2023届上海市嘉定区高三上学期9月统考数学试题（解析版）

2023届上海市嘉定区高三上学期9月统考数学试题

一、单选题

1.已知正项数列｛%｝,令b,,=lga”,则｛"｝为等差数列是｛q｝为等比数列的（）

A.充分条件但非必要条件B.必要条件但非充分条件

C.充要条件D.以上皆非

【答案】C

【分析】根据等比数列和等差数列的定义判断即可.

【详解】若｛纥｝是等差数列，设公差为d,

则有lga„-lga„=lg—=^,

+la„

即乎=10",则数列｛为｝是等比数列，公比为10、

满足充分性；

若｛“〃｝是正项等比数列，设公比为4（4>0）,

则有4包=勺，两边取对数得：

a„

>S—=1g<7.即lga,*i-lga”=lgq,

an

即〃+i-〃,=igq，则｛〃,｝是等差数列，公差为igq.

满足必要性.

则｛，｝为等差数列是｛%｝为等比数列的充要条件.

故选：c.

2.离心率和椭圆形状的有关，据此判断椭圆c：工+上=1和C?：三+汇=1,则G和G

4354

哪个图形更为扁平（）

A.C,B.C2

C.相同D.无法判断

【答案】A

【分析】分别计算出两个椭圆的离心率，然后比较，谁的离心率越大且越接近于1,谁

就越扁.

【详解】在椭圆G:J+千=1中，a=2,b=0,.・.0==,4—3=1，二。/=

43

22e=

在椭圆C,：I+J=1中，。=石,6=2,c=yja-h=75-4=1>*,-2~~~j=~~~

54ayj55

11r2、广

■-et=->-f==e2,，椭圆C：L+^=1的图形更为扁平一些.

2J543

故选:A.

3.平面直角坐标系xQy中，过点(1,4)且同时和y轴、直线丫=履(0<%<4)相切的圆的

个数为()

A.0B.1

C.2D.与《有关，因而不确定

【答案】C

【分析】根据题意作出示意图(图见解析)，转化为直线>=丘与y轴夹角的平分线上

的动点到y轴和到定点(1,4)距离相等的问题即可.

【详解】在平面直角坐标系xOy中，过点(1,4)且同时和y轴、直线相切的圆，满足圆

的圆心到(1,4)的距离与到y轴以及到直线y=kx[0<k<4)的距离相等，而满足到(1,4)

与到直线y=匕的距离相等的点的轨迹的抛物线，到y轴与到直线、=依的距离相等的

轨迹是y=丘与y轴夹角的平分线，如下图示，可知两个轨迹方程的图形有2个交点，

所以满足条件的圆有2个.

故选：C

4.通过抽样调研发现，当地第三季度的医院心脑血管疾病的人数和便利店购买冷饮的

人数的相关系数很高，甲认为这是巧合，两者其实没有关系：乙认为冷饮的某种摄入成

分导致了疾病；丙认为病人对冷饮会有特别需求：丁认为两者的相关关系是存在的，但

不能视为因果，请判断哪位成员的意见最可能成立()

A.甲B.乙C.丙D.T

【答案】D

【分析】正确理解相关系数，相关关系与因果关系的区别是解题的关键.

【详解】当地第三季度的医院心脑血管疾病的人数和便利店购买冷饮的人数的相关系数

很高，但相关关系是一种非确定性关系，相关关系不等于因果关系，丁的意见最可能成

故选：D.

二、填空题

5.双曲线《=1的焦点坐标是.

【答案】（5,0）,（-5,0）

【分析】根据双曲线方程，得到焦点在x轴上，且c=5,从而写出焦点坐标.

【详解】由题意得：焦点在x轴上，且/=16+9=25,解得：c=5,

所以焦点坐标为（5,0）与（-5,0）

故答案为：（5,0）,（-5,0）

6.已知数列｛%｝的递推公式为卜""可，则%=_________.

[4=2

【答案】54

【分析】根据递推公式逐一赋值即可求解.

【详解】由数歹IJ的递推公式得4=34=6,%=3%=18=3%=54.

故答案为：54.

7.直线x+百y+12=0被圆/+丁=100所截的弦长为.

【答案】16

【分析】先由圆的方程确定圆心坐标和半径大小，再求圆心到直线的距离，根据几何法

求弦长.

【详解】由题知：圆f+1=100的圆心为（0,0）,半径用=10,

故圆心到直线x+x/5y+12=0的距离d=1=6,

V1+3

所以弦长为：1=23-才=16・

故答案为：16.

8.函数＞=12在x=2处的切线方程为（写成一般式方程的形式）.

【答案】x-2y+21n2-2=0

【分析】先将x=2代入求得切点坐标，然后进行求导，将x=2代入得到切线的斜率，利

用点斜式方程即可得到答案

【详解】解：当x=2时，y=ln2,所以此时切点为(2,ln2),

由〃x)=lnr可得r(x)=J

所以切线的斜率为A=/'(2)=g,

贝(1利用点斜式方程可得至Uy_ln2=g(x_2)即x—2y+21n2-2=0,

故答案为：x-2y+21n2-2=0

9.2022年世界杯亚洲区预选赛，中国和日本、澳大利亚、越南、阿曼、沙特阿拉伯分在同

一小组，任意两个国家需要在各自主场进行一场比赛，则该小组共有场比

赛.

【答案】30

【分析】任意两个国家需要在各自主场进行一场比赛，即为双循环比赛，由排列组合求

解即可.

【详解】一共有6个国家，任意两个国家需要在各自主场进行一场比赛，即为双循环比

赛,共有C：A；=30场比赛.

故答案为：30.

10.某路口在最近一个月内发生重大交通事故数X服从如下分布：

(0123456、_

(0.3010.3620.2160.0870.0260.0060.002),则该路口一个月内发生重大交通

事故的平均数为(精确到小数点后一位).

【答案】1.2

【分析】根据分布列计算期望即可得到结论.

【详解】由X服从分布得

E(X)=0x0.301+1x0.362+2x0.216+3x0.087+4x0.026+5x0.006+6x0.002

=1.201,

即该路口一个月内发生重大交通事故的平均数约为12

故答案为：1.2.

11.正整数484有个不同的正约数.

【答案】9

【分析】先将484分解质因数，484的约数由质因数的乘积组成，使用分步乘法计数原

理，可求出484正约数的个数.

【详解】484=2x2xllxll=22xll2

设d为484的正约数，贝lJ"=2'xlP,（«=0,|,2,7=0,1,2）

例如：）=0,j=0时,d=2°xll°=lxl=I是484的约数，

i=l,/=2时,d=Lx"2=2x121=242是484的约数,

i=2,，=2时,d=2?xlF=4X121=484是484的约数，

因此，484的正约数个数，即d的不同取值个数，第一步确定i的值，有3种可能，第

二步确定）的值，有3种可能，因此d的取值共有3x3=9种.

故答案为：9.

12.已知数列｛《,｝的通项公式为%,则。“取最大值时，〃=.

【答案】17或18.

【分析】判断取最大值时，一定有〃419,由此设%为数列｛《,｝的最大项，列出不

an2〃向

等式组求得”的取值范围，可得答案.

%2«„-1

【详解】由4=（20-〃）13可得当“221时，/<0,当”=20时，q=0,

当“419时，an>0,故见取最大值时，一定有“419,

设为数列｛4｝的最大项,

(20-"){|):(19-〃){|[

1,解得174/7418,

(2。一哩卜⑵一汨-

贝|J〃=17或18,止匕时《7=F，

故答案为：17或18.

13.根据农业农村部的统计数据，2017年至2021年则我国农民人均可支配收入如下表

所列:

年份X20172018201920202021

收入y（元）1343214600173711713118931

由表中数据可得回归方程y=^+〃，则。=（精确到小数点后一位）.

【答案】1352.9

【分析】利用最小二乘法，直接将表格中的数据带入公式即可求出。的值.

-2017201201920202021

【详解】根据表格中的数据可得:=+8+++=2019)

-13432+14600+17371+17131+18931,八小

y=---------------------------------------=16293.

利用最小二乘法，根据公式得:

(-2)x(-2861)+(-1)x(-1693)+1x838+2x2638

=1352.9.

(-2)2+(-l)2+l2+22

故答案为：1352.9.

14.对半径为1的气球以恒定的速度充气，可视为球体在不断膨胀，当半径增加至2时,

其体积相对于半径的瞬时变化率为.

【答案】16万

4

【分析】球的体积公式为£=三万Z,对其求导并代入R=2计算即可

【详解】解：由球的体积公式可得丫=；万内，得『=4万R2,

所以R=2时，体积关于半径的瞬时变化率为V7=4/rx2?=16%，

故答案为：16万

15.已知P（4）=P（8）=P（A|8）=g,则网须卜.

【答案】I

【分析】根据条件概率得到事件A与事件B相互独立,进而得到其对立事件也相互独立,

从而利用对立事件概率公式求解.

【详解】因为P（A）=P（A忸），

所以事件A与事件8相互独立，

则事件•与事件月也相互独立，

则P例同=P（N）=1-P⑷=1—：=:

故答案为：

三、双空题

16.一项研究同年龄段的男、女生的注意力差别的脑功能实验，实验数据如下表:

注意力稳定注意力不稳定

男生297

女生335

则/=（精确到小数点后三位），依据3.841）20.05,该实验该年

龄段的学生在注意力的稳定性上对于性别没有显著差异（填拒绝或支持）.

【答案】0.538支持

【分析】根据卡方公式计算即可做出判断.

【详解】由表中数据可知：“=29力=7,c=33,d=5,

2_Mad-bcY

n=a+h+c+d

(“+c)3+d)(a+6)(c+d)

74(145-231)2

计算可知:«0.538<3.841

(29+33)(7+5)(29+7)(33+5)

所以没有足够把握认为学生在注意力的稳定性上与性别有关,

即该实验支持该年龄段的学生在注意力的稳定性上对于性别没有显著差异.

故答案为：0.538；支持.

四、解答题

17.数歹lj｛《J的前”项和S“=〃2-〃+c,

（1）若｛4｝为等差数列，求公差、首项、c的值;

（2）在（1）的条件下，求数列的前“项和H”.

【答案】（1）公差为2,首先为0,c=（）

⑵

77+1

IS.,n=\

【分析】⑴由题意，根据公式…结合等差数列的相关定义，可得

答案;

（2）由（1）可知，S,用表达式，根据裂项相消，可得答案.

【详解】⑴由题意，S“=〃2_〃+c,当九=1时,4=SI=l-l+c=c,

2

当“22时，StJ_}=(n-l)-(n-l)+c,

则q=S〃—Si=〃-〃+l)+c]=2〃一2,n＞2,

由%+]一q=2(〃+l)_2_(2"2)=2,则出一囚=2-C,=2,解得。二(),

故等差数列{%},公差为2,首项为0,c=0.

22

⑵由(1)可知，Sn=n-n,Slt+]=(/i+l)-(/?+l)=72(/z+1),

1111

---=-------=-------

S〃+i+n〃+l'

H〃=11--1-F-1---1-!-•••+-1---1---=,1-1----=---n-.

223n/?+1〃+1〃+1

18.函数y=/(x),其中f(x)=x+詈.

⑴求函数)，=/(尤)的导数y=r(x)；

⑵若0＜工＜2兀，求y=r(x)的极值.

【答案】⑴/(》)=1+史等竺

(2)极大值为]+e当，极小值为i_e6

【分析】(1)利用导数的求导法则以及基本初等函数的求导公式即可求解,

(2)求导，利用导数即可求解极值.

；Xcosx-ex-sinxev,cosx-sinx

【详解】⑴由〃X)=X+罢Qnr得f(x)=lf+----河------="一百一

⑵记g(x)=f'(x),则g，⑺=2；泮,

令g'(x)=。，贝ljcos%=0,当0vxv2兀时，/=］或1=募，

故当0<x<g或曰<x<2兀时，g'(x)<0,当g'(x)>(),

因此当X、时，g(x)取极小值，且极小值为g［£|=l-eW,

当x片时，g(x)取极大值，且极大值为8用=1+6+,

因此y=/'(x)的极大值为］+e与，极小值为］

19.将m+刀00的二项展开式中的二项式系数依次列为：cK",……，哨.

⑴依据二顶式定理，将(。+分00展开,并求证：4+4+4+……+C：罂=2%

(2)研究所列二项式系数的单调性，并求证：其最大值为

0010000

【答案】(1)3+夕=Cl+C；00a*+…+C*,证明见解析；

(2)答案见解析.

【分析】(1)由二项式定理得展开式，在展开式中令。=匕=1可证结论成立；

(2)用作差法可得出二项式系数的单调性，从而得出最大值.

0000100

【详解】(1)由已知5+6)'=ChR+C：00a9%+...+O,

KW

令a=6=l得2=C；00+C；(W+CZ+……+C黑；

n+1ck100!100!100!99-24，……

(2)C：0G-C*(X)=---------------------------------------=------------------------------------,k=0,l,--,99,

-IOO伏+］)!(99_Q!坛(100_幻！k!(99-Q!/+1)(100—幻，

当99一2%2(),k<49.5,即4449时，C俄-4>0,C常>4,

当99一2女<0,即心50时，C偏-C盆<0,C在<4,

所以c；00coo，C：0G，…,C器中,从C；0n到C潟递增，从C温到C：罂递减,

所以C落是最大值.

20.一台机器设备由A和8两个要件组成，在设备运转过程中，AB发生故障的概率分

别记作尸(A)、P(3)，假设A和8相互独立.设X表示一次运转过程中需要维修的要件的

数目,若尸(A)=0.1,/8)=02

(1)求出尸(X=0),P(X=l),P(X=2)；

(2)依据随机变量X的分布，求E(X)和O(X)；

⑶若X1表示A需要维修的数目,X?表示B需要维修的数目，写出X、X1和X2的关系式,

并依据期望的线性性质和方差的性质，求2X)和£>(X).

［答案］(1)P(X=O)=0.72,P(x=1)=0.26,P(X=2)=0.02；

⑵E(X)=0.3,Z)(X)=0.25；

⑶E(X)=0.3,Q(X)=0.25。

【分析】(1)由题意利用相互独立事件的概率公式求出所对应的概率即可;

(2)利用X的分布列直接计算期望和方差即可；

(3)利用期望和方差的性质计算即可.

【详解】⑴因为P(A)=0.1,P(B)=0.2,

所以尸(X=O)=(l-0.1)x(1—02)=0.72,

P(X=l)=(l-0.1)x0.2+0.1x(l-0.2)=0.26,

P(X=2)=0.1x02=0.02.

(2)由(1)得X的分布列为：

X012

P0.720.260.02

所以E(X)=0x0.72+lx0.26+2x0.02=0.3,

0(X)=(0-0.3)2*072+0_03)2x0.26+(2-0.3)2x0色=025

(3)由题意可得X=X,+X2,且％,X?均服从两点分布，

所以E(XJ=Ol,E(X2)=0.2,

£>(X,)=0.1x(l-0.1)=0.09,D(X2)=0.2X(1-0.2)=0.16,

所以E(X)=E(X,+X2)=£(X,)+E(以)=0.3,

因为X”X2相互独立,所以。(X)=O(X1+X2)=£>区)+。区)=0.25.

21.椭圆+?=1,过椭圆「外一点P(sj)作椭圆『的两条切线/用，切点分别为

64

A、B,PA和丽的夹角为0.

⑴若1=0,，=、，求此时$的值；

(2)若f=0,s>«,求证：。随$的增大而减小；

jr

(3)是否存在圆C：f+y2=/，使得p在其上做圆周运动时，始终可以保持0=^?不论

存在与否，均请说明理由.

【答案】(l)s=±布；

(2)证明见解析；

(3)存在，圆C方程是/+丁=10.

【分析】(1)设切线方程为y="(x-s),代入椭圆方程整理为关于x的方程，由△=()得

TT

关于攵的二次方程，由。=彳得空2=-1,从而求得一

02

(2)由(1)求出切线斜率，得tan不=7^,由正切函数的单调性、不等式的性质

乙7s-6

可得结论；

(3)在切线斜率存在时，设切线方程为y—=k(x-s),代入椭圆方程，整理为关于X的

方程，由A=0转化为关于左的二次方程，由1得$2+产=10,从而P在圆

x2+/=10±,再说明过此圆上的点(±#,±2)时切线也保持。=5即可得结论.

【详解】(1)P($,O),切线斜率显然存在，设切线方程为y=k(x-s),

y=k(x-s)

由《幺y2,得(2+3左2)/—6反2工+3公$2_]2=0,

—+—=1

64

所以△=361/-4(2+3k2)(3s2k2-12)=0,(?-6)^2-