2023届高考数学一轮复习收官卷（二）（新高考Ⅰ）（解析）

2023届高考数学一轮复习收官卷（二）（新高考版）

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.）

1.（2022•江苏南京•高一阶段练习）设集合"=&H<x42},B={x\x<a]f若4=B,则。的取值集合

是（）

3

A.{a\a<2}B{a|a<l}C,{a|a1}D{a|a>2）

【答案】D

【详解】；集合"={x|l<x<2},8={x|x<a},A=B,

/.a>2,

故a的取值集合是S2.

故选：D

2.（2022・湖北・枣阳一中高三期中）当时，复数“（2+i）—（4+i）在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【详解]z=w（2+i）-（4+i）=（2w-4）+（m-l）i

若1<机<2,贝|J2加-4<0,/M-1>0,

所以复数z在复平面内对应的点位于第二象限.

故选：B

3.（2022・全国•高一课时练习）中学开展劳动实习，学习加工制作食品包装盒.现有一张边长为6的正六边

形硬纸片，如图所示，裁掉阴影部分，然后按虚线处折成高为小的正六棱柱无盖包装盒，则此包装盒的体

积为（）

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A.144B.72C.36D.24

【答案】B

【详解】如图，正六边形的每个内角为120。,

按虚线处折成高为&的正六棱柱，即=所以tan60°,

可得正六棱柱底边边长/8=6-2x1=4,

5=6X-!-X4X4X—=246

则正六棱柱的底面积为22

所以正六棱柱的体积"=246x百=72

故选：B

［（3-。）〃一8,〃<6

4.（2022•浙江♦嘉兴一中高二期中）已知数列｛《/满足："1广"，〃>6（〃eN*）,且数列也｝

是递增数列，则实数a的取值范围是（）

10.,10

A.（2,3）B.叼n）C.勺⑶D,（1，3）

【答案】C

3-a>0

”110°

【详解】由题意［6（3一。）-8<尸，解得丁”.

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故选：c.

5.（2022・湖南•高二期中）已知耳，鸟分别是双曲线C：T彳」的左、右焦点，尸是C上一点，且位

于第一象限，PH9,则尸的纵坐标为（）

A.1B.2C.近D.G

【答案】C

【详解】因为丽・丽=。，所以附旧*,小棚=32

由双曲线的定义可得陶-圈=匕所以2附叫陷I附

解得附卜|*=8,

故△际尸2的面积为5M,附上4.

设尸的纵坐标为〃，

则APF'F?的面积为5山用,=4,解得人=也

所以尸的纵坐标为：五

故选：C.

sin2<9-2

6.（2022・湖南•长沙一中高三阶段练习）已知cos（0+兀）=2sin（e-7r）,则cos26+1-（）

5_37

A.4B.4C.4D.2

【答案】B

【详解】解:依题意8s（♦+兀）=2sin（。一兀）得

2sin0=cos6,

tan。*」

cos。2,

sin20-2_2sin8cos6-2_sin0cos0-sin26-cos?0

cos29+12cos20cos20

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=tantan20-\

故选：B.

7.（2022•河南•模拟预测（理））如图，在“8C中，BM=ABC,NC=〃/C,直线/屈交BN于点°,

A.彳+〃=1B.c.（"中2"-3）=1乂〃-1）=1

【答案】C

屈=|丽=：（或+而）=：画+（1_〃）就]

【详解】由题意得,

=>+t—

因为0,M,4三点共线，故332,化简整理得（2-1）（2〃-3）=1

故选：C.

8.（2022•江苏省苏州实验中学高二阶段练习）已知数列｛%｝是各项均不为0的等差数列，S"为其前"项

和，且满足若不等式“"㈠）"”[〃+8x（-l）"[xa向对任意的〃WN.恒成立，则实数2

的取值范围是（

r_2z

A.[3，」

【答案】A

屋=$2==（2"1）（%+%1）

【详解】应｝是等差数列，则2,又生产°,

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所以见=2〃-1

不等式〃”(-1)〃”[〃+8乂(-1严]为彳x”x(7)",,[“+8x(-1严]x(2"+l)

X。向

；v(〃+8)(2〃+1)_,8[7

〃是奇数时，不等式为_力7<5+8)⑵7+1),n="十丁

乙、c8万/、八82(——4)

/(x)=2x+-+17f\x)=2--='

2

时，设X.XX

0<x<2时，递减，x>2时，/'（x）>0,/（x）递增,

77X77

/71\07/⑶=-----22〃H---F17

又”是正奇数，八1)=27,.3<27,所以n的最小值是3,

3,3,

(〃-8)(2〃+1)8

“是偶数时，不等式为九〃4(”8)(2〃+1),一nn

QQQ

y=2n----152n----152x2----15=-15

〃>°时，"是增函数，又〃取正偶数，所以"的最小值是2,所以

2<-15,

77

——<2<-15

综上，3

故选：A.

二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）

9.（2022•全国•高一单元测试）在一次随机试验中，已知4B,C三个事件发生的概率分别为0.2,0.3,

0.5,则下列说法不正确的是（）

A.8与C是互斥事件B.力。8与C是对立事件

C.ZU5UC是必然事件D.S3WP（48）V0.5

【答案】ABC

【详解】/,B,C三个事件发生的概率分别为0.2,0.3,0.5,

对于选项A,8与C有可能同时发生，故不一定是互斥事件，故A错误；

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对于选项B,工。8与。有可能同时发生，故不一定是对立事件，故B错误；

对于选项C,A,B,C不一定是互斥事件，故"U8UC不一定是必然事件，故c错误：

对于选项D,尸（Zu5）*（Z）+P⑻=0.2+0.3=0.5,尸（Nu8"max{P（/）,P（8）}=0.3,故口正确.

故选：ABC.

10.（2022・广西南宁•高二开学考试）下列命题正确的是（）

A.已知高，领是两个不共线的向量，若£=4-2&1=-23+4M,则£与B不共线

B.己知各为两个非零向量,若值+加=1.一］|,则

C.设1。02,|昨9,a石=-54垃,则2与5的夹角彳

__k_3

D.已知⑸=二历|=4,且Z与否不共线，则一^是£+而与Z-序互相垂直的必要不充分条件

【答案】BC

【详解】A.由于很=-2……

故万与B是共线，A错误;

B.由14+司=团-均得m+B『=l@一司2,化简得万石=0,因为。④为两个非零向量，所以51不，B正

确;

a-b-545/2应

__cos0=5,C正确;

c.由无b=mi|b|cos。,得®肪「12x9-2.因为。引0,兀］，所以

D.万+序与彳-序互相垂直的充要条件是伍+序）,伍_序）=°,即青-公庐=0

因为方=32=9,^=42=16,所以9-16公=0,解得'-士w，

所以“一^是Z+疡与序互相垂直的充分不必要条件，D错误，

故选：BC.

11.（2022・辽宁•大连二十四中高二期中）下列命题中，表述正确的是（）

A.直线（3+亦+4y-3+3m=0（meR）恒过定点㈠,-3）

B.圆V+/=4上有且仅有3个点到直线/：x-y+3=°的距离都等于1

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（5_3

C.直线V=Mx-2）+4与曲线y=l+67有两个不同的交点，则实数%的取值范围是112'4

xy_।

D.已知圆C：V+V=1,点尸为直线^+3=上一动点，过点P向圆C引两条切线尸4尸8,48为切点,

则直线48经过定点142；

【答案】BD

【详解】解:对于选项A：由（3+小+勺-3+3%=0叱R）可得「（x+3）+3x+4尸3=0,

卜+3=0卜=-3

由〔3x+4y-3=0"j得1y=3，所以直线恒过定点（川⑼，故选项A不正确；

对于选项B：圆心（°，°）到直线，：x-y+垃=°的距离等于1,圆的半径〃=2,

平行于/:x-y+近=°且距离为1的两直线分别过圆心以及和圆相切，

所以，圆上有且仅有3个点到直线的距离等于1,故选项B正确；

对于选项C：由题知直线，=MX-2）+4过定点P（2,4）,

曲线y=1+HV表示以（0』）为圆心，2为半径的网在直线k1及上方的半圆，

如图，直线尸8为过点尸（2,4）,与半圆相切的切线，切点为3,

所以，要使直线卜="（"-2）+4与曲线yn+HV有两个不同的交点，则*<k4kpa,

PT,5,5

所以，当直线N=/（x-2）+4与半圆相切时，有‘标+1，解得12,即“12

因为的"=W,

所以实数人的取值范围是口24」，故c选项错误：

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\-+-=1

对于选项D：设点尸坐标为m'n>,所以42,即加+2”=4,

因为4、PB分别为过点P所作的圆的两条切线，所以。_LP/,CBLPB,

所以点48在以C尸为直径的圆上，以CP为直径的圆的方程为

整理可得：/+/一蛆_即=0,与已知圆C：/+/=l相减可得〃?x+〃y=l,

消去加可得：(4-2")x+〃y=l,即"(y-2x)+4x-l=0,

1

X--

4

y—2x=01

y=—

由4x-l=0可得2

化1]

所以直线N8经过定点（42人故选项D正确.

故选：BD

12.（2022•福建・福州三中高二期中）在棱长为2的正方体,88-44GA中，尸为线段5a上一动点

（包括端点），则以下结论正确的有（）

A.三棱锥4一的外接球表面积为4兀

B.三棱锥尸-"NO的体积为定值

c.过点P平行于平面48。的平面被正方体"8C0-z圈GA截得的多边形面积为2G

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D.直线04与平面480所成角的正弦值的范围为

【答案】BCD

对于A选项，三棱锥4外接球即为正方体"8CO-/EGA的外接球，

正方体"BCD-4BCR的外接球直径为2灭=2逐，

故三棱锥4-BDC1外接球的表面积为4成2=12兀，A错误；

对于B选项，因为BBJ/DDI且故四边形BBQQ为平行四边形，

所以，B\D\〃BD,Q8Q<z平面48。，8。u平面480,8Q〃平面力1。，

；P三BQI,所以点P到平面48。的距离等于点4到平面4比》的距离，

114

V

S&AM=74。4=2yP-AtBD=DX-AXBD=5丛叫-AB=-

2,^33,B正.确；

对于C选项，・•・4月〃8且44=CD,则四边形4BQD为平行四边形，

所以，"Q//8C,

”c<2平而4叫4。u平面4叫所以,80〃平面4班>,

又因为8Q〃平面4叫BCcBR=Bi,所以，平面与CA〃平面4叫

所以，过点P平行于平面48°的平面被正方体'8。0-48GA截得的多边形为,

—x(2y/2^=25/3

易知ABQR是边长为2a的等边三角形，该三角形的面积为彳秋>一,c正确;

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设点P到平面A'BD的距离为〃，由“3一〃一的一5知，

.4

h_3%/加_*3_2^__2超

点p到平面,3。的距离为SMBI）2y/3V33,

当点尸在线段8闽上运动时，因为=4%若尸为3Q的中点时，P4工BR,"焉=33=也

当点P为线段B'D'的端点时，（04）而=2,即04尸442,

.c_hV3V6

设直线尸4与平面,加所成角为。，P4L33」，口正确.

故选：BCD.

三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3

分.）

13.（2022•北京八十中高一期中）除函数N=x,xe[l,2]外，再写出一个定义域和值域均为口，2]的函数：

【答案】答案不唯一.例如:^=3-x,xe[l,2]

【详解】定义域和值域均为必2]的函数为V=3-x,xe[1,2],

故答案为：y=3-x,xe[1,2]

14.（2022•全国•高三专题练习）已知抛物线C：/=2px（p>0）的焦点为凡准线为/,以尸为圆心作圆

与C交于Z,8两点，与/交于。、E两点,若|/却=口目=4K，则/到/的距离为.

【答案】2

【详解】设与X轴的交点分别为M，N,则EM=M=p,即点'（尹’2"1

（2©=2px^-p

八'2,解得P=2或p=-2（舍去），

故尸到/的距离为2.

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故答案为：2.

15.（2022•甘肃•高台县第一中学高三阶段练习（理））如图，节日花坛中有5个区域，现有4种不同颜

色的花卉可供选择，要求相同颜色的花不能相邻栽种，则符合条件的种植方案有种.

【详解】如图，假设5个区域分别为1,2,3,4,5,

分2种情况讨论：

①当选用3种颜色的花卉时，2,4同色且3,5同色，共有种植方案C：.A；=24（种），

②当4种不同颜色的花卉全选时，即2,4或3,5用同一种颜色，共有种植方案C[A：=48（种），

则不同的种植方案共有24+48=72（种）.

故答案为：72

16.（2022•河北唐山•三模）角谷猜想又称冰雹猜想，是指任取一个正整数，如果它是奇数，就将它乘以

3再加1；如果它是偶数，则将它除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈

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If4f2fl.如取正整数m=6,根据上述运算法则得出6f3f10->5f16f8f4f2f1,共需要

经过8个步骤变成1（简称为8步"雹程"），已知数列｛4J满足：a'=m（加为正整数），

全，当的偶数时，

«,1+i

3a“+1,当为奇数时，①若〃?=昼，则使得见"至少需要步雹程；②若%=L则机所有

可能取值的和为

【答案】9385

【详解】，"=13,依题意，3加+1=40-20-10-5-16f8f4f2fl

共9共步骤;

若%=1,4=2,%=4,4=8或。6

a2=128,67]=256

%—32,%-64

a2=21,q=42

a5-16<

a2—20,q=40

&=5,%=10

若4=8、=3,%=6

1%=32

a3=8,%=16

%=2,%=4.[4=5

%=4

4的集合为{256,42,40,6,32,5,4},其和为385；

故答案为：9,385.

四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第16题10分，其它每题12分，解答应写出文

字说明、证明过程或演算步骤.）

2a.tanB

--=1H----

17.（2022•湖北•高二期中）在“8C中，角/，B,C的对边分别是a,b,c,且满足。tanC

⑴求角8的大小;

（2）若22百,。为ZC边上的一点，BD=\,且8。是的平分线，求“BC的面积.

【答案】（J哼;

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⑵5

sin8

2a_2sinA1+cos8_।+sin5cosC_sinBcosC4-sinCcosB_sin（5+C）

csinCsinCsinCcosBsinCcosBsinCcosB

【详解】（1）cosC

2sin4_sin4

ysin（^+C）=sin（7t-A）=sinA,sin>0,sinC>0则sinC-sinCeos,

cosB=——

即2,

B=—

又5e（0,%则3.

（2）由80平分//8C得：S/^的=SABD+SBCD

1.27T1,.7T1,.兀

—acsin——=—x1xcsin—+-x1xasin—

则有232323,即。c=a+c

.292c2兀

b=a+c-laccos——

在“BC中，由余弦定理可得：3

又6=2百,则/+c2+ac=l2

[ac=a+c

联立[/+。2+〃。=12

可得。2c2-ac-i2=0

解得：”c=4（*=-3舍去）

c1.2兀1/百6

S.=—ac'sin—=—x4x——=73

故△Aft由r2322

18.（2022•福建省福州格致中学高三期中）已知各项均为正数的数列｛“/中，％=1且满足

片=2%=端+2%，数列也｝的前“项和为S”,满足2s“+1=3切

⑴求数列㈤｝,｛'"｝的通项公式;

（2）若在"与风之间依次插入数列｛""｝中的左项构成新数列｛/A吗也，生吗也,为，牝，&也，-

,求数列

位」中前40项的和&.

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［答案］⑴%=2"T,"=3'1；

（2）4304.

【详解】（1）由题设得：（4川一.”）（。向+""）=2（。e+。,,），

则。向一4=2,故｛%｝是首项6=1,公差为2的等差数列,

.a

,•n=2«-1，

当〃=1时，2SI+1=3［得：仄=1,

当心2,由2sn+1=3以①,25〃_1+1=3%②,

由①一②整理得：b，，=3b“-i,”=1#0,

生=3

.4产°,故如,

数列｛"｝是首项为1,公比为3的等比数列，故勿=3'i.

（1+2+3+—・+（）+（左+1）=（左+1）（k+2）

（2）依题意知：新数列｛0，｝中，bz（含前面共有:

2项

（M（i±Z）＜40

由2,（4eN*）得：*47,

...新数列上｝中含有数列｛"｝的前8项：牝牝…，牝含有数列｛”"｝的前32项：%%,%,

。32.

3工^1^=4304

1-32

19.（2022•北京工业大学附属中学高二期中）如图1,在AMBC中，BM=2BC=4,BMLBC,4。分

别为棱8M，MC的中点，将△•£）沿4。折起到AP/。的位置，使/P/8=90。，如图2,连接「民℃.

⑴求证：平面尸/。，平面/8CZ）；

⑵若E为PC中点，求直线DE与平面PBD所成角的正弦值；

3尺PG

⑶线段PC上是否存在一点G,使二面角G-HD-P的余弦值为一小？若存在，求出拓的值；若不存

在，请说明理由.

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P(M)

【答案】(1)证明见解析

(2)3

PG_1

(3)存在，PC~4

【详解】(1)因为AMBC中，BM1BC,4。别为棱的中点，

所以即

又因为ZP/8=90°,即/8_L/P,APcAD=A,ZRZOu平面尸

所以482平面尸/f。，

又因为Z8u平面/SCO,所以平面40,平面/8CO.

(2)由(1)得池，4P两两垂直,

以A为坐标原点，分别为x/,z轴，建立如图所示坐标系，

由题意得。(°』，0)，「(°，°，2)，8(2,0,0),C(2,2,0),£(1,1,1)

所以诙=(1,0,1),丽=(2,0,-2),PD=(0,1,-2)

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设平面P5Q的法向量〃=（xj，z）,

PB-n=2x-2z=0

*

则［PD•万=y-2z=0,解得〃=(1,2,1),

设直线DE与平面尸8。所成角为，，

।〃•%|2|V3

sm0=cos<〃,DE>=Li=一产••l

1同。目限血

2

故直线OE与平面尸8。所成角的正弦值为3.

3而

（3）设线段PC上存在一点G使二面角G-4D-P的余弦值为一亍

则的=4定(0M/IV1)

由（2）得产。=（2,2,-2）,则尸G=（2427,-2/1）,所以G点坐标为（2九2%-2/1+2）,

所以而=（2424-22+2）,而=（0,1,0）,

设平面G/D的法向量3=（xJ，z）,平面/OP的法向量3=（1，°，°）,

AGa=2Ax+2Ay+(-2/1+2)z

则［/£>•/=y=0,解得a=(2-l,0,2),

设二面角G_4）-P为/,

所以।।而而FTio4=一

解得4,

3而PG1

故线段PC上存在一点G使二面角G-40-P的余弦值为一亍,此时拓一彳.

20.（2022・全国•高三专题练习）在疫情防控常态化的背景下，山东省政府各部门在保安全，保稳定的前

提下有序恢复生产，生活和工作秩序，五一期间，文旅部门在落实防控举措的同时，推出了多款套票文旅

产品，得到消费者的积极回应.下面是文旅部门在某地区推出六款不同价位的旅游套票，每款的套票价格

x（单位：元）与购买人数y（单位：万人）的数据如下表：

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旅游类别城市展馆科技游乡村特色游齐鲁红色游登山套票游园套票观海套票

套票价格X（元）394958677786

购买数量y（万人）16.718.720.622.524.125.6

在分析数据、描点绘图中，发现散点（匕'叫）（14区6）集中在一条直线附近，其中匕=1叱，3,=1叱

苫匕3,=75.3,g匕,=24.6Zg=18.32^=1014

附：①可能用到的数据：源I^

②对于一组数据（匕'孙）（眩’叫）…（匕3“），其回归直线启=加+4的斜率和截距的最小二乘估计值分

Z匕①i-nva）

B=R------------,a=a）-bv

-nV2

别为i

⑴根据所给数据，求歹关于x的回归方程；

ee

（2）按照文旅部门的指标测定，当购买数量y与套票价格x的比在区间区力」上时，该套票受消费者的欢迎

程度更高，可以被认定为"热门套票"，现有三位同学从以上六款旅游套票中，购买不同的三款各自旅

游.记三人中购买"热门套票”的人数为X,求随机变量X的分布列和期望.

2

【答案】⑴N=e/

⑵分布列见解析，数学期望为2.

（1）解：•••散点（匕’3，）（14品6）集中在一条直线附近，设回归直线方程为治=加+&

n

va）：—nvo）

11

b=E-.................=-7--5-.-3---6--x-4--.-1-x--3-.--0-5-=—1

2

—/1-1白nc<2—2101.4—6x4.12

v=—Z匕=4.L0=—乙例=3z.05），匕—

由6,=l6I,贝ij；=i,

G=万-加=3.05」x4.1=l

2,

co=­V+1

•变量3关于V的回归方程为2,

斗=1叫，3,=Iny,.

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/.Iny=-lnx+11

2:.y=ex2

I

综上，y关于x的回归方程为歹="2；

2

yex2eee

一=一=—e一,一

x%97J

(2)解：由x?,解得49,,x,,81,

，x=49,586777,

二乡村特色游，齐鲁红色游，登山套票，游园套票为"热门套票"，

则三人中购买"热门套票"的人数X服从超几何分布，X的可能取值为1，23,

P(X=1)=等q尸(X=2)=普=|P(X=3)咯=(

・•・X的分布列为:

X123

3

P

555

£,(Ar)=lxl+2x-+3xl=2

555

21.(2022•山东烟台•高三期中)受气候影响，我国北方大部分农作物一直遵循着春耕秋收的自然规律，

农作物生长的时间主要集中在2月份至10月份.为了保证48两个产粮大镇农作物的用水需求，政府决

定将原来的蓄水库扩建成一个容量为50万立方米的大型农用蓄水库.已知蓄水库原有水量为18万立方

米，计划从2月初每月补进g万立方米地下水，以满足/,8两镇农作物灌溉需求.若/镇农作物每月的

需水量为2万立方米，8镇的农作物前x个月的总需水量为224万立方米，其中14x49,且xeN*.已

知5镇前4个月的总月的总需水量为24万立方米.

⑴试写出第x个月水被抽走后，蓄水库内蓄水量少(万立方米)与x的函数关系式：

(2)要使9个月内每月初按计划补进地下水之后，水库的蓄水量不超蓄水库的容量且总能满足/,8两镇的

农作物用水需求，试确定q的取值范围.

【答案]⑴%=[8+/-2X-12«(14x49,xeN*)

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/43

4<<7<—

⑵5

【详解】（1）因为8镇前4个月的总需水量为24万立方米,

所以2〃4=4p=24,则。=6

所以“=18+"-2》-124(14X49,xsN,)

(2)①由题意知：/x)=18+"-2x-124zO对14x49且xeN*恒成立,

g_史+平+2

即Xy/x对14x49旦xsN*恒成立,

1,1

~j==t-</<1

令㈠，则3

A”所以小

加(。=-18»+12/+2=-18,一

②首先18+"50,即"32,

其次，18+（*+1）夕一2工一12五（50对］4x49且xwNT恒成立,

,32+2X+12A/X

q<------------

所以X+1对14x49且xeN*恒成立，

I2+2](x+l)-(32+2x+12«)

32+2X+124y=1工2___2____________L

令'x+1,则(x+1)

-4=-6\/X-30-6|Vx--L+5|

,yJX_________=