第二章 拉伸压缩与剪切

第二章拉伸压缩与剪切第一页，共九十二页，编辑于2023年，星期五第二章拉伸、压缩与剪切§2.1轴向拉伸与压缩的概念和实例§2.2

轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力§2.3直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力§2.4材料拉伸时的力学性能§2.5材料压缩时的力学性能§2.7失效、安全因数和强度计算§2.8轴向拉伸或压缩时的变形§2.9轴向拉伸或压缩的应变能§2.10拉伸、压缩超静定问题§2.11温度应力和装配应力§2.12

应力集中的概念§2.13剪切和挤压的实用计算第二页，共九十二页，编辑于2023年，星期五§2.1轴向拉伸与压缩的概念和实例第三页，共九十二页，编辑于2023年，星期五§2.1轴向拉伸与压缩的概念和实例第四页，共九十二页，编辑于2023年，星期五

作用在杆件上的外力合力的作用线与杆件轴线重合，杆件变形是沿轴线方向的伸长或缩短。拉（压）杆的受力简图FF拉伸FF压缩§2.1轴向拉伸与压缩的概念和实例受力特点与变形特点：第五页，共九十二页，编辑于2023年，星期五§2.1轴向拉伸与压缩的概念和实例第六页，共九十二页，编辑于2023年，星期五§2.2轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力

1、截面法求内力FFmmFFNFFN(1)假想沿m-m横截面将杆切开(2)留下左半段或右半段(3)将弃去部分对留下部分的作用用内力代替(4)对留下部分写平衡方程求出内力即轴力的值第七页，共九十二页，编辑于2023年，星期五§2.2轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力2、轴力：截面上的内力FFmmFFNFFN由于外力的作用线与杆件的轴线重合，内力的作用线也与杆件的轴线重合。所以称为轴力。3、轴力正负号：

拉为正、压为负4、轴力图：轴力沿杆件轴线的变化第八页，共九十二页，编辑于2023年，星期五§2.2轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力已知F1=10kN；F2=20kN；F3=35kN；F4=25kN;试画出图示杆件的轴力图。11例题2.1FN1F1解：1、计算各段的轴力。F1F3F2F4ABCD2233FN3F4FN2F1F2AB段BC段CD段2、绘制轴力图。第九页，共九十二页，编辑于2023年，星期五§2.2轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力第十页，共九十二页，编辑于2023年，星期五§2.2轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力杆件的强度不仅与轴力有关，还与横截面面积有关。必须用应力来比较和判断杆件的强度。

在拉（压）杆的横截面上，与轴力FN对应的应力是正应力。根据连续性假设，横截面上到处都存在着内力。于是得静力关系：第十一页，共九十二页，编辑于2023年，星期五§2.2轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力

平面假设—变形前原为平面的横截面，变形后仍保持为平面且仍垂直于轴线。横向线ab、cd仍为直线，且仍垂直于杆轴线，只是分别平行移至a’b’、c’d’。观察变形：

第十二页，共九十二页，编辑于2023年，星期五§2.2轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力从平面假设可以判断：（1）所有纵向纤维伸长相等（2）因材料均匀，故各纤维受力相等（3）内力均匀分布，各点正应力相等，为常量

第十三页，共九十二页，编辑于2023年，星期五§2.2轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力该式为横截面上的正应力σ计算公式。正应力σ和轴力FN同号。即拉应力为正，压应力为负。圣维南原理第十四页，共九十二页，编辑于2023年，星期五圣维南原理圣维南

AdhémarJeanClaudeBarrédeSaint-Venant(1797～1886)圣维南原理（SaintVenant’sPrinciple）是弹性力学的基础性原理，是法国力学家圣维南于1855年提出的。其内容是：分布于弹性体上一小块面积（或体积）内的荷载所引起的物体中的应力，在离荷载作用区稍远的地方，基本上只同荷载的合力和合力矩有关；荷载的具体分布只影响荷载作用区附近的应力分布。还有一种等价的提法：如果作用在弹性体某一小块面积（或体积）上的荷载的合力和合力矩都等于零，则在远离荷载作用区的地方，应力就小得几乎等于零。不少学者研究过圣维南原理的正确性，结果发现，它在大部分实际问题中成立。因此，圣维南原理中“原理”二字，只是一种习惯提法。第十五页，共九十二页，编辑于2023年，星期五圣维南原理圣维南

AdhémarJeanClaudeBarrédeSaint-Venant(1797～1886)要点一、两个力系必须是按照刚体力学原则的“等效”力系；二、替换所在的表面必须小，并且替换导致在小表面附近失去精确解。意义一般对连续体而言，替换所造成显著影响的区域深度与小表面的直径有关。圣维南原理在实用上和理论上都有重要意义。在解决具体问题时，如果只关心远离就荷载处的应力，就可视计算或实验的方便，改变荷载的分布情况，不过须保持它们的合力和合力矩等于原先给定的值。圣维南原理是定性地说明弹性力学中一大批局部效应的第一个原理。第十六页，共九十二页，编辑于2023年，星期五100N1mm厚度为1mm100N50N1mm厚度为1mm50N100MPa1mm厚度为1mm100MPa50N50N圣维南原理第十七页，共九十二页，编辑于2023年，星期五1039814335100N1mm厚度为1mm100N68633-160圣维南原理第十八页，共九十二页，编辑于2023年，星期五101.799.51672985533-24450N1mm50N50N50N圣维南原理第十九页，共九十二页，编辑于2023年，星期五100MPa1mm厚度为1mm100MPa100MPa100MPa100MPa圣维南原理第二十页，共九十二页，编辑于2023年，星期五§2.2轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力第二十一页，共九十二页，编辑于2023年，星期五§2.2轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力例题2.2图示结构，试求杆件AB、CB的应力。已知F=20kN；斜杆AB为直径20mm的圆截面杆，水平杆CB为15×15的方截面杆。FABC解：1、计算各杆件的轴力。（设斜杆为1杆，水平杆为2杆）用截面法取节点B为研究对象45°12FBF45°第二十二页，共九十二页，编辑于2023年，星期五§2.2轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力2、计算各杆件的应力。FABC45°12FBF45°第二十三页，共九十二页，编辑于2023年，星期五§2.2轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力例题2.2

悬臂吊车的斜杆AB为直径d=20mm的钢杆，载荷W=15kN。当W移到A点时，求斜杆AB横截面上的应力。解：当载荷W移到A点时，斜杆AB受到拉力最大，设其值为Fmax。讨论横梁平衡0.8mABC1.9mdCA第二十四页，共九十二页，编辑于2023年，星期五§2.2轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力由三角形ABC求出斜杆AB的轴力为斜杆AB横截面上的应力为0.8mABC1.9mdCA第二十五页，共九十二页，编辑于2023年，星期五50例作图示杆件的轴力图，并求1-1、2-2、3-3截面的应力。f30f20f3550kN60kN40kN30kN1133222060+§2.2轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力第二十六页，共九十二页，编辑于2023年，星期五§2.3直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力实验表明：拉（压）杆的破坏并不总是沿横截面发生，有时却是沿斜截面发生的。

第二十七页，共九十二页，编辑于2023年，星期五例直径为d=1cm杆受拉力P=10kN的作用，试求最大剪应力，并求与横截面夹角30°的斜截面上的正应力和剪应力。§2.3直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力第二十八页，共九十二页，编辑于2023年，星期五力学性能(机械性质)：材料在外力作用下表现出的变形、破坏等方面的特性材料力学包含的两个方面理论分析实验研究测定材料的力学性能；解决某些不能全靠理论分析的问题§2.4材料拉伸时的力学性能第二十九页，共九十二页，编辑于2023年，星期五一试件和实验条件常温、静载§2.4材料拉伸时的力学性能国家标准《金属拉伸试验方法》（GB228-2002）第三十页，共九十二页，编辑于2023年，星期五§2.4材料拉伸时的力学性能第三十一页，共九十二页，编辑于2023年，星期五二低碳钢的拉伸§2.4材料拉伸时的力学性能第三十二页，共九十二页，编辑于2023年，星期五明显的四个阶段1、弹性阶段ob比例极限弹性极限2、屈服阶段bc（失去抵抗变形的能力）屈服极限3、强化阶段ce（恢复抵抗变形的能力）强度极限4、局部径缩阶段ef胡克定律E—弹性模量（GN/m2）§2.4材料拉伸时的力学性能第三十三页，共九十二页，编辑于2023年，星期五两个塑性指标:断后伸长率断面收缩率为塑性材料为脆性材料低碳钢的为塑性材料§2.4材料拉伸时的力学性能第三十四页，共九十二页，编辑于2023年，星期五三卸载定律及冷作硬化1、弹性范围内卸载、再加载2、过弹性范围卸载、再加载材料在卸载过程中应力和应变是线性关系，这就是卸载定律。材料的比例极限增高，延伸率降低，称之为冷作硬化或加工硬化。§2.4材料拉伸时的力学性能第三十五页，共九十二页，编辑于2023年，星期五注意：1.低碳钢的ss，sb都还是以相应的抗力除以试样横截面的原面积所得，实际上此时试样直径已显著缩小，因而它们是名义应力。

2.低碳钢的强度极限sb是试样拉伸时最大的名义应力，并非断裂时的应力。

3.超过屈服阶段后的应变还是以试样工作段的伸长量除以试样的原长而得，因而是名义应变(工程应变)。§2.4材料拉伸时的力学性能第三十六页，共九十二页，编辑于2023年，星期五4.伸长率是把拉断后整个工作段的均匀塑性伸长变形和颈缩部分的局部塑性伸长变形都包括在内的一个平均塑性伸长率。标准试样所以规定标距与横截面面积(或直径)之比，原因在此。

思考：

低碳钢的同一圆截面试样上，若同时画有两种标距（l=10d和l=5d），试问所得伸长率d10和d5哪一个大？

§2.4材料拉伸时的力学性能第三十七页，共九十二页，编辑于2023年，星期五四其它材料拉伸时的力学性质对于没有明显屈服阶段的塑性材料，用名义屈服极限σp0.2来表示。§2.4材料拉伸时的力学性能第三十八页，共九十二页，编辑于2023年，星期五§2.4材料拉伸时的力学性能伸长率√√×局部变形阶段√√√强化阶段×××屈服阶段√√√弹性阶段退火球墨铸铁强铝锰钢材料第三十九页，共九十二页，编辑于2023年，星期五§2.4材料拉伸时的力学性能对于脆性材料（铸铁），拉伸时的应力应变曲线为微弯的曲线，没有屈服和径缩现象，试件突然拉断。断后伸长率约为0.5%。为典型的脆性材料。

σbt—拉伸强度极限（约为140MPa）。它是衡量脆性材料（铸铁）拉伸的唯一强度指标。第四十页，共九十二页，编辑于2023年，星期五第二章

拉伸、压缩与剪切(2)第四十一页，共九十二页，编辑于2023年，星期五一试件和实验条件常温、静载§2.5材料压缩时的力学性能第四十二页，共九十二页，编辑于2023年，星期五二塑性材料（低碳钢）的压缩拉伸与压缩在屈服阶段以前完全相同。屈服极限比例极限弹性极限E---弹性摸量§2.5材料压缩时的力学性能第四十三页，共九十二页，编辑于2023年，星期五三脆性材料（铸铁）的压缩脆性材料的抗拉与抗压性质不完全相同压缩时的强度极限远大于拉伸时的强度极限§2.5材料压缩时的力学性能第四十四页，共九十二页，编辑于2023年，星期五§2.5材料压缩时的力学性能§2.5材料压缩时的力学性能第四十五页，共九十二页，编辑于2023年，星期五思考题用这三种材料制成同尺寸拉杆，请回答如下问题：哪种强度最好？哪种刚度最好？哪种塑性最好？请说明理论依据？三种材料的应力应变曲线如图，123se§2.5材料压缩时的力学性能第四十六页，共九十二页，编辑于2023年，星期五一、安全因数和许用应力工作应力极限应力塑性材料脆性材料塑性材料的许用应力脆性材料的许用应力n—安全因数—许用应力§2.7失效、安全因数和强度计算第四十七页，共九十二页，编辑于2023年，星期五二、关于安全因数的考虑（1）理论与实际差别：考虑极限应力(ss，s0.2，sb，sbc)、横截面尺寸、荷载等的变异，以及计算简图与实际结构的差异。（2）足够的安全储备：使用寿命内可能遇到意外事故或其它不利情况，也计及构件的重要性及破坏的后果。安全系数的取值：安全系数是由多种因素决定的。可从有关规范或设计手册中查到。在一般静载下，对于塑件材料通常取为1.5～2.2；对于脆性材料通常取为3.0～5.0，甚至更大。§2.7失效、安全因数和强度计算第四十八页，共九十二页，编辑于2023年，星期五三、强度条件根据强度条件，可以解决三类强度计算问题1、强度校核：2、设计截面：3、确定许可载荷：§2.7失效、安全因数和强度计算第四十九页，共九十二页，编辑于2023年，星期五例已知一圆杆受拉力P=25kN，许用应力[]=170MPa，直径d=14mm，校核此杆强度。解：①轴力：FN

=P=25kN②应力：③强度校核：④结论：此杆满足强度要求，能够正常工作。§2.7失效、安全因数和强度计算第五十页，共九十二页，编辑于2023年，星期五例图示三角架，杆AC由两根80mm80mm7mm等边角钢组成，杆AB由两根10号工字钢组成。两种型钢的材料均为Q235钢，[s]=170MPa。试求许可荷载[F]。§2.7失效、安全因数和强度计算第五十一页，共九十二页，编辑于2023年，星期五解:(拉)（压）§2.7失效、安全因数和强度计算第五十二页，共九十二页，编辑于2023年，星期五计算各杆的许可轴力由型钢表查出相应等边角钢和工字钢的横截面面积由强度条件；得各杆的许可轴力：杆AC的横截面面积：杆AB的横截面面积：先按每根杆的许可轴力求各自相应的许可荷载：故§2.7失效、安全因数和强度计算第五十三页，共九十二页，编辑于2023年，星期五例简易起重机构如图，AC为刚性梁，吊车与吊起重物总重为P，为使BD杆最轻，角应为何值？已知BD杆的许用应力为[]。xLhqPABCD§2.7失效、安全因数和强度计算第五十四页，共九十二页，编辑于2023年，星期五BD杆面积A：解：

BD杆内力FN(q)：取AC为研究对象，如图YAXAqFBDxLPABC§2.7失效、安全因数和强度计算第五十五页，共九十二页，编辑于2023年，星期五③求VBD的最小值：§2.7失效、安全因数和强度计算第五十六页，共九十二页，编辑于2023年，星期五例D=350mm，p=1MPa。螺栓[]=40MPa，求螺栓直径。每个螺栓承受轴力为总压力的1/6解：油缸盖受到的力根据强度条件即螺栓的轴力为得即螺栓的直径为§2.7失效、安全因数和强度计算第五十七页，共九十二页，编辑于2023年，星期五例题2.5

AC为50×50×5的等边角钢，AB为10号槽钢，〔σ〕=120MPa。确定许可载荷F。解：1、计算轴力（设斜杆为1杆，水平杆为2杆）用截面法取节点A为研究对象2、根据斜杆的强度，求许可载荷AFα查表得斜杆AC的面积为A1=2×4.8cm2§2.7失效、安全因数和强度计算第五十八页，共九十二页，编辑于2023年，星期五§2.7失效、安全因数和强度计算3、根据水平杆的强度，求许可载荷AFα查表得水平杆AB的面积为A2=2×12.74cm24、许可载荷第五十九页，共九十二页，编辑于2023年，星期五例图示拉杆沿mn由两部分胶合而成，杆横截面积为A=4cm²，受力P，设杆的强度由胶合面控制。胶合面的许用拉应力为[]=100MPa；许用切应力为[]=50MPa。试问:为使杆承受最大拉力，角值应为多大?（规定:在0~60度之间）。PPmna解：§2.7失效、安全因数和强度计算第六十页，共九十二页，编辑于2023年，星期五

、

的曲线如图所示，显然，B点左侧由剪应力控制杆的强度，B点右侧由正应力控制杆的强度，当a=60°时Pa6030B§2.7失效、安全因数和强度计算第六十一页，共九十二页，编辑于2023年，星期五一纵向变形二横向变形钢材的E约为200GPa，μ约为0.25—0.33EA为抗拉刚度泊松比横向应变

{§2.8轴向拉伸或压缩时的变形第六十二页，共九十二页，编辑于2023年，星期五§2.8轴向拉伸或压缩时的变形第六十三页，共九十二页，编辑于2023年，星期五对于变截面杆件（如阶梯杆），或轴力变化。则§2.8轴向拉伸或压缩时的变形第六十四页，共九十二页，编辑于2023年，星期五§2.8轴向拉伸或压缩时的变形例图示等直杆的横截面积为A、弹性模量为E，试计算D点的位移。P3P++解：第六十五页，共九十二页，编辑于2023年，星期五例写出图中B点位移与两杆变形间的关系§2.8轴向拉伸或压缩时的变形ABCL1L2B'解：变形图如图，B点位移至B'点，由图知：第六十六页，共九十二页，编辑于2023年，星期五例题2.6

AB长2m,面积为200mm2。AC面积为250mm2。E=200GPa。F=10kN。试求节点A的位移。解：1、计算轴力。（设斜杆为1杆，水平杆为2杆）取节点A为研究对象2、根据胡克定律计算杆的变形。AF300斜杆伸长水平杆缩短§2.8轴向拉伸或压缩时的变形第六十七页，共九十二页，编辑于2023年，星期五3、节点A的位移（以切代弧）§2.8轴向拉伸或压缩时的变形AF300第六十八页，共九十二页，编辑于2023年，星期五解：1）求钢索内力：以ABCD为对象2)钢索的应力和伸长分别为：800400400DCPAB60°60°PABCDTTYAXA§2.8轴向拉伸或压缩时的变形例

设横梁ABCD为刚梁，横截面面积为76.36mm²的钢索绕过无摩擦的定滑轮。设

P=20kN，试求刚索的应力和C点的垂直位移。设刚索的E=177GPa。第六十九页，共九十二页，编辑于2023年，星期五CPAB60°60°800400400DAB60°60°DB'D'C3）变形图如左图,C点的垂直位移为：§2.8轴向拉伸或压缩时的变形第七十页，共九十二页，编辑于2023年，星期五§2.9轴向拉伸或压缩的应变能在范围内,有应变能（）：固体在外力作用下，因变形而储存的能量称为应变能。1lD第七十一页，共九十二页，编辑于2023年，星期五§2.10拉伸、压缩超静定问题约束反力（轴力）可由静力平衡方程求得静定结构：第七十二页，共九十二页，编辑于2023年，星期五约束反力不能由平衡方程求得超静定结构：结构的强度和刚度均得到提高超静定度（次）数：约束反力多于独立平衡方程的数独立平衡方程数：平面任意力系：3个平衡方程平面共点力系：2个平衡方程§2.10拉伸、压缩超静定问题第七十三页，共九十二页，编辑于2023年，星期五1、列出独立的平衡方程超静定结构的求解方法：2、变形几何关系3、物理关系4、补充方程5、求解方程组，得例题2.7图示结构，1、2杆抗拉刚度为E1A1

，3杆抗拉刚度为E3A3，在外力F作用下，求三杆轴力？§2.10拉伸、压缩超静定问题第七十四页，共九十二页，编辑于2023年，星期五例题2.8在图示结构中，设横梁AB的变形可以省略，1，2两杆的横截面面积相等，材料相同。试求1，2两杆的内力。1、列出独立的平衡方程解：2、变形几何关系3、物理关系4、补充方程5、求解方程组得§2.10拉伸、压缩超静定问题第七十五页，共九十二页，编辑于2023年，星期五§2.11温度应力和装配应力一、温度应力已知：材料的线胀系数温度变化（升高）1、杆件的温度变形（伸长）2、杆端作用产生的缩短3、变形条件4、求解未知力即温度应力为第七十六页，共九十二页，编辑于2023年，星期五二、装配应力已知：加工误差为求：各杆内力。1、列平衡方程2、变形协调条件3、将物理关系代入解得因§2.11温度应力和装配应力第七十七页，共九十二页，编辑于2023年，星期五§2.12应力集中的概念常见的油孔、沟槽等均有构件尺寸突变，突变处将产生应力集中现象。即理论应力集中因数1、形状尺寸的影响：2、材料的影响：应力集中对塑性材料的影响不大；应力集中对脆性材料的影响严重，应特别注意。尺寸变化越急剧、角越尖、孔越小，应力集中的程度越严重。第七十八页，共九十二页，编辑于2023年，星期五一.剪切的实用计算§2-13剪切和挤压的实用计算铆钉连接剪床剪钢板FF第七十九页，共九十二页，编辑于2023年，星期五销轴连接§2-13剪切和挤压的实用计算剪切受力特点：作用在构件两侧面上的外力合力大小相等、方向相反且作用线很近。变形特点：位于两力之间的截面发生相对错动。第八十页，共九十二页，编辑于2023年，星期五FF§2-13剪切和挤压的实用计算FnnFFsnFnFsnnF｛｛｝｝FsFsnnFmm第八十一页，共九十二页，编辑于2023年，星期五§2-13剪切和挤压的实用计算假设切应力在剪切面（m-m截面）上是均匀分布的,得实用切应力计算公式：切应力强度条件：许用切应力，常由实验方法确定塑性材料：脆性材料：第八十二页，共九十二页，编辑于2023年，星期五二.挤压的实用计算假设应力在挤压面上是均匀分布的得