第四章 交通流理论

第四章交通流理论第一页，共三十三页，编辑于2023年，星期五重点、难点1、排队论“M/M/1系统”2、跟驰理论和流体动力学理论3、车流波动理论及其应用第二页，共三十三页，编辑于2023年，星期五一、

交通流的统计分布特性

随机性描述方法第三页，共三十三页，编辑于2023年，星期五二、排队论应用

1、排队系统，

排队2、排队系统的三个组成部分：①输入过程：各种类的顾客（车或行人）按怎样的规律抵达；定长输入（D）、泊松输入（M）、爱尔朗输入（Ek）

②排队规则：到达的顾客按怎样的次序接受服务。损失制、等待制、混合制③服务方式——服务台个数和顾客服务时间定长分布（D）负指数分布（M）爱尔朗分布（Ek）第四页，共三十三页，编辑于2023年，星期五

k-爱尔朗分布

是一种连续型概率分布，交通流理论中用来描述高流量

车头时距的概率分布。如果k个随机变量Xi，i=1，2，…,k,分别服从指数分布，那么随机变量X=X1+X2+…+xk服从爱尔朗分布。即：具有k-爱尔朗分布的随机变量可以看作具有同一指数分布的独立的k个随机变量之和。

第五页，共三十三页，编辑于2023年，星期五3、排队系统的几个重要指标：①队长：系统中正在接受服务和等待服务的顾客数；②等待时间：顾客到达——接受服务的时间；③忙期：服务台连续繁忙的时期。第六页，共三十三页，编辑于2023年，星期五三、M/M/1系统设平均到达率为λ，则到达的平均时距为设平均服务率为μ，则平均服务的时间为比率，交通强度或利用系数（服务强度）当ρ＜1，则排队系统是平稳的；ρ≥1，则排队系统是不平稳的；第七页，共三十三页，编辑于2023年，星期五当ρ＜1，则排队系统是平稳的；ρ≥1，则排队系统是不平稳的；系统中没有车辆的概率：P（0）=1-ρ系统中有n辆车的概率：

P（n）=ρn（1-ρ）=ρnP（0），第八页，共三十三页，编辑于2023年，星期五①平均顾客数（队长）：②顾客数的方差：③平均排队长度：④平均等待时间为（接受服务前在系统中的等待时间）：⑤平均消耗时间（等待时间+服务时间）：第九页，共三十三页，编辑于2023年，星期五例1一收费站，车辆到达是随机的，单面车流量为300辆/小时，收费员平均每10秒完成一次收费并放行一辆汽车，符合负指数分布。试后计在检查站上挤占队系统中的平均车辆数。平均排队长度，平均消耗时间及平均等待时间。第十页，共三十三页，编辑于2023年，星期五求解步骤这是一个M/M/1系统，

第十一页，共三十三页，编辑于2023年，星期五第十二页，共三十三页，编辑于2023年，星期五作业某一收费亭，收费时间服从负指数分布，平均每辆汽车的交费时间为7.2s，汽车到达率为400辆/h，并服从泊松分布，求：①收费亭空闲的概率；②收费亭前有车辆排队的概率；③收费亭前有车辆排队的概率是排队车超过6辆的概率；第十三页，共三十三页，编辑于2023年，星期五四、

跟驰理论一、车辆跟驰模型的研究：方法：动力学方法范畴：单一车道，无法超车，一列车队，后车跟随前车第十四页，共三十三页，编辑于2023年，星期五1、非自由行驶状态——在道路上行驶的一队高密度汽车，车间距离不大，车队中任一辆车的车速都受到前车速度的制约，司机只能按前车提供的信息采用相应车速。第十五页，共三十三页，编辑于2023年，星期五2、非自由行驶状态的车队的三个特征：①制约性：“车速”和“间距”；②延迟性：后车司机对前车运行状态的改变的适应时间为T，前车在时刻t的动作，在时刻t+T后车才能作出相应的动作。③传递性：脉冲波动（第1辆车传递给第2辆车，第2辆车传递给第3辆车，第3辆车传递给第4辆…………）第十六页，共三十三页，编辑于2023年，星期五五、

流体动力学模拟理论1955年，英国学者莱脱希尔和惠特汉将交通流比拟为流体P81表4-3第十七页，共三十三页，编辑于2023年，星期五一、车流的连续性方程流入量-流出量=△X内车辆总数的变化即：[Q-（Q+△Q）]△t=[K-（K-△K）]·△X或又∵Q=KV，则：（连续性方程）上式表明：当Q随距离而降低时，K则随时间而增大。第十八页，共三十三页，编辑于2023年，星期五区域Ⅰ内：V最高，而K最低；Ⅱ内：V↓，K↑；Ⅲ内：V↑，K↓。二、车流波动理论第十九页，共三十三页，编辑于2023年，星期五第二十页，共三十三页，编辑于2023年，星期五Q1、Q2——前后两种车流状态的流量；K1、K2——前后两种车流状态的密度。两车车间间距为L2-L1，第1辆车行驶的距离为L1=V1t第2辆车行驶的距离为L2=V2t又∵第二十一页，共三十三页，编辑于2023年，星期五∴微弱波的波速公式（前后车流状态变化不大）：第二十二页，共三十三页，编辑于2023年，星期五A→B集结波前进波B→A消散波B→C集结波后退波C→B消散波第二十三页，共三十三页，编辑于2023年，星期五24六、车流波动理论的应用例：道路上的车流量为720辆/h，车速为60km/h，今有一辆超限汽车以30km/h的速度进入交通流并行驶5km后离去，由于无法超车，就在该超限车后形成一低速车队，密度为40辆/km，该超限车离去后，受到拥挤低速车队以车速50km/h，密度为25辆/km的车流疏散，计算：

(1)拥挤消散时间ts；(2)拥挤持续时间tj；(3)最大排队长度；(4)排队最长时的排队车辆数；(5)参与过排队的车辆总数。第二十四页，共三十三页，编辑于2023年，星期五25四、车流波动理论的应用

解：三种状态的Q、K、V分别如图所示：

超限车进入后，车流由状态变Ⅰ为状态Ⅱ

，将产生一个集结波：（注意集结波的方向！）5km

Q1=720V1=60K1=12

Q2=1200V2=30K2=40

Q3=1250V3=50K3=25

w1

w2ⅠⅡⅢ第二十五页，共三十三页，编辑于2023年，星期五26四、车流波动理论的应用

超限车插入后，领头超限车的速度为30km/h，集结波由超限车进入点以w1=17.14km/h的速度沿车流方向运动。如果这种状况持续1h，1h后跟在超限车后的低速车队长度为：30-17.14=12.86km。但超限车行驶5km后离去，超限车行驶5km所用集结时间为：ta=5/30=0.167h，在超限车驶离时刻超限车后的低速车队长度应为：5-w1ta=2.14km。5km

w1w1ta

5-w1ta=2.14km第二十六页，共三十三页，编辑于2023年，星期五27

超限车离去后，车流由状态Ⅱ变为状态Ⅲ，在超限车驶离点产生一个消散波：

注意：超限车离去，低速车队前端以-3.33km/h的速度消散，后端还在以17.14km/h的速度集结。5km

w1

w2w1ta

5-w1ta=2.14km第二十七页，共三十三页，编辑于2023年，星期五28

由此可见，在超限车离去的时刻低速车队最长！因此，最大排队长度为2.14km（为什么？），这2.14km上的车辆数即为最大排队车辆数：

2.14K2=2.14×40=86（辆）（为什么是K2？）超限车离去的时刻，低速车队前端以-3.33km/h的速度消散，后端还在以17.14km/h的速度集结，设要消散长度为2.14km的低速车队需要的时间为ts5km

w1

w2w1ta

5-w1ta=2.14km第二十八页，共三十三页，编辑于2023年，星期五29由图可见，消散长度为2.14km的低速车队需要的排队消散时间ts应采用下式计算：

排队持续时间tj为集结时间ta与排队消散时间ts之和

tj=ta+ts=0.167+0.105=0.272（h）5km

w1

w2w1ta

5-w1ta=2.14km第二十九页，共三十三页，编辑于2023年，星期五30要求出参与过排队的车辆总数，首先要确定排队消散处距超限车驶入处的位置，由下图可见：可见，排队消散处距超限车驶入处为4.69km。5kmw1tj=4.69km

5-w1tj=w2ts

=0.31km5km

w1

w2w1ta

5-w1ta=2.14km第三十页，共三十三页，编辑于2023年，星期五31在超限车驶入至排队消散的排队持续时间tj内，从左面驶入的流量为：在这196辆车中，上图蓝车以后的车辆没有参与过排队，其数量为：4.69K1=4.69×12=56（辆）因此，参与排队的车辆总数为：

196-60=140（辆）5kmw1tj=4.69km

5-w1tj=w2ts

=0.31km第三十一页，共三十三页，编辑于2023年，星期五32

参与排队的车辆总数的另一种算法：