量和角动量守恒定律1.定轴转动刚体的角动量定理定轴转动物体对轴的角动量的增量等于外力对该轴的冲量矩之和。为时间内力矩M对给定轴的冲量矩。对由不是刚体的物体组成的系统同样成立。第五十八页，共六十七页，编辑于2023年，星期五2.定轴转动刚体的角动量守恒定律角动量守恒定律：若一个系统一段时间内所受合外力矩Mz

恒为零，则此系统的总角动量Lz

为一恒量。恒量讨论：a.对于绕固定转轴转动的刚体，因J保持不变，当合外力矩为零时，其角速度恒定。=恒量=恒量第五十九页，共六十七页，编辑于2023年，星期五b.若系统由若干个刚体构成,当合外力矩为零时,系统的角动量依然守恒。J大→

小,J小→大。第六十页，共六十七页，编辑于2023年，星期五直线运动与定轴转动规律对照质点的直线运动刚体的定轴转动第六十一页，共六十七页，编辑于2023年，星期五以子弹和沙袋为