2023届高考数学二轮复习28圆锥曲线求范围及最值六种类型大题100题学生版

专题28圆锥曲线求范围及最值六种类型大题100题

类型一:距离或长度关系的范围最值1-20题

1.在平面直角坐标系xOy中，直线/：y=丘+若与楠圆E：匕+/=1相交于A、B两点,

4

与圆O:x?+y2=4相交于C、。两点.

(1)若OCLOD,求实数A的值；

(2)求|4斗"。「的取值范围.

2.己知抛物线反V=2px(p>0)的焦点为尸，过点尸且倾斜角为£的直线，被£截得的线

4

段长为&

(1)求抛物线后的方程；

(2)已知点C是抛物线上的动点，以C为圆心的圆过点尸，且圆C与直线x=一：相交于

A,6两点.求|硝・|/词的取值范围.

3.已知抛物线y2=2px(pN4),过点A(T,T)作直线/八脑满足4与抛物线恰有一个公共

点C,4交抛物线于B、。两点.

(1)若P=4,求直线4的方程；

(2)若直线4与抛物线和相切于点C,且4、4的斜率之和为0,直线BC、OC分别交x轴

于点P、Q,求线段PQ长度的最大值.

22

4.已知椭圆E:~+的长轴长是2应’以其短轴为直径的圆过椭圆的焦点

(1)求椭圆£的方程；

(2)过椭圆£左焦点作不与坐标轴垂直的直线，交椭圆于〃，N两点，线段MN的垂直平

分线与y轴负半轴交于点0,若点。的纵坐标的最大值是-；，求|MN|的最小值;

1

5.在平面直角坐标系中，点尸到点尸（3,0）的距离的4倍与它到直线x=2的距离

的3倍之和记为d,当一点运动时，d恒等于点尸的横坐标与18之和.

（1）求点户的轨迹G

（2）设过点尸的直线/与轨迹C相交于M,”两点，求线段秘V长度的最大值.

6.已知椭圆C:*■+5■=1（。＞匕＞O）的离心率为4,左，右焦点分别为耳外，过鸟的直

线/与C交于AB两点，若/与x轴垂直时，|AB|=&.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若点尸在椭圆C上，且为坐标原点），求黑^的取值范围.

7.已知椭圆C：三+与=1（。＞匕＞0）经过点P1,半，且短轴的两个端点与右焦点构成

等边三角形.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设过点M（1,O）的直线/交椭圆C于A、8两点，求,卜附用的取值范围.

8.已知抛物线「：x!=2py（p＞0）,过P（2,-l）作抛物线的两条切线切点分别为

A,8,且直线AB的斜率为1.

（1）求。的值;

2

(2)直线/过点P与抛物线厂相交于两点GD,与直线A3相交于点0,若

IPQFV/IPCIIPDI恒成立，求X的最小值.

9.己知C为圆(x+l)2+V=i2的圆心，尸是圆C上的动点，点M(LO),若线段MP的中

垂线与CP相交于。点.

(1)当点P在圆上运动时，求点。的轨迹N的方程；

(2)过点(1,0)的直线/与点。的轨迹N分别相交于A,8两点，且与圆0:r+丁=2相交

于E,F两点，求的取值范围.

22

10.己知椭圆C：T+方=1(。＞6＞0)的长轴长为46，点")在C上.

(1)求C的方程；

(2)设C的上顶点为4右顶点为昆直线/与AB平行，且与C交于用，N两点,

诂=加，点/为C的右焦点，求|。目的最小值.

H.已知椭圆al+t-imAb＞。)过点E(I,竿)，A，4为椭圆的左右顶点，且直线

A2&E的斜率的乘积为-土2

(1)求椭圆。的方程;

(2)过右焦点厂的直线/与椭圆。交于M,/V两点，线段例V的垂直平分线交直线/于点只

交直线x=-2于点。，A的最小值.

3

12.已知抛物线C的顶点为0(0,0),焦点产(0,1).

(1)求抛物线C的方程；

(2)过尸作直线交抛物线于48两点.若直线。4、08分别交直线/：y=x-2于M、N

两点，求|刈的最小值.

13.抛物线T：V=x在第一象限上一点A,过A作抛物线T的切线交y轴于点8,过8作

的垂线交抛物线T于C,D(。在第四象限)两点，交。4于点E.

(1)求证：CQ过定点；

(2)^OBOD<-1，求同附目的最小值.

14.己知离心率为好的椭圆(7：鸟+¥=1(〃>6>0)经过点尸(3,1).

3ab~

(1)求椭圆c的标准方程；

(2)设点户关于x轴的对称点为Q,过点尸斜率为人，内的两条不重合的动直线与椭圆C的

4

另一交点分别为M，N（M,N皆异于点。）.若女肉=；，求点。到直线MN的距离的取值

范围.

、2

15.已知椭圆C：=+与=1（。＞人＞0）的左右焦点分别为耳，玛，左顶点为A,离心率为

a~b2

手，上顶点8（0,1）,AB耳的面积为与1

（1）求椭圆C的方程；

（2）设直线/：y=©x+D与椭圆C相交于不同的两点M,N,P是线段MN的中点.若经

过点尸2的直线，”与直线/垂直于点Q,求归。・|耳的取值范围.

16.设椭圆C:J+/=l（4＞匕＞0）的左右焦点分别为片，用，P是C上的动点，直线

y=x-石经过椭圆的一个焦点，△?耳巴的周长为4+2百.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）M为椭圆上一点，求|M国的最小值和最大值（写出严谨的推导过程）.

•＞）

17.设实数心椭圆"的右焦点为E过尸且斜率为左的直线交〃于尸、°

两点，若线段阀的中为M点。是坐标原点，直线如交直线x=3于点M

5

(1)若点户的横坐标为1,求点Q的横坐标;

(2)求证：MFLPQ.

⑶求扁|P(的2|最大值•

18.如图，已知椭圆£：］+/=1,抛物线G：V=2px(p>0),点A是椭圆c与抛物线

G的交点，过点A的直线/交椭圆C1于点8,交抛物线C?于点M(B,M不同于A).

(2)设抛物线G的焦点为尸，P为抛物线上的点，且A、F、P三点共线，若存在不过

11

原点的直线/使M为线段A8的中点，求戛后|+7|r7r新|的最小值.

6

22

19.己知椭圆r.+马=l(a>b>0)的焦距为26,且过点4(2,0).

a~b~

(1)求椭圆的方程；

(2)若点8是椭圆的上顶点，点尸(6%)(%>1)在以AB为直径的圆上，延长PB交椭圆

于点Q,忸斗忸。的最大值.

20.如图，已知尸(1,0),直线=P是平面上的动点，过点。作/的垂线，垂足为

点、Q，且QPQF=FPFQ.

(1)求动点尸的轨迹。的方程；

(2)过点厂的直线交轨迹。于/、6两点，交直线？于点断

①已知MAnqAEMBn/ljBF,求4+4的值；

IUUUIImm1

②求因斗卜区⑷的最小值.

7

类型二:面积的范围最值-21题

1.已知椭圆C:过点椭圆的焦距为2.

(1)求椭圆C的方程;

(2)设直线/过点(0,-；),且斜率为-：(上/0),若椭圆C上存在A,3两点关于直线/对

称，0为坐标原点，求％的取值范围及面积的最大值.

fv2

2.已知椭圆C:\+多=1(“>6>0)的一个焦点为(1,0),入，尸2为椭圆的左、右焦点，"

ab

为椭圆上任意一点，三角形加耳用面积的最大值为1.

(1)求椭圆，的标准方程；

(2)设不过原点的直线/：»=履+m与椭圆。交于4、8两点，若直线/的斜率的平方是直

线。4、08斜率之积，求三角形。钻面积的取值范围.

2

3.已知椭圆C:^+v方=l(a>6>0)的右焦点为人，离心率为e,从第一象限内椭圆C上一

8

点一向x轴作垂线，垂足为此且tan//W、=e,的面积为立.

2

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若直线〃/尸0,椭圆。与直线/的交于/,6两点，求△/!阳的面积的最大值.

4.己知椭圆C:5+/l(a>8>0)经过点P(&』)，且离心率为4.O,

/+/=产的任意一切线/与椭圆交于人，B两点.

(1)求椭圆C的方程；

(2)是否存在。，使得0408=0,若存在，求.AOB的面积S的范围：不存在，请说

明理由.

5.已知动点P(x,y)到点*1,0)与到直线x=T的距离相等.

(1)求点尸的轨迹心的方程；

(2)设M(%%)(%*())在曲线c上，过M作两条互相垂直的直线分别交曲线L异于M

的两点A,B,且|M4|=|网,记直线M4的斜率为％(%>0).

(i)试用％的代数式表示先；

(ii)求△M4B面积S的最小值.

6.已知椭圆E：H2F=1(a>b>0)的离心率为且其长轴长与焦距之和为6,直

线y=匕*，y=与椭圆£分别父于点A,B,C,D)且4+&=—12.

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)求四边形ACBD面积的最大值.

7.如图，在直角坐标系中，以M(0,D为圆心的圆材与抛物线y=*2依次交于/,B,C,D

四点.

9

(1)求圆M的半径r的取值范围；

(2)求四边形ABCD面积的最大值，并求此时圆的半径.

8.已知抛物线一炉=2/(。＞0)和点"(0,-1),且点M(2,%)和线段MN的中点均在抛

物线「上.

(1)求。的值；

2

(2)设点产，。在抛物线「上，点R在曲线?r+/=1()，＜0)上，若线段PR,QR的中点

均在抛物线「上，求二尸QR面积S的最大值.

9.设抛物线V=4x的焦点为£经过x轴正半轴上点软〃，0)的直线/交r于不同的两点

A和B.

(1)若网=3,求点力的坐标；

(2)若犷2,求证:原点〃总在以线段49为直径的圆的内部；

(3)若|川|=|同九且直线4/〃，乙与抛物线有且只有一个公共点反问：的面积是

否存在最小值?若存在，求出最小值，并求出,"点的坐标，若不存在，请说明理由.

10.已知抛物线C：d=4y,直线L：x-y-2=0,点P14

(1)过点P作抛物线C的切线，记切点为I,为，求直线汇4的方程;

10

（2）点M为直线乙上的动点，过点M作抛物线C的切线，记切点分别为A8,求

面积的最小值.

11.如图，已知抛物线C：x2=4y,斜率为1的直线/与抛物线C交于两个不同的点内

B,过小出分别作抛物线C的切线，交于点〃

（1）求点M的横坐标；

（2）已知下为抛物线C的焦点，连接口，FB,FM,记oAFM面积为S，8句0面积为

S”记面积为尾，求卓的最小值.

d3

12.已知椭圆焦点在x轴上，下顶点为。（0,-1）,且离心率e邛.直线/经过点尸（0,2）.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若直线/与椭圆相切，求直线/的方程；

（3）若直线/与椭圆相交于不同的两点M、N,求，DMN面积的最大值.

13.已知线段43=6在坐标轴上滑动，点4在y轴上滑动（包括原点），点8在x轴上滑

动（包括原点）.若AM=2M8，记材的轨迹为曲线C

（1）求C的方程，并说明C是什么曲线？

11

(2)点尸在曲线C上，且在第一象限，过户作椭圆工+汇=1的切线，切点分别为4B.

42

求.403面积的取值范围.

22

注；过椭圆5+1=1(“>6>0)外一点(%,为)作椭圆的切线，切点为月，6.则46的直线

ab"

方程为：笔+翌=1(">6>0).

ab

14.已知椭圆G：］+t=1和抛物线G：y2=-2px(p>0),点尸为G的右焦点，点〃为

G的焦点.

(1)过点八(乍G的切线，切点为只IP”1=3求抛物线c2的方程；

4

(2)过点//的直线/交C2于凡。两点，点"满足0Q=-20M,(。为坐标原点)，且点〃

在线段》=1(-9<旷<9)上，记oPQM的面积为*PFH的面积为邑，求苦的取值范围.

22%

22

15.已知c：=+乌=1的上顶点到右顶点的距离为近，离心率为!，过椭圆左焦点”作

不与x轴重合的直线与椭圆。相交于以,V两点，直线勿的方程为：x=-勿，过点"作於"

垂直于直线立交直线小于点£：

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)①若线段必过定点P,求定点户的坐标；

②点。为坐标原点，求oav面积的最大值.

16.己知抛物线T：y2=2px(peN.)和椭圆ay+y2=1,过抛物线7的焦点少的直

线/交抛物线于儿8两点，线段AB的中垂线交椭圆C于机,V两点.

12

(1)若户恰是椭圆。的焦点，求P的值；

(2)若MN恰好被A8平分，求一。48面积的最大值

17.在平面直角坐标系xOy中，点A(-2,0),过动点尸作直线x=T的垂线，垂足为〃，

且AP=-4.记动点尸的轨迹为曲线E.

(1)求曲线E的方程；

(2)过点A的直线/交曲线E于不同的两点8、C.

①若8为线段AC的中点，求直线/的方程；

②设8关于X轴的对称点为。，求面积S的取值范围.

18.在平面直角坐标系中，已知在1,0),动点P到直线x=6的距离等于21Ppi+2.动

点尸的轨迹记为曲线C.

(1)求曲线C的方程；

(2)已知42,0),过点尸的动直线/与曲线C交于B,。两点，记.AOB和ZVIOD的面积

分别为5,和S2,求，+5,的最大值.

19.已知动点M(x,y)到定点尸(-1,0)的距离和M(x,y)到直线/:x=-2的距离的比是常数

叵

(1)求点M的轨迹C.

(2)若A为轨迹C与x轴左侧的交点，直线P。交轨迹C于P、Q两点(不与A重合)，连

13

接「A、QA,并延长交直线/于M、N两点，且MFJ.NF,问：直线PQ是否经过定点？若

是，请求出该定点；若不是，试说明理由

（3）在（2）的条件下，若直线PQ斜率A的取值范围是[L2],求面积的取值范围

20.已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为「且尸与圆M：W+（y+4）2=l上点的距离的

最小值为4.

（1）求抛物线的方程；

（2）若点尸在圆〃上，PA,PB是C的两条切线.A,B是切点、,求△P4?面积的最大

值.

22

21.已知椭圆C:]+方=1（〃＞匕＞0）的左右焦点分别为“-6,0）,虫6,0）,且椭圆C

2

上的点"满足|用用=亍，N/耳历=150。.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）点P是椭圆C的上顶点，点Q,R在椭圆。上，若直线P。，根的斜率分别为人人，

满足匕求*刊?。面积的最大值.

类型三:坐标或截距的范围最值1-19题

1.已知圆4：*+1）2+丫2=16的圆心为人，过点8（1，0）作直线与圆A交于点C、D,连接

AC、AD,过点B作AC的平行线交A短于点E；

（1）求点E的轨迹方程；

（2）已知点“（2,0）,对于x轴上的点尸（7,0）,点E的轨迹上存在点M,使得

MPYMH,求实数f的取值范围.

14

2.已知抛物线C：V=4x,点尸是C的焦点，0为坐标原点，过点尸的直线/与C相交于

A.B两点.

(1)求向量。4与0B的数量积；

(2)设FB=4AF,若共[9,16],求/在>轴上截距的取值范围.

3.己知抛物线a/=2px(P>O)的焦点为R原点。关于点尸的对称点为0,点

AO,1)关于点Q的对称点p,,也在抛物线C上

(1)求。的值；

(2)设直线/交抛物线C于不同两点46,直线与抛物线。的另一个交点分别为〃

、N,PM=A,PA，=且;+'=2,求直线/的横截距的最大值.

X〃

4.已知直线y=2x与抛物线C：尸=2必(P>0)在第一象限内交于点P,点P到C的准线

的距离为2.

([)求抛物线C的方程

(II)过点P且斜率为负的直线交C于点A,过点A与反垂直的直线交C于点8,且A,

B,P不重合，求点8的纵坐标的最小值.

22

5.如图，椭圆C：T+/=l(a>Z>>0)的离心率是短轴长为26，圆的左、右顶

点.过b的直线/与椭圆相交于48两点，与抛物线£相交于只。两点，点M为国的中

点.

15

(1)求椭圆C和抛物线2的方程；

(2)记力创的面积为S,..觎0的面积为S,若523$,求直线，在y轴上截距的范

围.

6.已知抛物线C:y2=2px(p＞0),直线/：x-y-l=O交抛物线C于双平两点，且线段

MN中点的纵坐标为2.

(1)求抛物线。的方程；

(2)是否存在正数如对于过点尸(，"，0),且与抛物线，有两个交点4B,都有抛物线。的

焦点厂在以AB为直径的圆内？若存在，求出处的取值范围；若不存在，请说明理由.

7.椭圆5+耳=1(。＞人＞0)两焦点分别为K、心，且离心率《=必；

ab"3

(1)设6是直线y=x+2与椭圆的一个交点，求|环|+|即|取最小值时椭圆的方程；

(2)已知N(o,l),是否存在斜率为4的直线/与(1)中的椭圆交于不同的两点4B,使

得点/V在线段47的垂直平分线上，若存在，求出直线,在y轴上截距的范围；若不存在，

说明理由.

22

8.已知椭圆上+上~=1,过右焦点尸2的直线/交椭圆于M,N两点.

54

(1)若OMON=-3,求直线/的方程；

(2)若直线/的斜率存在，在线段。鸟上是否存在点尸(。,0),使得|加卜|「必，若存在,

16

求出。的范围，若不存在，请说明理由.

9.己知动圆C与圆J+丁+2x=0夕卜切，与圆x?+),2-2x-24=0内切.

(1)试求动圆圆心C的轨迹方程；

(2)过定点P(0,2)且斜率为4(人/0)的直线/与(1)中轨迹交于不同的两点M,N,试判

断在x轴上是否存在点A(见0),使得以AM4N为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求

出实数机的范围；若不存在，请说明理由.

10.己知点40,1),8(0,-1),直线AM与直线的斜率之积为-L

4

(1)求点M的轨迹「方程；

(2)点4是轨迹「上的动点，直线4W,8N斜率分别为尤，自满足K：&=3：1,求MN

中点横坐标方的取值范围.

22

11.已知双曲线C:，-/=l(a>0,6>0)的左焦点为尸，右顶点为A(L0),点尸是其渐近

线上的一点，且以尸尸为直径的圆过点A,归。=2,点。为坐标原点.

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)当点P在X轴上方时，过点P作y轴的垂线与y轴相交于点8,设直线

/:尸H+〃z(初冲0)与双曲线C相交于不同的两点M、N,若忸M=求实数加的取

值范围.

12.已知点A。,。)，点尸是圆a(x+l『+y2=8上的任意一点，线段力的垂直平分线与

直线"交于点E.

(1)求点£的轨迹方程；

(2)若直线丫=依+”与点后的轨迹有两个不同的交点厂和。，且原点。总在以。为直径

的圆的内部，求实数"的取值范围.

17

13.已知曲线C在y轴右边，C上每一点到点F（1,O）的距离减去它到y轴距离的差都是1.

（1）求曲线C的方程；

（2）是否存在正数用，对于过点M（W,O）且与曲线C有两个交点A,8的任一直线，都有

若存在，求出机的取值范围；若不存在，请说明理由.

14.己知抛物线C：/=2Q（p>0）的焦点为尸，过F的直线与抛物线C交于A,B两

点，当A,8两点的纵坐标相同时，|A8|=4.

（1）求抛物线C的方程；

（2）若P,。为抛物线C上两个动点，俨。=，"（〃?>0）,E为PQ的中点，求点E纵坐标

的最小值.

15.椭圆C:，■+，=l（a>6>0）与抛物线x=-*y2有一个公共焦点且经过点p]¥J

（1）求椭圆C的方程及其离心率；

（2）直线/：y=^+f与椭圆C相交于M,N两点，。为原点，是否存在点R满足

|。用=1，OR+MR+NR=0,若存在，求出♦的取值范围，若不存在，请说明理由

16.已知抛物线「：>2=改（“>0）的焦点为尸，若过点尸且倾斜角为2的直线交抛物线r

于〃，N两点，满足|MN|=8.

（1）求抛物线「的方程；

（2）过点。（八0）且斜率为1的直线被抛物线「截得的弦为AB,若点F在以AB为直径的

圆内，求机的取值范围.

17.椭圆C：捺+，=1（。>0,分>0）的左、右焦点分别是K，玛离心率为坐，过写且

18

垂直于X轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.

(1)求椭圆C的方程；

(2)点尸是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PK，p招，设』6尸用的角平分线尸M

交C的长轴于点M(〃?,o),求〃?的取值范围；

18.如图，已知椭圆》q=1，椭圆G：反+]=1，A(-2,0),3(2,0).户为椭

圆G上一动点且在第一象限内，直线B4，尸8分别交椭圆C1于E,尸两点，连结.交x

轴于Q点.过8点作8”交椭圆G于G,且BH//PA.

(1)求证：直线GF过定点，并求出该定点；

(2)若记P,。点的横坐标分别为“，/求呼的取值范围.

22

19.如图，椭圆G：[+与=1(4＞匕＞0)和圆C:x2+y2=b2,已知圆G将椭圆G的

a~b-

长轴三等分，椭圆C1右焦点到右准线的距离为也，椭圆G的下顶点为E,过坐标原点。

4

且与坐标轴不重合的任意直线/与圆g相交于点A、B.

(1)求椭圆G的方程；

(2)若直线£4、£»分别与椭圆C相交于另一个交点为点P、M.

①求证：直线MP经过一定点；

19

②试问：是否存在以(，",0)为圆心，逑为半径的圆G,使得直线PM和直线A8都与圆G

5

相交？若存在，请求出实数，”的范围；若不存在，请说明理由.

类型四:斜率或倾斜角的范围最值上19题

1.己知双曲线C的两个焦点分别为百(-百,0),6(6,0),渐近线方程为y=±0x

(1)求双曲线C的方程；

(2)若过点”的直线/与双曲线的左支有两个交点，且点用(()/)至!"的距离小于1,求直线

/的倾斜角。的范围.

2.已知动圆E过点F(0,l),且与直线y=-1相切，设圆心E的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的方程；

(2)设直线/：y=H+l交曲线C于M,N两点，以MN为直径的圆交x轴于E,F两

点，若|印“，求k的取值范围.

3.已知双曲线C:£-5=l(a>0,b>0)的一个焦点与抛物线y?=4x的焦点重合，且双曲

ab

线的离心率为右.

(1)求双曲线的方程；

(2)若有两个半径相同的圆q，G，它们的圆心都在X轴上方且分别在双曲线C的两条渐近

线上，过双曲线右焦点且斜率为-1的直线/与圆£，G都相切，求两圆圆心连线的斜率的范

围.

20

工21

4.己知椭圆C:二+==1（。<6<0）的离心率为;，椭圆C的中心。关于直线2x—y-5=0

ab2

的对称点落在直线X=“2上.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设P（4,0）,M、N是椭圆C上关于x轴对称的任意两点，连接PN交椭圆C于另一

点E,求直线PN的斜率范围并证明直线ME与x轴相交定点.

5.已知椭圆「■+/=1（。>6>0）的两个焦点为K、F2,椭圆上一点M（孚,日）满足

MFtMF2=0.

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线>=依+应与椭圆恒有两上不同的交点A、B,且Q4.O8>1（0是坐标原

点），求k的范围.

6.己知抛物线W：丁=2px（p>0）上一点C（f,2）到焦点F的距离为2,

（1）求/的值与抛物线W的方程；

（2）抛物线上第一象限内的动点A在点C右侧，抛物线上第四象限内的动点8,满足

OAVBF,求直线AB的斜率范围.

7.已知椭圆中心在原点，焦点在x轴上，一个顶点为A（0,T）,且其右焦点到直线

x-&y+石=0的距离为2.

（1）求椭圆的方程；

（2）是否存在斜率为4的直线/,使/与已知椭圆交于不同的两点M,N,且AN=AM?若

存在，请求出★的取值范围，若不存在，请说明理由.

8.已知圆M:d+（y-iy=8,点N（0,-l）,。是圆"上一动点，若线段的垂直平分线

21

与月方交于点Q.

(I)求点0的轨迹方程G

(H)若直线/与曲线。交于4B两点、,£>(1,0),直线的与直线的的斜率之积为！，

6

求直线/斜率的取值范围.

9.已知不名分别是椭圆工+/=1的左、右焦点.

4

(1)若P是第一象限内该椭圆上的一点，且满足出〉尸鸟求点尸的坐标；

(2)设过定点/(0,2)的直线与椭圆交与不同的两点AB,且NAOB为锐角，求直线A8

斜率的平方的取值范围.

10.斜率为石的直线/过抛物线C；产=2»(〃>0)的焦点，且交C于A,8两点(A在第

一象限)，/交C的准线于。，且忸力=8.

(1)求抛物线方程；

(2)设点7(9,0),斜率为左的直线小过点T交V轴于S,抛物线C是否上存在不同两点

A,B,使NAST=ZBST且4?，机，若存在，求斜率〃的范围，若不存在说明理由.

H.在平面直角坐标系内，已知定点F(i,o),动点M在y轴右侧运动(允许动点在y轴

上)，并且点M到y轴的距离恰好比它到定点F的距离小1.

(1)求动点用的轨迹C的方程；

(2)斜率存在的直线/经过点Q(4,o)且与c交于A,8两点，若线段A3的垂直平分线与

x轴交于点7,求点7横坐标的取值范围.

12.已知动点M(x,y)到定点尸(-1,0)的距离和M(x,y)到直线/:x=Y的距离的比是常数

2_

2,

22

(1)求点〃的轨迹c.

(2)设过定点7(0,2)的直线/与椭圆C交于不同的两点A8,且0408＞0,求直线/的

斜率k的取值范围.

13.已知双曲线氏^-产=］的两个焦点分别为小尸2,动点尸满足归用+|P闾=4.

(1)求动点P的轨迹C的方程；

(2)若轨迹C上存在两点A,8满足勺A+A°B=-1(kOA,%,分别为直线。4，。8的斜

率)，求直线AB的斜率的取值范围.

14.己知圆K：(x+1)2+V=i6,工(1,0),P是圆月上的一个动点，工尸的中垂线/交耳P

于点。.

(1)求点2的轨迹E的方程；

(2)若斜率为MZNO)的直线4与点。的轨迹E交于不同的两点A,B,且线段A8的垂直

平分线过定点C，oj,求k的取值范围.

15.已知椭圆C的方程为£+《=1(。＞6＞0),左、右焦点分别是"，"，若椭圆C上

a~h

的点尸’等)到"，尸2的距离和等于4.

(1)写出椭圆C的方程和焦点坐标；

(2)直线/过定点河(0,2),且与椭圆C交于不同的两点A,B,若NAO8为钝角(。为

坐标原点)，求直线/的斜率左的取值范围.

16.已知椭圆C:三+与=1(。＞匕＞0)离心率为，且其上一点到右焦点与距离的最大值为

ah23

4

(1)求椭圆的标准方程

(2)设巴为椭圆的左焦点，尸为椭圆。上的任意一点，求尸耳的取值范围.

23

（3）设/为椭圆的右顶点，MN为椭圆的一条不经过/的弦，以为直径的圆6经过力

点，求AB斜率的最大值.

17.动点P到定点尸（0,1）的距离与到定直线y=4的距离之比为定值

（1）求动点P的轨迹方程：

（2）若直线/与动点尸的轨迹交于不同的两点M,N,且线段被直线2x+l=0平分，

求直线/的斜率的取值范围.

18.已知直线>=丘+1过抛物线犬=20，">0）的焦点尸，且与抛物线交于A,8两点.

（1）求抛物线的方程；

（2）以AB为直径的圆与x轴交于C,。两点，若S"sN2,求％的取值范围.

22

19.己知椭圆Cr：r+v4=l（a>6>0）的右焦点为R且尸与，上点的距离的取值范围为

a~b'

[L3].

（1）求C的方程；

（2）己知。为坐标原点，点尸在C上，点0满足尸Q=9QF,求直线。。斜率的最大值.

类型五：向量关系的范围最值1-13题

。2

1.已知椭圆E:「+2=l（4>3>0）的焦距为4,过焦点且垂直于X轴的弦长为2拉.

ab"

（I）求椭圆E的方程；

（II）过椭圆E右焦点的直线/交椭圆于点M,N,设椭圆的左焦点为尸，求FM-FN的取

值范围.

24

2.己知椭圆C的中心在坐标原点。，左顶点A（-2,0）,离心率e=；,F为右焦点，过焦

点尸的直线交椭圆C于P、。两点（不同于点A）.

（1）求椭圆C的方程；

（2）当AAPQ的面积5=史亚时，求直线P。的方程；

7

（3）求尸的范围.

3.双曲线C与椭圆《+《=1有相同的焦点，直线y=3x为C的一条渐近线

843

（1）求双曲线C的方程；

（2）已知点”（0,1）,设P是双曲线。上的点，。是点P关于原点的对称点，求的

范围.

4.椭圆E中心在原点，焦点在y轴上，［、工分别为上、下焦点，椭圆的离心率为:，

P为椭圆上一点且5+KPF2=0.

（1）若APK优的面积为6,求椭圆E的标准方程；

（2）若P耳的延长线与椭圆E另一交点为4,以R4为直径的圆过点〃一年,0,N为

椭圆上动点，求N/叫的范围.

V-2V2

5.如图，点”，巴分别是椭圆C:讶+方=1（"＞人＞0）的左、右焦点，点4是椭圆。上一

点，且满足Ag_Lx轴，乙41玛=30。，直线A耳与椭圆。相交于另一点8

25

(1)求椭圆。的离心率；

(2)若A8吊的周长为46，M为椭圆C上任意一点，求血.局的取值范围.

6.己知P是平面上的动点，且点P与耳(-1,0)、月(1,0)的距离之和为2G.点P的轨迹

为曲线£.

(1)求动点尸的轨迹E的方程；

(2)不与，轴垂直的直线/过点耳且交曲线E于M,N两点，曲线E与x轴的交点为

A,8,当|仞心|6时，求AM-N8+AMMB的取值范围.

J)

7.已知椭圆C:晨+记=1(。>6>0)的左、右焦点分别为1和椭圆C上任意一点P,

满足PFt-P鸟的最小值为;/,过写作垂直于椭圆长轴的弦长为3

(1)求椭圆C的方程；

(2)若过月的直线交椭圆于A,B两点,求•鸟B的取值范围.

8.已知椭圆C：三+二=1左右焦点分别为百，鸟，尸在椭圆C上且活动于第一象限，

43

pp垂直于y轴交y轴于〃，Q为夕尸,中点；连接。月交y轴于M,连接。工并延长交直

线/:x=3于N.

(1)求直线。々与。鸟的斜率之积；

(2)已知点丁(。,-1),求2MPNP+TQ2的最大值.

26

9.已知抛物线V=4x及点尸(4,0).

(1)以抛物线焦点F为圆心，|”|为半径作圆，求圆尸与抛物线交点的横坐标；

(2)A、B是抛物线上不同的两点，且直线A8与x轴不垂直，弦A8的垂直平分线恰好

经过点尸，求的范围.

■>

10.如图，已如椭圆。：工+y2=l的右焦点为尸，点3,C分别是椭圆。的上、下顶点,

4'

点P是直线/：y=-2上的一个动点(与y轴交点除外)，直线PC交椭圆于另一点

(1)当直线过椭圆的右焦点尸时，求的面积；

(2)记直线BM,BP的斜率分别为勺，k2,求证：勺-他为定值.

(3)求PB-PM的取值范围.

22

11.己知①如图，长为26,宽为;的矩形ABC。，以48为焦点的椭圆M:=+[=l恰

2a-b

好过CD两点，

②设圆(x+G)2+y2=16的圆心为S,直线/过点7(a,0),且与X轴不重合，直线/交圆S

于CD两点，过点7作SC的平行线交5。于判断点M的轨迹是否椭圆

(1)在①②两个条件中任选一个条件，求椭圆M的标准方程；

(2)根据(1)所得椭圆M的标准方程，若点P是椭圆M上的点，耳，鸟分别是椭圆M

的左右焦点，求办.京的最值.

27

22

12.已知双曲线「：三—马=1与圆「2"2+丫2=4+/（匕＞0）交于点4（4,%）（第一象限），

4b

曲线「为口、「2上取满足》＞|4|的部分.

（1）若4=后，求6的值；

（2）当6=石，口与x轴交点记作点£、尸2，夕是曲线「上一点，且在第一象限，且

附|=8,求〃尸用