福建省龙岩市第九中学2022-2023学年高三数学理测试题含解析

福建省龙岩市第九中学2022-2023学年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知双曲线的左、右焦点分别是Fl，F2，过F2的直线交双曲线的右支于P,Q两点，若｜PF1｜＝｜F1F2｜，且3｜PF2｜=2｜QF2｜，则该双曲线的离心率为A、B、C、2D、参考答案：A

【知识点】双曲线的简单性质．H6解析：如图，l为该双曲线的右准线，设P到右准线的距离为d；过P作PP1⊥l，QQ1⊥l，分别交l于P1，Q1；∵，3|PF2|=2|QF2|；∴，；过P作PM⊥QQ1，垂直为M，交x轴于N，则：；∴解得d=；∵根据双曲线的定义，|PF1|﹣|PF2|=2a，∴|PF2|=2c﹣2a；∴根据双曲线的第二定义，；整理成：；∴解得（舍去）；即该双曲线的离心率为．故选A．【思路点拨】先作出图形，并作出双曲线的右准线l，设P到l的距离为d，根据双曲线的第二定义即可求出Q到l的距离为．过Q作l的垂线QQ1，而过P作QQ1的垂线PM，交x轴于N，在△PMQ中有，这样即可求得d=，根据已知条件及双曲线的定义可以求出|PF2|=2c﹣2a，所以根据双曲线的第二定义即可得到，进一步可整理成，这样解关于的方程即可．2.已知、是非零向量且满足(－2)⊥，(－2)⊥，则与的夹角是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：答案：B3.在的展开式中，项的系数为

（

）A．45 B．36 C．60 D．120参考答案：B4.若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有(

) A．﹣＞0 B．﹣＜0 C．＞ D．＜参考答案：D考点：不等关系与不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用不等式的性质即可得出．解答： 解：∵c＜d＜0，∴﹣c＞﹣d＞0，∵a＞b＞0，∴﹣ac＞﹣bd，∴，∴．故选：D．点评：本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(

)

A.

B.＋6

C.＋5

D.＋5参考答案：【知识点】由三视图求几何体的表面积、体积

G1

G2

【答案解析】C解析：由几何体的三视图知该几何体的上部是底面边长为1高为1的正四棱锥，侧面三角形的高为：，下部是边长为1的正方体，∴该几何体的表面积为：，故选：C【思路点拨】由几何体的三视图知该几何体的上部是底面边长为4高为2的正四棱锥，该几何体的下部是边长为4的正方体，由此能求出该几何体的表面积6.在边长为6的正中，点满足则等于____________.

参考答案：24略7.设,,，,则（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A由于，故，，故，而，故，所以，故选A.

8.若实数x，y满足，则z=|x－y|的最大值是（

）A．0

B．1

C.

D．参考答案：B作可行域如图，则,所以直线过点A(0,1)时取最大值1，选B.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.

9.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的体积为(

)

1

参考答案：D略10.△ABC中，∠C=90°，且CA=3，点M满足=2，则的值为（）A．3 B．6 C．9 D．不确定参考答案：B【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据平面向量的线性运算与数量积运算，用、表示出，再计算?．【解答】解：如图所示，△ABC中，∠C=90°，且CA=3，点M满足=2，∴==（﹣）∴=+=+（﹣）=+，∴?=（+）?=+?=×32﹣×0=6．故选：B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为

.参考答案：12.函数是R上的减函数，则的取值范围是____。参考答案：13.对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如下表，若y与x的回归直线方程为，则m=

x0123y﹣11m8参考答案：4考点：线性回归方程．专题：计算题；概率与统计．分析：利用平均数公式计算预报中心点的坐标，根据回归直线必过样本的中心点可得答案．解答： 解：由题意，=1.5，=，∴样本中心点是坐标为（1.5，），∵回归直线必过样本中心点，y与x的回归直线方程为，∴=3×1.5﹣1.5，∴m=4故答案为：4．点评：本题考查了线性回归直线的性质，回归直线必过样本的中心点．14.某篮球学校的甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个．命中个数的茎叶图如下．则罚球命中率较高的是

．参考答案：甲略15.设,关于的方程的四个实根构成以为公比的等比数列,若,则的取值范围是

.参考答案：16.若（R，i为虚数单位），则ab=

参考答案：略17.已知定义在R上的函数满足：①函数的图像关于点(－1,0)对称；②对任意的，都有成立；③当时，，则

.参考答案：-2三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，它的一个顶点恰好是抛物线x2=4y的焦点．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）直线x=2与椭圆交于P，Q两点，P点位于第一象限，A，B是椭圆上位于直线x=2两侧的动点．（i）若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；（ii）当点A，B运动时，满足∠APQ=∠BPQ，问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．参考答案：考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（I）设椭圆C的方程为+=1（a＞b＞0），由条件利用椭圆的性质求得b和a的值，可得椭圆C的方程．（Ⅱ）（i）设AB的方程为y=x+t，代入椭圆C的方程化简，由△＞0，求得t的范围，再利用利用韦达定理可得x1+x2以及x1+x2的值．再求得P、Q的坐标，根据四边形APBQ的面积S=S△APQ+S△BPQ=?PQ?|x1﹣x2|，计算求得结果．（ii）当∠APQ=∠BPQ时，PA、PB的斜率之和等于零，PA的方程为y﹣1=k（x﹣2），把它代入椭圆C的方程化简求得x2+2=．再把直线PB的方程椭圆C的方程化简求得x2+2的值，可得x1+x2以及x1﹣x2的值，从而求得AB的斜率K的值．解答：解：设椭圆C的方程为+=1（a＞b＞0），由题意可得它的一个顶点恰好是抛物线x2=4y的焦点（0，），∴b=．再根据离心率===，求得a=2，∴椭圆C的方程为+=1．（Ⅱ）（i）设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的方程为y=x+t，代入椭圆C的方程化简可得x2+2tx+2t2﹣4=0，由△=4t2﹣4（2t2﹣4）＞0，求得﹣2＜t＜2．利用韦达定理可得x1+x2=﹣2t，x1+x2=2t2﹣4．在+=1中，令x=2求得P（2，1），Q（2，﹣1），∴四边形APBQ的面积S=S△APQ+S△BPQ=?PQ?|x1﹣x2|=×2×|x1﹣x2|=|x1﹣x2|===，故当t=0时，四边形APBQ的面积S取得最小值为4．（ii）当∠APQ=∠BPQ时，PA、PB的斜率之和等于零，设PA的斜率为k，则PB的斜率为﹣k，PA的方程为y﹣1=k（x﹣2），把它代入椭圆C的方程化简可得（1+4k2）x2+8k（1﹣2k）x+4（1﹣2k）2﹣8=0，∴x2+2=．同理可得直线PB的方程为y﹣1=﹣k（x﹣2），x2+2=，∴x1+x2=，x1﹣x2=，∴AB的斜率K======．点评：本题主要考查求圆锥曲线的标准方程，圆锥曲线的定义、性质的应用，直线和圆锥曲线相交的性质，直线的斜率公式、韦达定理的应用，属于难题．19.（本小题满分12分）已知函数（1）设.①若函数在处的切线过点(1,0)，求m+n的值；②当时，若函数在(－1,+∞)上没有零点，求m的取值范围.（2）设函数，且，求证：当时，．参考答案：（1）①由题设知：，得，即．…………3分②由题设知：是增函数，且；（ⅰ）当即时，恒有知是增函数，此时只需即，得.

…………5分（ⅱ）当即时，有知：时，递减，时有，递增；由知此时需即，得.………………7分由上述知：………8分（2）由题设知：，得“时”等价“时”设，当时有，即在时为减函数.得，即．也即，故命题得证明.

…………12分

20.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．（1）求角C的大小；（2）若△ABC的外接圆直径为1，求a2+b2的取值范围．参考答案：【考点】余弦定理；三角函数中的恒等变换应用．【专题】解三角形．【分析】（1）在△ABC中，由条件利用同角三角函数的基本关系以及两角和差的正弦公式化简可得sin（C﹣A）=sin（B﹣C）．故有C﹣A=B﹣C，或者C﹣A=π﹣（B﹣C）（不成立，舍去），即2C=A+B，由此求得C的值．（2）由于C=，设A=+α，B=﹣α，﹣＜α＜，由正弦定理可得a2+b2=sin2A+sin2B=1+cos2α．由﹣＜2α＜，根据余弦函数的定义域和值域求得a2+b2的取值范围．【解答】解：（1）在△ABC中，∵，∴=，化简可得sinCcosA﹣cosCsinA=sinBcosC﹣cosBsinC，即sin（C﹣A）=sin（B﹣C）．∴C﹣A=B﹣C，或者C﹣A=π﹣（B﹣C）（不成立，舍去），即2C=A+B，∴C=．（2）由于C=，设A=+α，B=﹣α，﹣＜α＜，由正弦定理可得a=2rsinA=sinA，b=2rsinB=sinB，∴a2+b2=sin2A+sin2B=+=1﹣[cos（+2α）+cos（﹣2α）]=1+cos2α．由﹣＜2α＜，可得﹣＜cos2α≤1，∴＜1+cos2α≤，即a2+b2的取值范围为（，]．【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，同角三角函数的基本关系、余弦定理、余弦函数的定义域和值域、两角和差的正弦公式，属于中档题．21.设函数（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）证明：参考答案：解：（1）记，则，，所以在内单调递减，又，所以，即。（2），记，则，所以存在，使得，又在内单调递增，所以在递减，在递增，又，所以，又由（1）可知当时，综上所述：22.已知数列{an}中，a1=2，，数列{bn}中，，其中n∈N*；（1）求证：数列{bn}是等差数列；（2）若Sn是数列{bn}的前n项和，求的值．参考答案：【考点】数列