2023届甘肃省陇南、临夏、甘南三地高三上学期期中联考数学（理）试题（解析版）

2023届甘肃省陇南、临夏、甘南三地高三上学期期中联考数学（理）

试题

一、单选题

1.集合A={xWN|—l<x<4}的真子集个数为（）

A.7B.8

C.15D.16

【答案】C

【详解】A={0』,2,3}中有4个元素，则真子集个数为24—1=15.选C

2.设直线/的方向向量是£,平面a的法向量是九则“2,小'是''〃/a”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】根据线面平行的位置关系及直线的方向向量、平面的法向量定义再结合充分必要条件的定

义判断即可.

【详解】由〃/a,得:则“2_1五”是“〃/a”的必要条件,

而£_L5不一定有〃/a,也可能/ua,贝不是“〃/a”的充分条件.

故选：B.

3.命题“VxeR,凶―x+1#0”的否定是

A.玉eR,|x|-x+l*0B.VxeR,凶一%+1=0

C.HxeR,N—x+l=0D.VxgR,|x|-x+l*0

【答案】C

【解析】全称命题的否定是特称命题，进而得到答案

【详解】由题,“也€乩国一尢+1X（）”的否定是小€1i,凶一X+1=（）,

故选:C

【点睛】本题考查全称命题的否定，属于基础题

1

4.函数y=的定义域为（)

yjx2-4

A.(-<»,2)B.(2,+(»)

C.（—oo,-+8）D.—2）VJ（2,+<»）

【答案】D

【分析】依题意，直接写不等式f-4>0,即可求得定义域.

【详解】依题意，丁-4>0,解得x<—2或x>2,

•••函数的定义域为（e,-2）u（2,+8）.

故选：D.

5.在等差数列｛。〃｝中，若S”为其前〃项和，4=5,则S”的值是（）

A.60B.11C.50D.55

【答案】D

【解析】根据题中条件，由等差数列的性质，以及等差数列的求和公式，即可求出结果.

【详解】因为在等差数列｛%｝中，若S"为其前”项和，4=5,

所以S”="（%；""）=114=55.

故选：D.

6.点P（4,-2）与圆/+丁=4上任意一点连线的中点的轨迹方程是（）

A.(x-2)2+(y+l)2=lB.*—2)2+(,+1)2=4

C.(x+2)2+(y-l)2=1D.(x+4)2+(y-l)2=4

【答案】A

x=2x-4,

【分析】设圆上任意一点为（与x）,中点为（x，y）,由中点坐标公式可求得12y+2,代入圆的

方程即可求得轨迹方程.

【详解】设圆上任意一点为（修X）,中点为（X，）0>

X+4

x=----芭=2x-4

则。，可得

乂=2y+2.

）一2

代入f+/=4得(2x-4)2+(2y+2『=4,

化简得(x-2)2+(y+l)2=l.

故选：A.

7.已知△ABC的三个顶点坐标分别为4（2,6）、8（—4,3）、C（2,—3）,则点A到8c边的距离为（）

9972-2石046

AA.-BR.------C,-----D.4、/3

225”

【答案】B

【详解】BC边所在直线的方程为与。=岩，即x+y+l=0；则Jxl+襄1+:=乎.

—3—32+4。22

8.已知，过4(1,1)、8(1,-3)两点的直线与过C(一3,〃?)、。(〃,2)两点的直线互相垂直，则点(加，

〃)有()

A.1个B.2个C.3个D.无数个

【答案】D

2—in

【详解】•由条件知过A(l,l),8(1,—3)两点的直线的斜率不存在，而AB_LC£>,...kC£>=0,即--

n+3

=0,得m=2,畤一3、.•.点(加，")有无数个.

9.直线(a-l)x—(2a—l)y+l=0恒过一定点，则此定点为()

A.(-2,1)B,(0,1)C.(1,2)D.(2,1)

【答案】D

【解析】法一：利用分离参数法；法二：令参数。=1,得到一条直线，令。=0,得到另一条直线，

解出两条直线的交点，再代入原方程验证即可.

【详解】解：法一：直线可变形为：«(x-2y)-(x-y-l)=0,若该方程对任意“都成立，

2=。,即x=2

则,,直线恒过点(2,1),

x-y-\=0y=i

故选：D.

法二:在方程(a-l)x-(2"-l)y+l=0中，令。=1得:-y+l=0,即y=l,

令4=0得：-x+y+l=0,将y=l代入-x+y+l=0得x=2,

fx=2

将1代入(a_l)%_(2a_l)y+l=0,得.(a-DxZ-Qa-D+l=0恒成立，

1>=1

直线恒过点(2,1),

故选：D.

10.如图所示，ABCC-A4GA是棱长为6的正方体，E、尸分别是棱43、BC上的动点，且隹=8F.

当A、E、F、G共面时，平面AQE与平面F所成锐二面角的余弦值为()

C.日2瓜

D.

【答案】B

【解析】以点。为原点建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求二面角的余弦.

【详解】以点。为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则4(6,0,6)、D(0,0,0),G(0,6,6),

A、E、F、C1共面,

设平面AQE的法向量为瓦=(不y,4),瓯=(6,0,6),。左=(6,3,0),

n.-DA.-6x.+6z.=0一

则｛——，取玉=1,解得“=(1,-2，—1),

勺-DE=6%+3%=0

设平面尸的法向量为后=(毛，y2,z2),西=(0,6,6),而=(3,6,0),

n)•DC.=6必+6z=0八一

则｛，一■0，取X,=2,解得小=(2,-1,1),

n2-DF=3X2+6y2=0

设平面\DE与平面CQF所成锐二面角为3,

3_1

则cos3=cos(〃[,〃2

丽一V6-V6-2

平面AOE与平面GDF所成锐二面角的余弦值为

故选：B.

11.若偶函数f(x)在(-8,-1］上是增函数，则()

A.B../-(2)</［-|］</(-!)

C./(2)</(-l)</^-|^jD.

【答案】B

【分析】根据/(X)在(—8,—1］上是增函数，且可得/(—2),/(一2，”T)的大小

关系，再根据偶函数的性质可得7(2),/卜£|，/(T)的大小关系.

【详解】因为/(x)在(-8,7］上是增函数，且

所以

又为偶函数，所以〃-2)=/(2),

故选：B.

12.已知尸是双曲线C：f-£=l的右焦点，P是C上一点，且P尸与x轴垂直，点A的坐标是(1,

3

3),则AAP尸的面积为

A.-B.-

32

C.-D.-

32

【答案】D

【详解】由。2=/+〃=4得。=2,所以尸(2,0),将*=2代入V-f=1,得丫=土3,所以|「尸|=3,

13

又点A的坐标是(1,3),故AAPF的面积为、x3x(2-l)=、，选D.

点睛:本题考查圆锥曲线中双曲线的简单运算，属容易题.由双曲线方程得尸(2,0),结合

PF与x轴垂直，可得|P用=3,最后由点A的坐标是(1,3),计算△转尸的面积.

二、填空题

13.已知〃x+D的定义域为［-2,3),则/(x-2)的定义域是.

【答案】［1,6)

【解析】由xC［23),得x+lC［-l,4),进而得到内(x)的定义域为［7,4),由-1夕-2幺，解出

尤的范围即可.

【详解】由xd[-2,3),得X+1G[-1,4),

：.y=f(x)的定义域为

：.y=f(.x-2)应满足-lSx-2<4,解得l<x<6,

故)可'(x-2)的定义域为[1,6).

故答案为：U，6)

14.已知{-2,-1,0,1,2,3},若>[一£|'贝九〃='

【答案】一1或2

【分析】由题可得)，=》"在(7,0)上为减函数，由暴函数的性质即可得解.

一；<-'，且

【详解】

23

.•.y=X"在(7,0)上为减函数，

又“e{-2,-1,0,1,2,3},；.〃=—1或“=2.

故答案为：一1或2.

【点睛】本题考查了募函数性质的应用，考查了转化化归思想，属于基础题.

15.设S,,是数列{%}的前"项和，若S〃=(-l)"4,+!，贝”1+62+…+品=.

【解析】令〃=1计算得出4=；,然后推导出当"为偶数时，5„=0,当"为奇数时，S“=击，利

用等比数列的求和公式可求得E+S2+…+Sg的值.

【详解】当”=1时，q=S[=-q+g,解得q=；；

当〃22时，S.=(-1)Z+£=(-I)'，(S“-S“T)+£.

当”为偶数时，可得5“=S,-S“T+£，贝

1121

当〃(〃N3)为奇数时，可得5〃=-5.+5〃7+吩，则S“T=2S〃—牙=百一手=0・

Ui」]

1111172(45J341

=

因此，SI+52+---+S9=齐+0+彳+0+环+0+呼+0+/=jW2A'

1-4

341

故答案为:

1024

【点睛】方法点睛：本题考查已知S“与％的关系求和，常用的数列求和方法如下:

(1)对于等差等比数列，利用公式法直接求和；

(2)对于｛。也,｝型数列，其中｛%｝是等差数列，论,｝是等比数列，利用错位相减法求和；

(3)对于｛%+2｝型数列，利用分组求和法；

(4)对于・『一｝型数列，其中｛%｝是公差为d("wO)的等差数列，利用裂项相消法求和.

4

16.已知直线//经过点A(0,—1)和点8(一)，1),直线〃经过点ML1)和点M0，—2),若//与&

没有公共点，则实数。的值为.

【答案】-6

【分析】分别根据斜率公式求出两条直线的斜率，再根据两直线平行，斜率相等即可求

出a的值.

【详解】直线12经过点M(1,1)和点N(0,-2),

•••直线11经过点A(0,-1)和点B(-24l),

a

2

•i—a

,•%、=4=-

----2

a

•••11与12没有公共点，则

-y=3,解得a=-6,

故答案为-6.

【点睛】本题考查了两直线平行的条件，斜率公式，属于基础题.

三、解答题

17.已知函数/(》)=丁+2or+3,xe[-4,6].

⑴当a=-2时，求的最值；

⑵若.“X)在区间[T,6]上是单调函数，求实数”的取值范围.

【答案】〃x)g=35.

(2)(—6]U[4,-K»)

【分析】(1)利用二次函数的性质求.“X)的最值即可.

(2)由区间单调性，结合二次函数的性质：只需保证已知区间在对称轴的一侧，即可求。的取值范

围.

【详解】(1)当下=-2时，/(X)=X，-4X+3=(X-2)2-1,

〃x)在［T2］上单凋递减，在［2,6］上单调递增，

“(%,=〃2)=-1，/(XL=〃T)=(Y)2-4X(T)+3=35.

(2)/(x)=x2+2or+3=(x+4)2+3-/,

・•・要使在［<6］上为单调函数，只需-或-心6,解得让4或aKf.

・•・实数a的取值范围为(Y),~6］U［4,+OO).

⑻已知函数小)="_2-o-

(1)求不等式〃x)>5的解集；

2

(2)若方程/(x)-券=0有三个不同实数根，求实数机的取值范围.

【答案】⑴(-1,0］"3,”)

⑵(-2,-匈1)(四,2)

【分析】⑴当x4O时,不等式〃力>5化为x+6>5；当x>0时,不等式〃x)>5化为/-2x+2>5;

求并集即可；

->2

(2)画出y=/(x)的图象，方程“力-m=0有三个不同实数根等价于y=f(x)与>=会有三个

不同的交点，解不等式即可求解.

【详解】(1)当xSO时，由x+6>5得x>—1,.*.-1<x<0,

当x>0时，由f-2x+2>5得x<T或无>3,/.x>3,

综上所述，不等式的解集为(-1叫=(3,的)；

(2)方程/(x)-g=O有三个不同实数根，等价于函数y=.f(x)与函数y=1的图象有三个不同

的交点，函数y=f(x)的图象:

由图可知：1<胃-<2,得：一2<小<->/2或41<m<2

所以，实数加的取值范围卜2,-@U(友,2).

19.已知数列｛《,｝的前”项和S”与通项/满足S“=g-g%.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)设/(幻=.工，2=/(6)+/(g)+…+〃4,)，北=:+：+'"+!，求n。I”

°\%°n

【答案】⑴/亍1⑵-2品019.

【分析】(1)先由题中条件，求4=；；再由4,=S“一5"T，根据题中条件，得到巴=>山判定数

列为等比数列，进而可求出其通项公式：

(2)由(1),根据题中条件，得到/(/)=-〃，求出〃=一殁辿，再由裂项相消的方法，即可求

出数列的和.

【详解】(1)当〃=1时，q=；.

当〃22时,a“=S,—S,,T,又S,=H，.•.4=£T，

即数列为是首项为:，公比为;的等比数列，故见=最.

⑵由已知得了⑷=嘀卜f，

•■•^=/(«i)+/(«2)+•••+/(«„)=-1-2-3----〃=,

2019+1--1010,

【点睛】本题主要考查山递推公式求等比数列的通项公式，考查裂项相消法求数列的和，属于常考

题型.

20.如图所示，在三棱柱ABC-A8G中，底面“RC为正三角形，A在底面"WC上的射影是棱8c

的中点。，OE_LA4,于E点.

（1）证明OEL平面BBGC；

（2）若例=百求AC与平面AAAB所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）士㈢.

【解析】（1）连接A。，可得AO1BC,利用线面垂直的判定定理可得3cl平面AOA,进而可得

BCYEO,再证出由线面垂直的判定定理即可证明.

（2）以OA、OB、。4为坐标轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，根据

sin®=gsG，|,利用空间向量的数量积即可求解.

【详解】（1）证明：连接AO,；"18c为正三角形，。为3c中点，A016C,

•/A,01BC,A,OnAO=O,.•.SCI平面AOA,ABCYEO,

又OE_LA4,，AA〃用8,/.OEA.B.B,又B、BCBC=B,

：.06_1_平面886（7；

(2)解：由(1)可知，A.O1BC,A}01OA,OA±BC,

故分别以OA、0B、。4为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系,

设AB=2,则偿=26，0A=退，0A,=3,A(石,0,0),

贝lj4启=(-E1,0),例'=(一百,0,3),AC=(-j3,-1,0),

设平面的法向量为〃=(x,y,z),

,[n-A8=0f->/3x+y=0

则｛一即〈厂,，

=0[-V3x+3z=0

设x=VL则了=3、z=l,则5=(63,1),

设AC与平面田所成角为6,

则sin0=|cos<TUAC>|=|(63,1)£"-1,0)=女叵，

V13x213

AC与平面44用8所成角的正弦值为主叵.

13

【点睛】思路点睛：

解决线面角相关问题通常用向量法，具体步骤为：

(1)建坐标系，建立坐标系的原则是尽可能的使得已知点在坐标轴上或在坐标平面内;

(2)根据题意写出点的坐标以及向量的坐标，注意坐标不能出错.

(3)利用数量积验证垂直或求平面的法向量.

(4)利用法向量求距离、线面角或二面角.

21.已知直线1经过直线2x+y—5=0与X—2y=0的交点.

⑴点A(5,0)到1的距离为3,求1的方程;

⑵求点A(5,0)到1的距离的最大值.

【答案】(1)x=2,4x-3y-5=0⑵回

【详解】解：(1)经过两已知直线交点的直线系方程为(2x+y—5)+Mx-2y)=0,

即(2+入)x+(l—2Qy—5=0.

|10+52-5|

"^(2+/1)2+(1-22)2T

即2九2—5入+2=0,

...九=2或;.

/.I的方程为x=2或4x-3y-5=0.

2x4-y-5=0

⑵