2023届江西省上饶市、景德镇市六校高三上学期10月联考数学（理）试题（解析版）

2023届江西省上饶市、景德镇市六校高三上学期10月联考数

学(理)试题

一、单选题

1.已知集合y=3',x<l},N={x|y=ln(x—1)},则MQN=()

A.[0,3)B.[1,3)C.(1,3)D.(0,1]

【答案】C

【分析】分别求出集合M和N,取交集即可，一定要注意集合中元素是什么.

【详解】集合M={yly=3，,x<i}中的元素是y,表示函数值y的范围，

易知y<3,.'.M=(^3O,3),

%={乂产皿*-1)}中的元素是工，表示自变量x的范围，

易知x—1>0,则有x>l,，N=(1,”)，

所以MAN=(1,3).

故选：C

2.著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂

分家万事休”，在数学的学习和研究中，常用函数的图像研究函数的性质，也常用函数

【答案】D

【解析】根据函数为偶函数，排除8,利用导数得到单调性，根据单调性排除A、C,

由此可得答案.

【详解】令/。)=曾畀，则”>二(T)”「l'/(x),所以函数/(X)为偶函数，

|x||-x|

其图象关于y轴对称，故排除B；

当x>0时，f(x)=xlnx,f\x)=l+Iwc,由/'(x)<0,得0<x<L令/'(x)>0,得x>,，

ee

所以函数/(X)在(0,3上递减，在d,2)上递增，故排除A、C;

ee

故选：D

【点睛】本题考查了根据函数的解析式识别函数的图像，考查了函数的奇偶性，考查了

利用导数研究函数的单调性，属于基础题.

f—3x+3,xv0

3.已知函数f(x)=一，八，则不等式/⑷1)的解集为()

e+l,x>0

【答案】C

【分析】由函数解析式判断函数的单调性，根据单调性将函数不等式转化为自变量的不

等式，解得即可；

f—3x+3,x<0

【详解】解：因为f(X)=,、八，

[e+l,x>0

当x<0时/(x)=-3x+3函数单调递减，且/(x)>-3x0+3=3,

当0时/(x)=e-*+1函数单调递减，且/(0)=e0+1=2<3,

所以函数/(x)在(-8,+w)上是单调递减，

所以不等式等价于。>3〃一1,解得“<；.

即不等式的解集为[孙g);

故选：C

4.下列说法正确的是()

A.函数“X)为实数集R上的奇函效，当北0时，/(x)=3*—a(“为常数)，则/(-1)=2

B.已知基函数/(力=(加一机-1)・一37在X«0,M)单调递减，则实数m=2

C.命题“Vx>l,2、-1>0”的否定是“VxVl,2*-1>0”

D.AABC中.角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则sin?A<sin?8是a?的充分不

必要条件

【答案】B

【分析】根据题意可得/(。)=0,求得。，从而可判断A；

—\=1

根据某函数的定义及性质可得小—从而可求出加，即可判断B；

根据全称命题的否定相关知识，即可判断C；

直接利用正弦定理边角互化结合充分条件和必要条件的定义即可判断D.

【详解】对于A,因为函数f(x)为实数集R上的奇函数，当xNO时，/(x)=3*-a(a

为常'数)，所以/(O)=]_a=O,所以a=l,则,f(_l)=二/'(1)=_(3_1)=_2,故A错误；

对于B,因为幕函数f(x)=(/n2-w-l)-在xe(0,-+w)上单调递减，

m—m—\=\

所以心2时3<。'解得故B正确;

对于C,命题的否定是“土>1,2x-l<0，\故C错误;

对于D,在△ABC中，由正弦定理可知sin?AvsiYB=a1vb?,所以sin?A〈sin?B是

的充要条件，故D错误.

故选：B.

5.已知罂函数/(*)=*"的图象过点(9,3),则函数y=在区间[13]上的值域为

J(X)+1

()

A.[-1,0]B.[-1,0]C.[0,2]D.

22

【答案】B

【分析】根据惠函数经过的点可求解析式，代入丫=宗不中通过分离常数法即可求

解.

【详解】解法一：因为塞函数〃x)=P'的图象过点(9,3),所以9"=3,可得a=g,所

以尸懦=黑=7然=七-因为卬应所以

246+144,故）,=3+]-le-；,0.因此，函数y=吴埠在区间[1,9]上的值域

为4'°•

故选：B.

解法二：因为黑函数八X)=X"的图象过点(9,3),所以9“=3,可得“=；,

所以/'⑴二五.因为xe[l,9],所以/(x)e[l,3].因为

/W+1

I—V1—V11—f(x)

所以/(x)=T，所以14T43,解得一：VyVO,即函数>=77/*在区间[1,9]

y+1y+12/U)+l

上的值域为-；,0.

故选：B.

6.函数〃x)在(YO,”O)单调递减，且为奇函数.若f(l)=-l,则满足-lMf(x-2)Ml的

x的取值范围是()

A.[-2,2]B.[-1,2]C.[0,4]D.[1,3]

【答案】D

【分析】根据奇函数的性质，并根据函数的单调性求解即可.

【详解】由函数/(X)为奇函数，得/(一1)=一/(1)=1,

不等式-1<f(x-2)<1即为/(I)</(x-2)</(-I),

又/(X)在(70,+00)单调递减，.•.得1WX-2W-1,即14X«3.

故选：D.

7.函数y=21n(x+l)+cosx的图象在x=0处的切线对应的倾斜角为a,贝ijcos2a=()

3333

A.—B.土—C.—D.--.

101055

【答案】D

【分析】先求导，通过导数的几何意义得到函数在x=0处的切线斜率，再利用二倍角

公式和平方关系式得到cos2a的值.

【详解】因为y=21n(x+l)+cosx,

2

所以"77rsinx,

当x=0时，y'=2,此时tana=2,

sin*-a+cosatana+15

故选：D.

8.已知函数〃x)=d—3x,则“a>l”是“的(

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】对函数〃X)=X3—3X进行求导可得到：r(x)=3(V-l)=3(x—l)(x+l)从而可

得出函数〃x)=d—3x在上递增，在递减，在XG(1,4W)递增，根

据函数的单调性可知：当0>1时，有成立，即充分性成立；当“。)>/(1)时,

。的范围不一定是。>1,可能即必要性不成立，所以“〃>「'是'"(a)>〃l)”

的充分不必要条件.

【详解】由题意可得：r(x)=3(x2-l)=3(x-l)(x+l),

令尸(x)>0解得x>l或x<-l,

即函数/(6=丁-3x在xe(-oo,-l)上递增，在xe(-1,1)递减，在xe(l,+oo)递增，

根据函数的单调性：

当”>1时，有/(a)>/⑴成立，即充分性成立；

当时，。的范围不一定是。>1,可能—l<a<l,即必要性不成立，

所以“。>1”是的充分不必要条件

故选：A

【点睛】本题考查了函数的单调性及充分条件，必要条件的判断，属于一般题.

9.若存在使得不等式成立，则实数。的取值范围是()

【答案】B

【分析】整理可得a>£二在(-L1]上有解，令f(x)=£二，则只需a>/(x)min即可,

X+lX+1

利用导数求得"X)的单调性和最值，即可得答案.

【详解】•.飞2，-依<0在(—1』]上有解，

.•.4>匚在(—1』上有解，

X+1

令/(》)=匚，xe(-l,l],贝!]4>/。焉即可.

X+1

▽-2e2'(x+l)-e2*e2'(2x+l)

(X+1)(X+1)

令/'(x)=0,解得x=-；,

.•.当时，f'(x)<0,则/(x)为减函数，

当时，/'(x)>0,则f(x)为增函数，

.•.当X=-1时，f(x)取得最小值

.,•«>!，则实数a的取值范围是(|,+8).

故选：B.

10.已知函数〃x)=lnx-a(x—l)-b-l(aHO,b€R),若Vx>0J(x)40恒成立，则2

的最小值是()

A.1+eB.1-eC.l-e~lD.e-2

【答案】B

【分析】求导后分析函数的单调性，令〃司侬工。，然后设2=构造函数然后求最

值.

【详解】解：由题意得：

•：f\x)=^--a

当。<0时，r(x)=l-«>0,函数/(x)在R上单调递增，无最大值，不符合题意；

当a>0时，令/'(耳=卜=0,解得x=：,当xe(0,力时，f\x)>0,函数〃x)在

(0,：)上单调递增，当X€(：,+Oo)时，/(力<0,函数f(x)在\,+«))上单调递减，

所以“X)1mx=U=_[na_ag_l)_/_l=_lna+a_b_240.

令2=则匕=心，所以-1114+(1_4)4一240,设e(a)=-lnq+(l—左)a—2,则

(p'{a)=_■-+(1-^:)

若l-k£0,即右],贝ij"(a)<o,此时研a)单调递减，符合题意；

若&<1,由/(a)=0,得。=占，此时。(4濡=皿1一%)-140,解得Z21—e,所以

k的最小值为1-e.

故选：B

11.已知函数f(x-l)(xwR)是偶函数，且函数/(x)的图像关于点(1,0)对称，当x己一1,1]

时,f(x)^ax-l,则/(2022)=()

A.-1B.-2C.0D.2

【答案】A

【分析】先由题给条件求得函数/(x)的最小正周期为8,再利用周期、对称轴的性质即

可求得/(2022)的值.

【详解】根据题意，函数/(x-D(xeR)是偶函数，则函数/(x)的对称轴为x=-l,

则有/(x)=/(-2-x),又由函数/(x)的图像关于点(1,0)成中心对称，

贝1」/(为=一/(2—幻，则有/(-2-x)=-/(2-x),则/(x+4)=-/(x),

则有/(x+8)=-/(x+4T(x),则函数/(x)是周期为8的周期函数，

则/(2022)=/(-2+253x8)=/(-2)=/(0)=-1

故选：A.

12.函数〃x)=cosx-gor2,定义域为,用，f(x)有唯一极值点，则实数〃的取值

范围为()

【答案】A

【分析】由已知，根据题意，分别从aNO,1和TVaVO三种情况借助导数研究

函数/(x)的单调性，并判断是否满足题意，然后对应列式求解即可.

【详解】由己知，/(x)=cosx-；ay2,所以r(x)=-sinx-ar,

当aNO时，因为xe，所以—sinx<0,所以/(力40,因此〃x)在区间O.j±

单调递减，不符合题意；

/z(x)=-sinx-ar,所以〃'(x)=-cosx-a,

当1时，软x"0,所以〃(x)在在区间0胃上单调递增，而〃(0)=—sinO-O=O,

所以Mx)N/?(0)=0,所以〃x)在区间上单调递增，不符合题意；

当TVaVO时，要使得〃x)有唯一极值点，即满足尸(3=-1-]”>0,解得

所以实数a的取值范围为1-1,-：).

故选：A.

二、填空题

x+l,x<0,

13.若函数f(x)={兀则/(x)与x轴围成的封闭图形的面积为___________.

cosx,()«xK,,

3

【答案】y1.5

【分析】画出函数/(》)的图象，明确/(x)与x轴围成封闭图形，利用定积分表示后就

是即可.

x轴围成封闭图形如,

故答案为：j3

14.若x=l是函数〃x)=e'-ax的极值点，则方程f(x)=a在⑵y)的不同实根个数为

【答案】1

【分析】求导函数，根据((1)=0列式求解“，利用导数判断函数/(X)的单调性，再结

合函数图象即可判断根的个数.

【详解】由f(x)=e'-or,得f(x)=e'-a,

x=l是函数f(x)=e*-ax的极值点,

/'(I)=e'—a=0=>a=e,

;xe(2,+oo)时，:(x)=e*-e>0,

/(X)在(2,+8)上单调递增,

.-./(x)>/(2)=e2-2e<e,

结合图象可知，〃幻=6在(2,+00)上有1个实数根.

故答案为：1

15.将边长为1m的正三角形薄铁皮沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯

形'记s=分=,则S的最小值是

【答案—

4(37尸

【分析】设CD=x(O<x<l),可求得S=,利用导数法可求得S的最小值.

43（l-x2）

【详解】如图，设CO=x(0<x<l),

则梯形ABED的周长为x+2(l-x)+l=3-x,

梯形A8ED的面积为:乎一乎"2=-^(1-^2),

(3-x)2-4(3-x)28(x-3)(3x-l)

所以,于二f商二百,则-G(一丁，

2

],r4(3-x)

当0cxe彳时，S'<0，此时函数S=-y^---、单调递减，

3V3l-x-

,4(3-才

当:<x<l时，S'>0,此时函数5=](1_；,单调递增,

故当x=2时，S取得最小值邑

33

故答案为：乎

x+2^,x<0

16.已知函数f（x）=e*八，若存在玉40,%>0,使得〃与）=/（左），则%/（为）

—,x>0

.x

的取值范围是.

【答案】［-（；，。］.

【分析】由，（芭）=F（X,）,得至也="-2e,再研究函数/（X）的单调性，得至IJev"w2e,

%々

将xj（马）表示为々的函数，然后利用换元法转化为二次函数求最值.

【详解】解：•••/（%）="々），.T+2e=e,得不上_2e,

X,x2

QX］W0,—<2e,

x2

.□-+rz\e”4（、xex—exex（x—1）

当x>0n时，/（x）=—,f（x）=——--=——--,

XXX

由r（x）>0,得x>l,由r（x）v。，得Ovxvl,

丁•fM在（0,1）上单调递减，在（1,田）上单调递增，

.,.）（%）在％=1处取得最小值％

x2

/eX2eX2.泊

x{f（x2）=（---2e）=（—Y-2e,

x2x2Ax2

*

令1=一,则/.XJU2）=t2-let=（/-e）2-e2,

九2

当，=e时，%/（毛）取得最小值-/,当，=2。时，内/（&）取得最大值0,

—（七）的取值范围是0］,

故答案为：I-,。］.

三、解答题

17.己知命题P：实数x满足工2一5奴—6〃2<0（其中a>0）；命题必实数工满足

-2<x<4.

⑴若。=1,〃八4为真命题，求实数1的取值范围；

⑵若〃是q的必要不充分条件，求实数。的取值范围.

【答案】（D—1VXV4

（2）a>2

【分析】（1）由a=l得命题p：-l<x<6,然后由〃八4为真命题求解；

（2）由Y一5以一6〃2<0得-〃<x<6。，再根据，是4的必要不充分条件求解.

【详解】⑴解：当。=1时，x2-Sax-Ga1<0,

解得：-I<x<6,

由PA<7为真命题，

J-1<x<6

,,［-2<x<4'

解得一1<x<4；

(2)由f—5ox-6/<0(其中a>0)可得一a<x<6a,

a>0

因为。是<?的必要不充分条件，则，-22-。，

4<6a

解得：a>2.

18.已知函数/(数=xlnx-2x,求：

(1)求函数/(x)的单调区间；

(2)求函数/(x)在［l,a］的最小值.

【答案】(1)单调递减区间为(0，e),单调递增区间为(e,+8)；

(2)答案见解析.

【分析】(1)对“X)求导，根据导函数的符号求单调区间即可；

(2)讨论a<e、«>e,结合(1)所得函数的单调性求其最小值.

【详解】(1)由题设，//(x)=lnx-l,x>0,

令r(x)>0,解得X>e；

令尸(x)<0,解得0<x<e.

/(x)的单调递减区间为(0,e),单调递增区间为(e,+<»).

⑵由(1)知，当l<a4e时f(x)在口,。］上单调递减,

=f(a)=a\na-2a,

当a>e时，，(x)在U,e)上单调递减，在［e,a］上单调递增，

=/(e)=elne-2e=-e.

19.如图所示，将一个矩形花坛A8CQ扩建成一个更大的矩形花坛AMPN,要求何在

射线AB上，N在射线AO上，且对角线过C点•已知他=4米，A£>=3米，设AN

的长为可了>3)米-

(1)要使矩形AMPN的面积大于54平方米，则4N的长应在什么范围内？

(2)求当AM,4V的长度分别是多少时，矩形花坛AMPN的面积最小，并求出此最小值;

9

【答案】⑴(3q)U(9,y)

(2)AN=6,AM=8最小面积为48平方米

【分析】(1)先表达出AMPN的面积表达式，5.附>54时解出不等式，即可知AN的

取值范围.

(2)令，=x-3,将式子化成对勾函数后求最值.

【详解】⑴解：设4V的长为x米(x>3)

ABC。是矩形

DN_\DC\

"AAT-|AM|

4工2

•••^W=K.|AM|=—^(x>3)

4r2

由SW/W>54,得^—>54

x-3

vx>3

9

.*.(2x-9)(x-9)>0,解得3<工<乙或x>9

2

9

即AN的取值范围为(3q)U(9,+8)

4r2

(2)令y=t=x-3(r>0),则x=f+3

x-3

，y=^<=4Q+2+6)“8

tt

9

当且仅当f=—(f>0),即r=3时，等号成立，此时AV=6,AW=8最小面积为48平

t

方米

20.已知函数/(x)=。­2、-2-是定义在R上的奇函数.

⑴求实数”的值;

⑵求不等式/(/*)-2)>3的解集;

(3)若关于x的不等式f(x)>白+2恒成立，求实数k的取值范围.

【答案】(1)。=2

⑵(1*)

⑶(fT

【分析】(I)根据奇函数满足/(-x)+/(x)=O,即可求解；(2)根据Ax)的单调性，

即可根据函数值的大小确定自变量的大小，即可转化求解，(3)将恒成立问题转化为最

值问题，即可利用二次函数的性质求最值进行求解.

【详解】(1)因为/(x)=a-2，-2T是定义在R上的奇函数，所以/(-x)+/(x)=0,

即a.2-*-2"，+a2-2i=0，即(〃-2)(2*+/)=0,

因为2，+?>0,所以“-2=0,所以。=2(经检验，。=2符合题意)

⑵由(1)得f(x')=2'+I-2'-x,

因为y=2"，与y=-21在R上均为增函数，所以/(*)=2什*-21在口上为增函数，

又/(1)=3,所以/(/(x)-2)>/⑴，

所以/(x)-2>l,gp/(x)>3=/(l),

所以x>l,所以不等式/"(幻一2]>3的解集是(1,”).

⑶因为关于x的不等式f(x)>击+2恒成立，即2"、一2=>击+2恒成立，

所以k<22'—2*-1恒成立，所以无<(22，一2*—1).，

因为22*_2*_[=(2*_；)—；，

所以当2，=:，即x=—l时，22、一2,—1取得最小值

24

所以％即实数”的取值范围是100,-£|

21.已知函数f(x)/x-arlnx(a>0)的图象在点(1J⑴)处的切线与直线y=(l—a)x平

行.

(1)若函数y=f(x)在[e,2e]上是减函数,求实数。的最小值;

(2)设g(x)=辔，若存在々W[e,e2],使成立，求实数〃的取值范围.

\nx4

【答案】(1)y;(2)；一^7-8).

【解析】根据((1)=1-a，解得6=1,

(1)转化为介在［e,2e］上恒成立，利用函数/7。)=丁二在［e,2e］上递减，求

lnx+1lnx+1

出Mx)的最大值即可得解；

(2)等价于存在［e,e2］,使------成立,设9(x)=;---------,则满足〃之0⑴*

\nx4xInx4x

即可，利用导数求出e(x)的最小值即可得解.

【详解】9.f(x)=h—a—a\nx,.,./(I)=/?—«,67=1—tz,.\h=l.则«r)=x—adn

x.

(1)・・・y=/U)在［e，2e］上为减函数，・・.1(五)=1一a—〃ln烂0在［e，2e］上恒成立,

即a>-~1—在［e,2e］上恒成立.

lnx+1

;函数〃(%)=•；--一；在［e,2e］上递减，，力(x)a=力3)=?，所以〃之工.

Inx+l22

***〃min=7*

/-、，、x-axlnxX

⑵g(")=F^=-------ax

\nx

存在xe［e,e」，使g(x)«!成立，即二^--0x4：成立

4Inx4

因为x>0,所以等价于存在xe［e,e2］,使；成立

Inx4x

设夕(x)=则满足aNe。)*即可

Inx4x

因为03:07，।［J/Ix

(Inx)24x2(2xlnx)2

e<x<e2f

/.l<lnx<2,l<ln2x<4：-4/S-4x4-4c<-4

/.ln2x-4x<0

.•〃(x)vO,°(x)在［e,/］单调递减

“dis)：；-}

24e

、11

Cl>--------7-

24e2

综上，实数a的取值范围为［；-5,”).

【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用

导数研究不等式能成立问题，属于中档题.

22.已知函数/(x)=(x-2)e*-ar+alnx(awR).

(1)当”=-1时，求函数/(x)的单调区间；

⑵当“<e时，讨论/(x)的零点个数.

【答案】(1)单调递减区间是(0