第十章 二重积分

第十章二重积分1第一页，共一百零六页，编辑于2023年，星期五第一节二重积分的概念及性质特点：平顶.曲顶柱体体积=？特点：曲顶.1、曲顶柱体的体积一、二重积分的概念柱体体积=底面积

╳高2第二页，共一百零六页，编辑于2023年，星期五步骤如下：S:z=f(x,y)任意分割曲顶柱体的底，分割x0z

yDi并取典型小区域，近似以平代曲3第三页，共一百零六页，编辑于2023年，星期五S:z=f(x,y)x0z

yDi步骤如下：任意分割曲顶柱体的底，分割并取典型小区域，近似以平代曲求和4第四页，共一百零六页，编辑于2023年，星期五S:z=f(x,y)x0z

yDi步骤如下：任意分割曲顶柱体的底，分割并取典型小区域，近似以平代曲求和5第五页，共一百零六页，编辑于2023年，星期五S:z=f(x,y)x0z

yDi步骤如下：分割近似求和极限6第六页，共一百零六页，编辑于2023年，星期五x0z

yV.步骤如下：分割近似求和极限曲顶柱体的体积7第七页，共一百零六页，编辑于2023年，星期五2、密度分布非均匀的平面薄片的质量将薄片分割成若干小块，取典型小块，将其近似看作均匀薄片，所有小块质量之和近似等于薄片总质量，8第八页，共一百零六页，编辑于2023年，星期五3、二重积分的定义9第九页，共一百零六页，编辑于2023年，星期五积分区域被积函数积分变量被积表达式面积元素即10第十页，共一百零六页，编辑于2023年，星期五4、二重积分的性质下面假定f(x,y),g(x,y)在闭区域D上连续,A为D的面积.

性质2线性性质

这里A为D的面积.

性质111第十一页，共一百零六页，编辑于2023年，星期五性质4性质3区域可加性

推论1推论212第十二页，共一百零六页，编辑于2023年，星期五性质5估值定理证所以于是13第十三页，共一百零六页，编辑于2023年，星期五性质6(二重积分的中值定理)证由性质5知,

即得证。14第十四页，共一百零六页，编辑于2023年，星期五解例115第十五页，共一百零六页，编辑于2023年，星期五解例216第十六页，共一百零六页，编辑于2023年，星期五解例317第十七页，共一百零六页，编辑于2023年，星期五练习：P93习题10.11.18第十八页，共一百零六页，编辑于2023年，星期五第二节直角坐标系下二重积分的计算法一、直角坐标系下二重积分的表示在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D，故二重积分可写为D则面积元素为19第十九页，共一百零六页，编辑于2023年，星期五二、X—型区域与Y—型区域X—型区域xyoabD20第二十页，共一百零六页，编辑于2023年，星期五二、X—型区域与Y—型区域如果积分区域为D：Y—型区域dcxyoD21第二十一页，共一百零六页，编辑于2023年，星期五三、直角坐标系下二重积分的计算法0xz

ycdDz=f(x,y)x=(y)x=(y)y22第二十二页，共一百零六页，编辑于2023年，星期五0xz

ycdDz=f(x,y)x=(y)x=(y)y问题：Q(y)是什么图形？是曲边梯形!三、直角坐标系下二重积分的计算法23第二十三页，共一百零六页，编辑于2023年，星期五0xz

yx=(y)ycdDz=f(x,y)x=(y)三、直角坐标系下二重积分的计算法24第二十四页，共一百零六页，编辑于2023年，星期五一般记为dxyoc25第二十五页，共一百零六页，编辑于2023年，星期五D:x1(y)xx2(y)cydI=0y

x

x2(y)x1

(y)cdyD计算二重积分的两种积分次序26第二十六页，共一百零六页，编辑于2023年，星期五D:x1(y)xx2(y)cydI=0y

x

x2(y)x1

(y)cdy先x

后y计算二重积分的两种积分次序D27第二十七页，共一百零六页，编辑于2023年，星期五D:x1(y)xx2(y)cydI=0y

x

x2(y)x1

(y)cdy计算二重积分的两种积分次序先x

后yD:y1(x)yy2(x)axb0y

xI=ab

y1(x)

y2(x)DxD28第二十八页，共一百零六页，编辑于2023年，星期五D:x1(y)xx2(y)cydI=0y

x

x2(y)x1

(y)cdy计算二重积分的两种积分次序D先x

后yD:y1(x)yy2(x)axb0y

xI=ab

y1(x)

y2(x)xDD先y后x

29第二十九页，共一百零六页，编辑于2023年，星期五将化为累次积分,其中

D

由直线围成。解法1先画出积分区域D，将D

向y

轴投影，先x后y,例1xyo30第三十页，共一百零六页，编辑于2023年，星期五xyo解法2先y后x,

将D

向x

轴投影,31第三十一页，共一百零六页，编辑于2023年，星期五计算其中

D

由直线解

先画出积分区域D，先y后x,将D

向x

轴投影，例2围成。32第三十二页，共一百零六页，编辑于2023年，星期五解例3先求两曲线的交点先对

y

积分，33第三十三页，共一百零六页，编辑于2023年，星期五解例434第三十四页，共一百零六页，编辑于2023年，星期五解例5先x后y,两曲线的交点35第三十五页，共一百零六页，编辑于2023年，星期五解例5两曲线的交点选择积分次序的原则：

若选择先y后x,(1)积分容易；

(2)尽量少分块或不分块.

麻烦。36第三十六页，共一百零六页，编辑于2023年，星期五

改变积分的次序.例6解积分区域为将D

向y

轴投影,改写为37第三十七页，共一百零六页，编辑于2023年，星期五解设则例7交换下面积分的次序：38第三十八页，共一百零六页，编辑于2023年，星期五设将D

向y

轴投影,39第三十九页，共一百零六页，编辑于2023年，星期五利用对称性简化二重积分的计算设积分区域D关于y

轴对称，yxox-x(1)若f(x,y)关于

x是奇函数，则有(2)若f(x,y)关于

x

是偶函数，则有其中是D的右半区域。40第四十页，共一百零六页，编辑于2023年，星期五设积分区域D关于x轴对称，(1)若f(x,y)关于

y

是奇函数，则有(2)若f(x,y)关于

y

是偶函数，则有其中是D的上半区域。yxo注意：不仅要考虑区域的对称性，还要考虑函数的奇偶性。利用对称性简化二重积分的计算41第四十一页，共一百零六页，编辑于2023年，星期五例8设有平面区域解oxy42第四十二页，共一百零六页，编辑于2023年，星期五解oxy选(A).43第四十三页，共一百零六页，编辑于2023年，星期五例9求二重积分解oxy区域D分别对称于x轴和y轴，44第四十四页，共一百零六页，编辑于2023年，星期五练习：P100习题10.21.45第四十五页，共一百零六页，编辑于2023年，星期五第三节极坐标系下二重积分的计算法在下述两种情况下,往往利用极坐标来计算二重积分：

1)当积分区域D为圆域、环域或扇形域等时,D的边界用极坐标表示较为简单；

2)被积函数具有等形式时,用极坐标积分较为容易.

xyoxyo46第四十六页，共一百零六页，编辑于2023年，星期五所以面积元素为一、极坐标系下二重积分的表示47第四十七页，共一百零六页，编辑于2023年，星期五区域特征如图AO二、二重积分化为极坐标下累次积分的公式48第四十八页，共一百零六页，编辑于2023年，星期五解例1在极坐标系下,xyo49第四十九页，共一百零六页，编辑于2023年，星期五例2解xyo50第五十页，共一百零六页，编辑于2023年，星期五例3解转化为极坐标，xyo51第五十一页，共一百零六页，编辑于2023年，星期五解利用对称性化简，xyo例352第五十二页，共一百零六页，编辑于2023年，星期五xyo53第五十三页，共一百零六页，编辑于2023年，星期五例4解直接做麻烦,化为极坐标,54第五十四页，共一百零六页，编辑于2023年，星期五例5解所以在极坐标系下,圆方程为直线方程为55第五十五页，共一百零六页，编辑于2023年，星期五解计算二重积分例6由区域的对称性和函数的奇偶性，可只考虑第一象限部分，xyo56第五十六页，共一百零六页，编辑于2023年，星期五解法1例7xyo57第五十七页，共一百零六页，编辑于2023年，星期五所以58第五十八页，共一百零六页，编辑于2023年，星期五xyo解法2例7用直角坐标系，先对

x积分，59第五十九页，共一百零六页，编辑于2023年，星期五所以60第六十页，共一百零六页，编辑于2023年，星期五例8解61第六十一页，共一百零六页，编辑于2023年，星期五练习：P107习题10.31.62第六十二页，共一百零六页，编辑于2023年，星期五第四节二重积分在几何和物理中的应用举例一、曲顶柱体的体积例1Oxyz解(用极坐标)63第六十三页，共一百零六页，编辑于2023年，星期五例2解平面投影区域为所求立体体积为64第六十四页，共一百零六页，编辑于2023年，星期五二、平面薄板的质量65第六十五页，共一百零六页，编辑于2023年，星期五例3解平面投影区域为该薄片的质量为66第六十六页，共一百零六页，编辑于2023年，星期五例4解由对称性用极坐标67第六十七页，共一百零六页，编辑于2023年，星期五三、平面薄板的质心68第六十八页，共一百零六页，编辑于2023年，星期五69第六十九页，共一百零六页，编辑于2023年，星期五当薄片是均匀的，重心称为形心.70第七十页，共一百零六页，编辑于2023年，星期五例5解71第七十一页，共一百零六页，编辑于2023年，星期五四、平面薄板的转动惯量72第七十二页，共一百零六页，编辑于2023年，星期五薄片对于x轴的转动惯量薄片对于y轴的转动惯量73第七十三页，共一百零六页，编辑于2023年，星期五解例6设一均匀的直角三角形薄板,两直角边长分别为a、b，求这三角形对其中任一直角边的转动惯量.设三角形的两直角边分别在x轴和y轴上，如图,对y轴的转动惯量为同理：对y轴的转动惯量为其中

为薄板的密度。74第七十四页，共一百零六页，编辑于2023年，星期五例7解75第七十五页，共一百零六页，编辑于2023年，星期五计算如下：76第七十六页，共一百零六页，编辑于2023年，星期五薄片对z轴上单位质点的引力G为引力常数.五、平面薄板对质点的引力77第七十七页，共一百零六页，编辑于2023年，星期五解由积分区域的对称性知例878第七十八页，共一百零六页，编辑于2023年，星期五练习：P115习题10.41.79第七十九页，共一百零六页，编辑于2023年，星期五ENDEND80第八十页，共一百零六页，编辑于2023年，星期五补充例题81第八十一页，共一百零六页，编辑于2023年，星期五比较下列积分的大小：与其中D:oyx(3,0)(1,0).D在区域D内，显然有故在D内解82第八十二页，共一百零六页，编辑于2023年，星期五解oxyD计算下列二重积分：83第八十三页，共一百零六页，编辑于2023年，星期五解84第八十四页，共一百零六页，编辑于2023年，星期五解xyR用极坐标计算,85第八十五页，共一百零六页，编辑于2023年，星期五xy解(用极坐标计算)对称性可简化计算：86第八十六页，共一百零六页，编辑于2023年，星期五解交换下列二次积分的次序：(1)xyo交换积分次序后,87第八十七页，共一百零六页，编辑于2023年，星期五解(2)88第八十八页，共一百零六页，编辑于2023年，星期五xyo2(1,1)解(3)89第八十九页，共一百零六页，编辑于2023年，星期五xyoaa证证明：将等式左端的二次积分改变积分次序,90第九十页，共一百零六页，编辑于2023年，星期五证交换积分次序,证明：91第九十一页，共一百零六页，编辑于2023年，星期五解92第九