2023届湖南省部分校高三上学期9月月考数学试题（解析版）

2023届湖南省部分校高三上学期9月月考数学试题

一、单选题

1.已知集合人={乂x2—7x—840},8={x|x=2",〃wN},则()

A.{1,2}B.{2,4}C.{2,4,8}D.{1,2,4,8}

【答案】D

【分析】利用一元二次不等式解法求出集合A,列举法写出集合B,从而确定

【详解】因为A={x|—lMxM8},B={l,2,4,8「.},所以AcB={l,2,4,8}.

故选：D.

2.已知点〃在函数的图象上，且在第二象限内，若“X)的图象在

点”处的切线斜率为1,则点M的坐标为()

A.(-3,6)B.(-3,12)C.D.(-2,13)

【答案】A

【分析】求出导函数/'(x),设/(X。,%),由广(％)=1求得%(注意M点在第二象限)

即可得.

【详解】设点因为〃力=卜3-8x-9,所以f'a)=x2-8^*-8=l,为＜0,

得无。=-3,又〃—3)=6,所以点M的坐标为(一3,6).

故选：A.

3.生物学家为了了解抗生素对生态环境的影响，常通过检测水中生物体内抗生素的残

留量来进行判断.已知水中某生物体内抗生素的残留量y(单位：mg)与时间r(单位:

年)近似满足关系式尸41-3一”),/1=0,其中2为抗生素的残留系数，当/=8时，

Q

y=-A,则4=()

A.IB.-C.|D.-

2334

【答案】D

【分析】根据题意得加=碎-3力，从而可求出九

【详解】因为豺=2(1-3力，

所以3-忒=2=3-2,解得=

94

故选：D

4.如图，某校数学建模社团对该校旗杆的高度进行测量，该社团的同学在A处测得该

校旗杆顶部尸的仰角为a,再向旗杆底部方向前进15米到达B处，此时测得该校旗杆

顶部P的仰角为夕.若tana=g,tan夕=；,则该校旗杆的高度为（）

A.14米B.15米C.16米D.17米

【答案】B

【分析】利用直角三角形中的边角关系列式求解旗杆高度即可.

【详解】解：如图

由题可知：43=15（米），

PO1

则在RtZ\PO8中，tan；0=—=-@,

“A八aPOPO1不

在RtZSPOA中，tana=—=——=-（2）,

AO15+803

联立①②解得：80=30（米），PO=15（米）.

即该校旗杆的高度为15米.

故选：B.

1+sina+cosa

5.已知曲线y=46在点（1,4）处的切线的倾斜角为则（）

）Iv乙1（X।I

万.

A.—B.2&C.-D.1

22

【答案】C

n

【分析】利用导数的几何意义确定切线斜率，则可得tan]=2,再利用和差公式与二倍

a

角公式以及同角三角函数关系切化弦化简所求式子，得到含tan羡的式子，即可得结果.

2

【详解】解：因为y=44，则了=耳

则曲线），=44在点（1,4）处的切线的斜率为左=y'L=2,又倾斜角为最

a

所以ta吟=2

1+sina+cosa_1+sina+cosa_l+sina+cosa

则1一岳山+j-一—

c2ac.aa、、a

2cos~—+2sin—cos—1+tan—,

=222=2=1

c—a0.aa2aa2,

2sm~—4-2sin--cos—tarr—+tan—

22222

故选：C.

\3a-2）x-4a,x<1

6.已知函数/*）=log|X,xNl的值域为A，则实数。的取值范围是（）

.2

A•/2，|）B,[-|（2]W）D.（0,|）

【答案】A

【分析】通过函数解析式分析每个分段的值域，因为f（x）=l°g/,xNl值域为（9,0],

2

所以〃x）=（3a-2）x-4a,x<l的值域应包含（0,+8）,所以判断出函数的单调性和

/⑴的正负，从而求出实数”的取值范围

【详解】当xNl时，"x）=log/,其值域为（7,0],

2

当x<l时，〃x）=（3a—2卜一4。的值域应包含（0,+8）,所以/（x）为减函数，

所以3a-2<0,iL（3a-2）xl-4«<0,解得-24a<（.

故选：A

7.某干燥塔的底面是半径为1的圆面0,圆面有一个内接正方形ABCD框架，在圆。的

劣弧8c上有一点P,现在从点P出发，安装PAP反尸C三根热管，则三根热管的长度

和的最大值为（）

A.4B.C.36D.2瓜

【答案】B

【分析】设=,利用辅助角公式表达出

4

|P4|+|P3|+|PC|=2j?sin(e+9),从而求出三根热管的长度和的最大值.

TTTT

【详解】如图，连接82OP,设/出。=仇。£0,-,则N8OP=NR4P=；—。，

_4J4

可得：

|PA|+|PB|+|PC|=2cosd+sin(；—夕)+sin。=(2+V^cos夕+(2—0卜in°=2Gsin(g+°)

，其中tan*=3+2亚,所以(|PA|+|P5|+|PC|)3=2后，

山e的范围可以取到最大值.

故选：B

8.已知“>0,函数〃x)=£)在［1,一)上的最大值为：，则〃=()

„3314331

A.2或=B.J或77C.2D.—

loz16/

【答案】C

【分析】换元令r=x+l(r..2),问题转化为g⑺=/+--2&.2)的最小值为j利用

导数确定单调性，分类讨论确定最小值求得参数值.

X+lt11

【详解】令r=x+l(f..2),则d+a-r-Zf+i+a-’+H£—z，函数/(力=7^在

t

［1,y)上的最大值为|且/«>0,即转化为g(r)=r+--2(r..2)的最小值为［.

1IZ

g'(r)=l-上色—(|+“),g'(f)=0nf=Jl+a(负值舍去)，

rt

时m即0va<3时，g⑺在⑵+8)上单调递增，gWmm=g(2)=詈=g,解得

a=2；

当Jl+a>2,即。>3时，2W/<Jl+」时,，⑺<0,g0)递减，f>J1+〃时,g'Q)>。，

gQ)递增，g(t\nin=g(=2x/i7^-2=|,解得a=t<3,舍去.故4=2

故选：C.

9.已知函数f(x)=2sin2(2x+卷+2>/3sinf2x4-sinhx-^-l,贝IJ下歹!］结论错误

的是()

A./(x)的最小正周期是兀B.75)的图象关于原点对称

71元

C•/⑺在上单调递增D./(')的图象关于直线,对称

【答案】C

【分析】利用三角恒等变换化简函数可得/(x)=-2sin(4x+^j,再根据正弦函数的性

质及平移变换的特征逐一分析，即可得出答案.

【详解】解：/(x)=2sin22%+-^-+2x/3sin2x+^-sin2x--^-1

=-cos^4x+^j+2\/3sin^2x+^|-jsin^2x+

=-cos^4x4-^-2>/3sin^2x+^^cos^2x+^|-^

=->/3sinf-cosf4x+=-2sin^4x4-+=-2sin(4x+]

27rTi

对于A,7=7=5,故A错误;

对于B,因为/(0)=-2sinq=-6,所以(0,-6)不是/(x)图象的一B个对称中心，故B错

误;

对于C,/(X)在R上的增区间满足］7T+2E44x+；7T《羊37r+2E«eZ,解得增区间为:

nkn7nkit7171_7ikit7兀krc.r-rJ>*—***_—.

—十—,一+—MeZ,又区间是—+y，—+y，%eZ的一个子集，所以

24224224,4

7T7T

/⑺在五7上是单调递增,故c正确:

对于D,因为吟-sinA不是函数/⑴的最值，所以式不是g)图象的一条对

称轴，故D错误.

故选：C.

二、多选题

10.若{1,3}U8G{1,3,5,7},则3可能为()

A.{1,3}B.{1,3,5}C.{1,3,7)D.{1,3,5,7)

【答案】BCD

【分析】根据子集概念即可得到结果.

【详解】V{1,3}UBe{1,3,5,71,

••.B可能为{1,3,5},{1,3,7},{1,3,5,7),

故选：BCD

11.已知函数/(x)=cos。万x(o>0),将/(x)的图象向右平移，-个单位长度后得到函数

g(x)的图象，点A,B,C是f(x)与g(x)图象的连续相邻的三个交点，若AA5C是锐角

三角形，则。的值可能为()

A.-B.-C.D.石

343

【答案】AD

【分析】先由平移变换得到g(x)=cos可x-否

再同一坐标系中

作出了(X)和g(x)的图象，求得两图象的相邻交点A,B,C的纵坐标，根据AABC是锐

角三角形求解.

【详解】解：/(x)=cosdwx(/>0)向右平移，-个单位长度后得到,

3(0

函数g(x)=cos3；r(x-=COS(G;TX-,

如图所示：

3。门“网防>—71|2侬。力+在sin-

由

322

得COSCD7UX=5/3sinCOTUX，解得COSCD71X=±—，

2

贝5=%=3，%=_彳

又3。=2|%|=百，且△ABC是锐角三角形,

所以血皿=器=华>1,

则@>@,

3

故选：AD

12.已知函数/(x)=e*+e-*—cos2x,若/(5)>/仇)，则()

A./(x)为偶函数B.在(-3,0)上为增函数

C.D.e*E>l

【答案】AC

【分析】对A,根据偶函数的定义判断即可；对B,求导分析函数的单调性即可；对C,

根据函数的单调性与奇偶性判断即可；对D,根据±-±>0不一定成立判断即可.

【详解】对A,因为/(-x)=eT+e*-cos(-2x)=eX+e-*—cos2x=/(x),所以,f(x)为

偶函数，故A正确；

对B,=e*-e-'+2sin2x,当时，ex-e'vJ®,2sin2x0,所以/'(x)..0,

当x…5时,ev-e-AJ&2-e_5>e-e-1>2,2sin2x-2,所以/'(x)〉。，所以/(x)在

[0,+8)上单调递增，因为/(x)为偶函数，所以“X)在(-0。)上为减函数，故B错误;

因为/(芯)>/伍)，所以/(|引)>/(闾)，又因为“X)在[0,+巧上递增，所以国>同,

即X；>4,故C正确；

显然占-9>0不一定成立，则e"&>1不成立，故D错误.

故选：AC

三、填空题

13.集合{乂-1<、<3且xeN}的所有非空真子集的个数为.

【答案】6

【分析】首先求集合的元素个数，再根据公式求解.

【详解】因为{xl-l<x<3且xeN}={0』,2},所以该集合的所有非空真子集的个数为

23-2=6.

故答案为：6

14.已知/?:HrwR,ar2+2x+l<0,q:aw(l,+co),则T7是4的条件.(在充

分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要中选一个正确的填入)

【答案】必要不充分

【分析】首先根据题意得到力：。21,从而得到。，内)到,内)，即可得到答案.

【详解】：VxeR,ax2+2x+l>0,

当。=0时，2x+l>0,解集不是R,舍去，

当QHO时，△ud-daWO,解得。之1.

综上：-ip.a>\.

因为(1,+8)§[1,yo),所以即是q的必要不充分条件.

故答案为：必要不充分

15.在平面直角坐标系xOy中，将向量砺=(石,-1)绕原点。按顺时针方向旋转5后得

6

到向量0B=(〃?,"),则m+n2=.

【答案】4

【分析】求出方的模及对应的角，即可得旋转后的角，进而算出坐标.

【详解】设以x轴正半轴为始边，OA为终边对应的角为。(0„a

根据题意得|函1=2,cosa吟，sina=-p则6(=等，

向量次绕原点。按顺时针方向旋转2后，

O

117C兀1In7t

=2cos=1,n=2sin=-6,从而机+“2=4.

m-6__6-6__6

故答案为：4

x2-4x-l,x>0,

16.已知函数/(x)=<若方程[/(x)]2-2c/(x)+4=0有5个不同的实数

2r-2,x<0,

解，则实数。的取值范围为.

【答案】<a<-2

【分析】令则/一2必+4=0在(-5,-2),(-2,-1)上各有一个实数解或

「一24+4=0的一个解为-1,另一个解在(-2,-1)内，或/一2必+4=0的一个解为一2,

另一个解在(-2,-1)内.

【详解】函数八幻的大致图象如图所示，

y

对于方程"(x)『-2af(x)+4=0有5个不同的实数解，令，=fM,

则J-2af+4=0在(-5,-2),(-2,-1)上各有一个实数解或「一2,”+4=0的一个解为T，

另一个解在(-2,-1)内，或广一2小+4=0的一个解为-2,另一个解在(-2,-1)内，

当产―2G+4=0在(-5,-2),(-2,-1)上各有一个实数解时，

♦=4/-16>0,

g(-2)=8+4a<0,5

设g(r)=*-2af+4,则，',(一n解得

g(-l)=5+2a>0,2

g(-5)=29+10a>0,

当『一为f+4=0的一个解为-1时，a=-1.

此时方程的另一个解为-4,不在(-2,-1)内，不满足题意,

当产-2m+4=0的一个解为一2时，。=一2,

此时方程的另一个解为-2,不在(-2,-1)内，不满足题意,

综上可知，实数。的取值范围为

故答案为：

四、解答题

17.AABC的内角A,8,C的对边分别是“涉,c.已知石sin2c=2sin2c.

⑴求角C；

(2)若〃=4,且AA5C的面积为26，求AABC的周长.

【答案】(1)C=?

(2)26+6

【分析】（1）利用正弦的二倍角公式变形可求得C角；

（2）由面积公式求得匕，再由余弦定理求得c,从而得三角形周长.

［详解［（1）因为2省sinCcosC=2sin2C,sinC丰0,

所以tanC=5/3)

TT

因为0＜。＜乃，所以c=g.

(2)因为AABC的面积为26,所以gx4bsin(=G6=2G,解得6=2,

由余弦定理得C2=42+22-2X4X2COSy=12,

解得c=2A/3.

所以AABC的周长为a+h+c=2A/3+6.

18.记S“为等比数列｛为｝的前“项和.已知55-邑=-2752，且4，-1,生成等差数列.

⑴求｛叫的通项公式;

⑵设我=K-1］,求数列也｝的前2〃项和笃”.

【答案】⑴4=（-3严

32/1-19"-1)

⑵氏=一万一（或

2

【分析】（1）由题意可得%+4=-27（叼+4）与4+4=-2,从而可得公比，进而得到

｛q｝的通项公式；

（2）奇偶项讨论去掉绝对值，利用等比数列前"项和公式可得结果.

【详解】⑴设｛%｝的公比为4,因为反-S3=-27邑，

所以=-27（/+4）,

又因为4,-1,々成等差数列，所以q+g=-2,

所以fLtf£="=_27,解得g=-3.

生+4

由4（1+4）=-24=-2,解得4=1.

所以。,=（-3）"，

(2)当〃为奇数时，%7=3"T-1WO,

当"为偶数时，=

所以④"=（4—1）一（2-1）+（4-1）—（q-1）+…+3.-1-1）一（％,-1），

化简得岂"=«|-«2+a3~a4+'"+a2n-t-a2n>

所以％=i+3+3?+…+322=当」（或与:！）.

19.如图，在四棱锥P-A88中，平面PA£>_L平面

ABCD,AD//BC,PA=AB=BC=1,AD=2,CD=72,PAIAD,点£在棱PC上，设

CE=ACP.

(1)证明：CDVAE.

(2)设二面角C—的平面角为。，且|cose|=笔，求2的值.

【答案】(1)证明见解析；

(2)A=1.

4

【分析】(1)根据平行四边形的判定定理和性质、勾股定理的逆定理，结合面面垂直的

性质、线面垂直的判定定理和性质进行证明即可；

(2)建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.

【详解】(1)证明：取相>的中点尸，连接CF.

因为">=2,5C=1,所以AF=BC.

又A£>〃8C,所以四边形QMF是平行四边形，从而CF=A8=1.

因为。尸+。/2=C£)2,所以C/ADF,从而48J.4Z).

因为AC=7iTT=V^,CZ)=夜,AQ=2,所以AC2+82=A£)2,则C£)_LAC.

因为平面PADJ•平面ABCD,PA1AD,平面皿)L平面ABCD=AD,

丛匚平面抬。，

所以「平面A8C。，COu平面ABCD,从而以.

又ACcPA=A,AC,PAu平面PAC,

所以CD_L平面PAC,因为A£u平面P4C,所以CDLAE；

(2)由(1)知PAA3,A。两两垂直，以A为坐标原点，而，而,Q的方向分别为x,y,z轴

的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A-..

A(0,0,0),D(2,0,0),C(l,l,0),P(0,0,l),

CP=(-1,-1,1),可得亚=*+2丽=(1-4,1—4/1),亚=(2,0,0).

设平面AED的法向量为%=(x,y,z),

［而•庆=012x=0

(AE.抚=0［(1—+(1—A)y+Az=0

不妨令V=2，则=

因为CDL平面A£C,所以可取平面AEC的一个法向量为］=丽=(1,-1,0),

因为［限7)|=.■=fp=—~~/1==,所以8无一182+9=0,

1'71w||n&、，2万-22+110

解得或3彳=；3(舍去).

20.某商家为了促销，规定每位消费者均可免费参加一次抽奖活动.活动规则如下：在

一不透明的纸箱中有9张相同的卡片，其中3张卡片上印有“中”字,3张卡片上印有“国”

字，另外3张卡片上印有“红”字.消费者从该纸箱中不放回地随机抽取3张卡片，若抽到

的3张卡片上都印有同一个字，则获得一张20元代金券；若抽到的3张卡片中每张卡

片上的字都不一样，则获得一张10元代金券；若抽到的3张卡片是其他情况，则不获

得任何奖励.

(1)求某位消费者在一次抽奖活动中抽到的3张卡片上都印有“中”字的概率.

(2)记随机变量X为某位消费者在一次抽奖活动中获得代金券的金额数，求X的分布列

和数学期望E(X).

(3)该商家规定，消费者若想再次参加该项抽奖活动，则每抽奖一次需支付5元.若你是

消费者，请从收益方面来考虑是否愿意再次参加该项抽奖活动，并说明理由.

【答案】(1)]

(2)分布列答案见解析，数学期望：

14

(3)我不愿意再次参加该项抽奖活动，理由见解析

【分析】(1)根据古典概型的方法，结合组合数的计算求解即可；

(2)X的所有可能取值为0,10,20,再分别求解分布列与数学期望即可；

(3)根据(2)中数学期望，求解消费者在一次抽奖活动中的收益判断即可.

【详解】⑴记“某位消费者在一次抽奖活动中抽到的3张卡片上都印有，中，字”为事件A,

则尸(可=与=工.所以某位消费者在一次抽奖活动中抽到的3张卡片上都印有“中''字

C9o4

的概率是上

84

(2)随机变量X的所有可能取值为010,2。，

c；CC=9

P（X=10）=

C；28,

9i9

P（X=0）=l-----------

'7282814

所以X的分布列为

X01020

991

P

2828

aa155

E(X)=0x—+10x—+20x—=—.

v714282814

(3)记随机变量Y为消费者在一次抽奖活动中的收益，则y=X-5,

所以E(y)=E(x)-5=-，＜0,因此我不愿意再次参加该项抽奖活动.

21.已知双曲线。：二-5=1(。＞0活＞())的离心率为如，点A(6,4)在C上.

a~b?2

(1)求双曲线C的方程.

（2）设过点3（1。）的直线/与双曲线C交于2E两点，问在x轴上是否存在定点2，使得

丽・丽为常数？若存在，求出点尸的坐标以及该常数的值；若不存在，请说明理由.

【答案】⑴上一《=1;

42

（2）存在，常数为萼.

10

【分析】（1）由离心率得出/=2加，再代入已知点坐标求得。力得双曲线方程；

（2）设（巧,左），直线/的方程为y=3T），代入双曲线方程，消去y得y的

一元二次方程，由相交可得％的范围，由韦达定理得芭+々，内々，设存在符合条件的定

点尸&0）,计算出丽•丽并代入％+X20W化为关于左的分式，由它是常数可求得f,

得定点坐标.

【详解】⑴因为双曲线c的离心率为如，

2

所以（*）=1+7,化简得合二2^.

将点A（6,4）的坐标代入京-£=1,可得*於1,

解得从=2,

所以C的方程为三-匕=1.

42

a

rA-

-£

⑵设。（办,X）,后仇,必），直线/的方程为y=Z（x-D,联立方程组＜

4-消去y得

-2

(1-2/)/+4k2x-2k2-4=0,

21

由题可知1一2&2=0且△＞（）,即二＜彳且上2H万,

4G2k2+4

所以X1+工2=—\-2k2，X'X-~~\-2k2

设存在符合条件的定点尸(f,0),则PD=(占T,yj,PE=(々T,％)，

所以PD,PE=_，)(X1_，)+乂％=(%-+1)玉匹2_«+k~)(玉+&)+厂+《.

所以丽•丽=俨+1)(-2/-4)+4/«+"2)+(『+/)(132),

一l-2k2

化简得丽.星」Y-”2+今一5)+/-4)

因为苏•而为常数，所以-2二+4—5=解得/

-214

此时该常数的值为*-4=学，

16

所以，在X轴上存在点使得丽•方为常数，该常数为萼.

【点睛】方法点睛：本题考查求双曲线的标准方程，考查双曲线中的定点问题，定点问

题的解题方法是：设直线方程(或点斜式方程)，设交点坐标为(内,凹),(声,必)，

直线方程代入双曲线方程消元化为一元二次方程(可由相交得参数范围或不等关系)，

应用韦达定理得药+々，龙应，对定点问题可假设定点存在，设出定点坐标，计算定点满

足的关系，并代入韦达定理的结论化简后，利用常数、定值得参数值，从而说明定点存

在，否则不存在.

22.设函数/(x)=(x+l)ln(x+〃?)一"任+x),其中机,〃eR.

(1)当》i=〃=l时,求/'(x)的极大值;

⑵若不等式f(x),,0在区间［0,+8)上恒成立，证明：e-m.A.

【答案】(1)极大值为0

(2)证明见解析

【分析】(1)两次求导，分析导函数的单调性，即可得到f(x)的极大值;

(2)不等式/5)“。在区间［0,+向上恒成立,即不等式In(x+m)-町,0在区间［0,+8)上

恒成立，设〃(x)=ln(x+m)-nr(x..O),研究函数的单调性，求出函数的最值，即可做

出判断.

［详解］(1)当，"=〃=1时，/(x)=(x+l)ln(x