江苏省2023年中考数学《第22课时相似三角形》练习含解析考点分类汇编

第四章三角形第22课时相似三角形基础过关1.(2015东营)若eq\f(y,x)＝eq\f(3,4)，则eq\f(x＋y,x)的值为()A.1B.eq\f(4,7)C.eq\f(5,4)D.eq\f(7,4)2.(2016盐城校级月考)给出4个判断：①所有的等腰三角形都相似；②所有的等边三角形都相似；③所有的直角三角形都相似；④所有的等腰直角三角形都相似．其中判断正确的个数有()A.1个B.2个C.3个D.4个3.(2016河北)如图，△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是()第3题图4.(2016兰州)已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为eq\f(3,4)，则△ABC与△DEF对应中线的比为()A.eq\f(3,4)B.eq\f(4,3)C.eq\f(9,16)D.eq\f(16,9)5.(2016安徽)如图，△ABC中，AD是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则线段AC的长为()A.4B.4eq\r(2)C.6D.4eq\r(3)第5题图第6题图6.(2016咸宁)如图，在△ABC中，中线BE，CD相交于点O，连接DE.下列结论：①eq\f(DE,BC)＝eq\f(1,2)；②eq\f(S△DOE,S△COB)＝eq\f(1,2)；③eq\f(AD,AB)＝eq\f(OE,OB)；④eq\f(S△ODE,S△ADE)＝eq\f(1,3).其中正确的个数有()A.1个B.2个C.3个D.4个7.(2016济宁)如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG＝2，GD＝1，DF＝5，那么eq\f(BC,CE)的值等于________．第7题图第8题图8.(2016随州)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，M、N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D，使CD＝eq\f(1,3)BD，连接DM、DN、MN.若AB＝6，则DN＝________．9.(2016临沂)如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB、AC、BC上，DE∥BC，EF∥AB，若AB＝8，BD＝3，BF＝4，则FC的长为________．第9题图第10题图10.(2016盐城射阳一模)如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB＝________米．11.(2016杭州)如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED＝∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且eq\f(AD,AC)＝eq\f(DF,CG).(1)求证：△ADF∽△ACG;(2)若eq\f(AD,AC)＝eq\f(1,2)，求eq\f(AF,FG)的值．第11题图12.(2016南京一模)如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点F，点E在BD上，且eq\f(AB,AE)＝eq\f(BC,ED)＝eq\f(AC,AD).(1)∠1与∠2相等吗？为什么？(2)判断△ABE与△ACD是否相似？并说明理由．第12题图满分冲关1.(2015常德)若两个扇形满足弧长的比等于它们半径的比，则称这两个扇形相似．如图，如果扇形AOB与扇形A1O1B1是相似扇形，且半径OA∶O1A1＝k(k为不等于0的常数)．那么下面四个结论：①∠AOB＝∠A1O1B1；②△AOB∽△A1O1B1；③eq\f(AB,A1B1)＝k；④扇形AOB与扇形A1O1B1的面积之比为k2.成立的个数为()第1题图A.1个B.2个C.3个D.4个2.(2016绵阳)如图，点E，点F分别在菱形ABCD的边AB，AD上，且AE＝DF，BF交DE于点G，延长BF交CD的延长线于点H，若eq\f(AF,DF)＝2，则eq\f(HF,BG)的值为()第2题图A.eq\f(2,3)B.eq\f(7,12)C.eq\f(1,2)D.eq\f(5,12)3.(2016龙东地区)已知：在平行四边形ABCD中，点E在直线AD上，AE＝eq\f(1,3)AD，连接CE交BD于点F，则EF∶FC的值是________．4.(2016扬州二模)已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，BE⊥AC，垂足为点E，M为AB边的中点，连接ME、MD、ED.设AB＝4，∠DBE＝30°，则△EDM的面积为________．第4题图第5题图5.(2016南京一模)如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(0，1)和(eq\r(3)，0)，若在第四象限存在点C，使得△OBC和△OAB相似，则点C的坐标是________________．6.(2015武汉)如图，△ABC中，点E，P在边AB上，且AE＝BP，过点E，P作BC的平行线，分别交AC于点F，Q.记△AEF的面积为S1，四边形EFQP的面积为S2，四边形PQCB的面积为S3.(1)求证：EF＋PQ＝BC；(2)若S1＋S3＝S2，求eq\f(PE,AE)的值；(3)若S3－S1＝S2，直接写出eq\f(PE,AE)的值．第6题图

答案基础过关1.D【解析】∵eq\f(y,x)＝eq\f(3,4)，eq\f(x＋y,x)＝1＋eq\f(y,x)，∴原式＝1＋eq\f(3,4)＝eq\f(7,4).2.B【解析】∵所有的等腰三角形不一定相似，∴①不正确；∵所有的等边三角形都相似，∴②正确；∵所有的直角三角形不一定相似，∴③不正确；∵所有的等腰直角三角形都相似，∴④正确．正确的有2个．3.C【解析】根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得A和B都正确；根据有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可得D正确，C中AC＝6，不是BC＝6，∴C错误．4.A【解析】根据相似三角形的性质：相似三角形对应中线的比等于相似比，则△ABC与△DEF对应中线的比为eq\f(3,4).5.B【解析】∵∠B＝∠DAC，∠C＝∠C，∴△ABC∽△DAC.∴eq\f(BC,AC)＝eq\f(AC,DC)，即AC2＝BC·DC.∵AD是中线，BC＝8，∴DC＝eq\f(1,2)BC＝4.∴AC2＝8×4，∴AC＝4eq\r(2).6.C【解析】∵BE、CD都是中线，∴点D、点E分别是边AB、AC的中点，∴DE∥BC，DE＝eq\f(1,2)BC，∴结论①正确；∵DE∥BC，∴△DOE∽△COB，其相似比为1∶2，面积比为相似比的平方，即eq\f(S△DOE,S△COB)＝(eq\f(DE,BC))2＝eq\f(1,4)，∴结论②错误；∵△DOE∽△COB，∴eq\f(OE,OB)＝eq\f(DE,CB)＝eq\f(1,2)，由△ADE∽△ABC可知，eq\f(AD,AB)＝eq\f(DE,BC)＝eq\f(1,2)，∴eq\f(AD,AB)＝eq\f(OE,OB)，∴结论③正确；在△ABE中，点D是边AB的中点，∴△ADE和△BDE等底等高，两个三角形面积相等．在△BDE中，△ODE和△ODB共高，底边比为eq\f(OE,OB)＝eq\f(DE,CB)＝eq\f(1,2)，∴△ODE和△ODB面积比为1∶2，∴△ODE和△EDB面积比为1∶3，∴结论④正确．综上，正确的个数有3个．7.eq\f(3,5)【解析】∵AB∥CD∥EF，∴eq\f(BC,CE)＝eq\f(AD,DF)，而AD＝AG＋GD＝3，DF＝5，∴eq\f(BC,CE)的值为eq\f(3,5).8.3【解析】∵点M、N分别是线段AB、AC的中点，∴eq\f(AN,AC)＝eq\f(1,2)，又∵CD＝eq\f(1,3)BD，∴eq\f(DC,BC)＝eq\f(1,2)，在△DNC和△BAC中，两边对应成比例，且夹角都等于90°，∴△DNC∽△BAC，∴eq\f(DN,BA)＝eq\f(DC,BC)＝eq\f(1,2)，∴DN＝eq\f(1,2)AB＝3.9.2.4【解析】∵DE∥BC，EF∥AB，∴四边形BFED是平行四边形，∴EF＝BD＝3.∵EF∥AB，∴eq\f(EF,AB)＝eq\f(FC,BC)，∵BC＝BF＋FC＝4＋FC，∴eq\f(3,8)＝eq\f(FC,4＋FC)，解得FC＝2.4.10.6【解析】如解图，当王华在C处时，Rt△DCG∽Rt△DBA，即eq\f(CD,BD)＝eq\f(CG,AB)；当王华在E处时，Rt△FEH∽Rt△FBA，即eq\f(EF,BF)＝eq\f(EH,AB)＝eq\f(CG,AB)，∴eq\f(CD,BD)＝eq\f(EF,BF)，∵CG＝EH＝1.5米，CD＝1米，CE＝3米，EF＝2米，设AB＝x，BC＝y，由eq\f(CD,BD)＝eq\f(EF,BF)，得eq\f(1,y＋1)＝eq\f(2,y＋5)，即2(y＋1)＝y＋5，解得y＝3，∴BD＝BC＋CD＝4，则eq\f(1.5,x)＝eq\f(1,4)，解得x＝6米．即路灯A的高度AB＝6米．第10题解图11.(1)证明：∵∠AED＝∠B，∠DAE＝∠CAB，∴∠ADF＝∠C，又∵eq\f(AD,AC)＝eq\f(DF,CG)，∴△ADF∽△ACG；(2)解：∵△ADF∽△ACG，∴eq\f(AD,AC)＝eq\f(AF,AG)，又∵eq\f(AD,AC)＝eq\f(1,2)，∴eq\f(AF,AG)＝eq\f(1,2)，∴eq\f(AF,FG)＝1.12.解：(1)∠1与∠2相等；∵在△ABC和△AED中，eq\f(AB,AE)＝eq\f(BC,ED)＝eq\f(AC,AD)，∴△ABC∽△AED，∴∠BAC＝∠EAD，∴∠1＝∠2；(2)△ABE与△ACD相似．理由：由eq\f(AB,AE)＝eq\f(AC,AD)，得eq\f(AB,AC)＝eq\f(AE,AD)，在△ABE和△ACD中，∵eq\f(AB,AC)＝eq\f(AE,AD)，∠1＝∠2，∴△ABE∽△ACD.满分冲关1.D【解析】由扇形相似的定义可得：eq\f(\f(nπr,180),\f(n1πr1,180))＝eq\f(r,r1)，所以n＝n1，故①正确；∵∠AOB＝∠A1O1B1，OA∶O1A1＝k，∴△AOB∽△A1O1B1，故②正确；∵△AOB∽△A1O1B1，故eq\f(AB,A1B1)＝eq\f(OA,O1A1)＝k，故③正确；由扇形面积公式eq\f(nπr2,360)可得到④正确．2.B【解析】设AF＝2x，则DF＝x＝AE，BE＝2x.∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，∴△DHF∽△ABF，∴eq\f(HD,BA)＝eq\f(DF,AF)＝eq\f(HF,BF)＝eq\f(1,2)，∴BF＝2HF，HD＝eq\f(1,2)AB＝1.5x，同理△DHG∽△EBG，∴eq\f(HD,BE)＝eq\f(HG,BG)＝eq\f(DG,EG)＝eq\f(1.5x,2x)＝eq\f(3,4)，∴eq\f(DG,DE)＝eq\f(3,7)，过点E作EM∥BH，交AD于点M，如解图，则eq\f(FG,EM)＝eq\f(DG,DE)＝eq\f(3,7)，△AEM∽△ABF，则eq\f(ME,BF)＝eq\f(AE,AB)＝eq\f(1,3)，∴BF＝3ME＝7FG，则BG＝6FG，∵eq\f(HF,BF)＝eq\f(1,2)，∴HF＝3.5FG，∴eq\f(HF,BG)＝eq\f(3.5,6)＝eq\f(7,12).第2题解图3.2∶3或4∶3【解析】点E在直线AD上，分两种情况进行讨论：当点E在边AD上时，如解图①，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴△DEF∽△BCF，∴EF∶CF＝DE∶BC.又∵AE＝eq\f(1,3)AD，∴DE∶BC＝2∶3，∴EF∶CF＝2∶3；当点E在DA的延长线上时，如解图②，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.∴△DEF∽△BCF，∴EF∶CF＝DE∶BC，又∵AE＝eq\f(1,3)AD，∴DE∶BC＝4∶3，∴EF∶CF＝4∶3.综上可得EF∶FC＝2∶3或4∶3.第3题解图4.eq\r(3)【解析】在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，∴△ABE，△ADB是直角三角形，∴EM，DM分别是它们斜边上的中线，∴EM＝DM＝AM＝BM＝eq\f(1,2)AB，∴∠MAE＝∠MEA，∴∠BME＝2∠MAE，同理，∠MAD＝∠MDA，∴∠BMD＝2∠MAD，∴∠EMD＝∠BME－∠BMD＝2∠MAE－2∠MAD＝2∠DAC＝60°，∴△DEM是边长为2的等边三角形，∴S△DEM＝eq\r(3).5.(eq\r(3)，－1)或(eq\r(3)，－3)或(eq\f(\r(3),4)，－eq\f(3,4))或(eq\f(3\r(3),4)，－eq\f(3,4))【解析】∵A(0，1)，B(eq\r(3)，0)，∴OA＝1，OB＝eq\r(3)，AB＝eq\r(OA2＋OB2)＝2，∠ABO＝30°.当∠OBC＝90°时，如解图①，①若△BOC∽△OBA，则∠BOC＝∠ABO＝30°，BC＝OA＝1，OB＝eq\r(3)，∴C(eq\r(3)，－1)；②若△BCO∽△OBA，则∠BOC＝∠BAO＝60°，OB＝eq\r(3)，BC＝eq\r(3)OB＝3，∴C(eq\r(3)，－3)；当∠OCB＝90°时，如解图②，过点C作CP⊥OB于点P，①当△CBO∽△OBA时，∠OBC＝∠ABO＝30°，∴OC＝eq\f(1,2)OB＝eq\f(\r(3),2)，同理：OP＝eq\f(1,2)OC＝eq\f(\r(3),4)，∴PC＝eq\r(3)OP＝eq\f(3,4)，∴C(eq\f(\r(3),4)，－eq\f(3,4))；②当△CBO∽△OAB时，∠BOC＝∠ABO＝30°，∴BC＝eq\f(1,2)OB＝eq\f(\r(3),2)，同理：BP＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(\r(3),4)，∴PC＝eq\r(3)BP＝eq\f(3,4)，OP＝OB－BP＝eq\f(3\r(3),4)，∴C(eq\f(3\r(3),4)，－eq\f(3,4))；综上所述：点C的坐标为(eq\r(3)，－1)或(eq\r(3)，－3)或(eq\f(\r(3),4)，－eq\f(3,4))或(eq\f(3\r(3),4)，－eq\f(3,4))．第5题解图6.(1)证明：如解图①，过点Q作QN∥AB交BC于点N，∵PQ∥BC，∴四边形PQNB是平行四边形，第6题解图①∴BN＝PQ，QN＝PB＝AE，∵QN∥AB，EF∥BC，∴∠EAF＝∠NQC,∠AFE＝∠C，∴△AEF≌△QNC(AAS)，∴EF＝NC，∴CN＋BN＝EF＋PQ＝BC.【一题多解】如解图②，过点C作CD∥AB，交PQ的延长线于点D，∵BC∥PQ，∴四边形BCDP是平行四边形，∴∠DCQ＝∠A，∠CQD＝∠AQP，第6题解图②BP＝CD，PD＝BC.∵EF∥BC∥PQ，∴∠AFE＝∠AQP，∴∠CQD＝∠AFE.∵AE＝BP，∴AE＝CD，∴△CQD≌△AFE(AAS)，∴QD＝FE，∴EF＋PQ＝QD＋PQ＝DP＝BC；(2)解：∵EF∥PQ∥BC，∴△AEF∽△APQ∽△ABC，∴eq\f(S1,S1＋S2)＝eq\f(AE2,AP2)＝eq\f(AE2,（AE＋PE）2)，整理得S2＝eq\f(2AE·PE