6 连接件的实用计算与圆轴扭转-第二节等 -

16连接件的实用计算与圆轴扭转工程力学2023/6/2126连接件的实用计算与圆轴扭转6.1剪切与挤压的实用计算6.2圆轴扭转的实例及计算模型6.3薄壁圆筒的扭转6.4圆轴扭转时的应力与变形6.5圆轴扭转时的强度、刚度条件6.6圆轴扭转时的应变能2023/6/213m受力特点：在垂直于杆件轴线的平面内承受外力偶（externalcouple）作用。m研究对象:以扭转为主要变形的杆件称为轴〔shaft〕。相对扭转角〔angleoftwist〕：任意两横截面间相对转过的角度。OBA变形特点：各横截面绕轴线发生相对转动。切应变（Shearingstrain）：纵向线倾斜的角度（直角的改变量）。一、扭转(torsion)的概念6.2圆轴扭转的实例和计算模型2023/6/214汽车转向轴二、扭转的实例2023/6/215汽车传动轴主传动轴2023/6/216行车行走机构中的传动轴2023/6/21：轴所传递的转速n〔r/min〕，功率PK(kW)求:

传递的外力偶矩Me(N.m)。6.2.1传动轴外力偶矩〔externallyappliedtorque〕的计算1分钟所做的功:W=PK

t=PK

60W=Me

α(功=外力偶矩.角位移)(功=功率时间)PK

60=Me

（2πn）=Me〔2πn〕当功率用马力表示时1hP(马力)=0.7355kW2023/6/217——扭矩〔Torque/Twistingmoment〕(1)截开〔cut〕：内力:力偶,称为扭矩MMABCMATT'(2)替代〔substitute〕：(3)平衡〔equilibrium〕：xMBC注:当轴上作用有两个以上的外力偶矩时，应分段计算轴的扭矩；扭转内力记为“T〞,按正向假设。2023/6/2189MT扭矩的符号规定：右手螺旋法那么〔Right-handcordscrewrule〕右手四指表示扭矩的转向,大拇指指向为截面的外法线方向时,该扭矩为正,反之为负。TM扭矩的量纲：N.m，kN.m2023/6/2110例：传动轴如以下图所示,转速n=300r/min,主动轮A输入功率PA=45kW,三个从动轮输出功率分别为PB=10kW,PC=15kW,PD=20kW。求传动轴各横截面的内力。解:〔1〕计算外力偶矩2023/6/2111112233T1〔2〕求截面扭矩：xBC段：CA段：T2xAD段：T32023/6/2112任一横截面上的扭矩等于保存段上所有外力偶矩的代数和，外力偶矩的正负号规定如下：注意:假设保存段为右段，那么根据右手螺旋法那么确定的大拇指指向向右的外力偶取为正值；假设保存段为左段，那么根据右手螺旋法那么确定的大拇指指向向左的外力偶取为正值。2023/6/2113：一传动轴，n=300r/min，主动轮A输入功率PA=500kW，从动轮B、C、D输出功率PB=PC=150kW，PD=200kW，试画轴各段的扭矩。BCADmB

mC

mA

mD解：①计算外力偶矩2023/6/2114mB

mC

mA

mDBCAD②求各段扭矩BC段：CA段：112233AD段：mA=15.92kN.mmB=mC=4.78kN.mmD=6.37kN.m2023/6/2115扭矩图Twistingmomentdiagram扭矩图——沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。T/kN·mxo(2)|T|max值及其截面位置强度计算（危险截面）。(1)扭矩变化规律2023/6/2116xT–4.786.379.56讨论：〔1〕由图知：〔2〕假设将主动轮A和从动轮D位置互换，合理否？BCADmB

mC

mA

mD注意:1)扭矩图画在载荷图的对应位置上2)标注数值大小、单位和正负号；3)阴影线垂直于横坐标,不是斜线4)封闭的实线图2023/6/2117

可见，合理安排主、从动轮的位置，可以使轴的最大扭矩值降低。BCADmB

mC

mA

mDBCDAmB

mC

mD

mA–xT4.78kN·m9.56kN·m6.37kN·mxT4.78kN·m–9.56kN·m15.92kN·m2023/6/21EDCBAm4

m3

m2m1112233解：：m1=30kN·m，m2=20kN·m，m3=15kN·m，m4=10kN·m，请作出该轴的扭矩图。AB段：BC段：CD段：DE段：1015305xT/kN·m2023/6/211819EDCBAm4

m3

m2m1(1)求约束反力(2)求各段扭矩并画扭矩图注意：假设保存左段为研究对象，那么要注意求约束反力！1015305xT/kN·mm1=30kN·m，m2=20kN·m

m3=15kN·m，m4=10kN·mEDCBAm4

m3

m2m1mE2023/6/2120EDCBAm4

m3

m2m1mE参考正向xT/kN·m155和第四章轴力图画法类似,也可用简捷法画扭矩图:从左端开始,标出参考正向1030-+15510+-T/kN·m302023/6/21试作如下图轴的扭矩图。DCBA参考正向xT/kN·m2023/6/2121EDCBAm3

m2m1解：3kN.m2kN.m5kN.mTx试作如下图轴的扭矩图,m1=3kN·m，m2=2kN·m，m3=7kN·m。2023/6/2122236.3薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒：壁厚（r0：为平均半径）一、实验：实验前：①绘纵向线，圆周线；②施加一对外力偶m。2023/6/2124实验后：矩形方格abcd纵向线(longitudeline)：相互平行，∥轴线圆周线(transverseline)：相互平行，⊥轴线①仍相互平行，⊥轴线,且其形状、大小、间距不变；②绕轴线发生相对转动,两端截面有相对扭转角。变成螺旋线且倾斜了相同的角度;实验前：小变形情况下,变成为菱形。横截面上没有正应力，但有切应力存在。切应力沿环向保持不变。2023/6/2125①无正应力②横截面上各点处，只产生垂直于半径的均匀分布的剪应力，沿周向大小不变，方向与该截面的扭矩方向一致。与的关系：薄壁圆筒横截面上：2023/6/2126二、薄壁圆筒剪应力大小：

A0：平均半径所作圆的面积。2023/6/2127acddxbdy´´tz剪应力互等定理〔剪应力双生定理〕:物体内任一点处两相互垂直的截面上,剪应力总是同时存在的,它们大小相等,方向是共同指向或背离两截面的交线。´´Adxdy纯剪切应力状态:微元各面只有剪应力作用的应力状态。三、剪应力互等定理〔theoremofconjugateshearingstress)：2023/6/212845°dx45°45°´´AdxdyX=dx+(45°·dx/cos45°)cos45°+(45°·dx/cos45°)sin45°=0取微元厚度为1，那么有：Y=dx-(45°·dx/cos45°)sin45°+(45°·dx/cos45°)cos45°=045°=-；45°=02023/6/2129剪切胡克定律：当剪应力不超过材料的剪切比例极限时〔τ≤τp)，剪应力与剪应变成正比关系。四、剪切胡克定律：2023/6/2130

式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪变模量(shearmodulus)，因无量纲，故G的量纲与相同，不同材料的G值可通过实验确定，钢材的G值约为80GPa。剪变模量、弹性模量和泊松比是说明材料弹性性质的三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在以下关系：

可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量就可以推算出来。2023/6/2131实验观测变形几何关系应变分布物理关系应力分布静力学关系横截面应力6.4.1圆轴扭转横截面上的应力应力分析过程图6.4圆轴扭转时的应力和变形

(Stressanddeformationoftorsionofcircularshaft)扭矩2023/6/2132矩形方格abcd实验前：(1)变形几何关系Geometricalrelationship纵向线(longitudeline)：相互平行，∥轴线实验后：圆周线(transverseline)：相互平行，⊥轴线①仍相互平行，⊥轴线,且其形状、大小、间距不变；②绕轴线发生相对转动,两端截面有相对扭转角。变成螺旋线且倾斜了相同的角度;小变形情况下,变成为菱形。2023/6/2133

设想圆轴由一系列刚性平截面(横截面)组成，在扭转过程中，相邻两刚性横截面只发生相对转动。

于是可作如下假设：

圆轴的横截面变形后仍保持为平面，其形状和大小不变，相邻两横截面间的距离不变。——圆轴扭转的刚性平面假设2023/6/2134依据实验现象以及上述刚性平面假设，进行实验分析：①圆周线的间距未改变②圆周线的形状、大小不变，绕轴线作了相对转动无纵向线应变横截面上有切应力且垂直于半径横截面无正应力切应变在垂直于半径的平面内③各纵向线均倾斜同一微小角度

扭转时圆轴横截面上无正应力，只有垂直于半径方向的切应力，且距离圆心相同距离的各点切应力大小相等。圆周上各点变形情况相同切应力沿环向保持不变。结论：2023/6/2135取长为dx的微段〔假定左端面固定〕研究，在扭矩作用下，右端面刚性转动角d。g是B处的直角改变量，即半径为r处〔即轴外表处〕的切应变。即：对于圆轴外表处：D′DBmmnnrOT2023/6/2136横截面上各点的切应变与该点到截面中心的距离成正比。：轴单位长度上的相对扭转角,同一截面上d/dx为常数。D′OGG′DBB′GG′mmnnrO对于半径为ρ处：即：结论:2023/6/2137在线性弹性范围内，剪切虎克定律为：G是剪切弹性模量（modulusofelasticityinshear）半径为r处的切应力则为：

材料的切应力与切应变之间有与拉压类似的关系。(2)物理关系Physicalrelationship—材料的应力-应变关系2023/6/2138讨论：圆轴扭转时横截面上的切应力分布同一横截面上df/dx为常数；G是材料常数,单位：Pa,MPa,GPa。trTotrrtmax最大切应力在圆轴外表处。截面上任一点的切应力与该点到轴心的距离r成正比；切应力与半径垂直，指向由截面扭矩方向确定。2023/6/2139令代入(3)力的平衡关系trTotrrtmaxdA2023/6/2140T—横截面上的扭矩(twistingmoment/internaltorqueatthecrosssection)

—该点到圆心的距离(radialdistancefromtheaxisoftheshaft)

Ip—截面对圆心的极惯性矩(polarmomentofinertiaofthecross-sectionalarea),只与截面几何相关。单位：mm4，m4。

〔1〕仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面直杆。讨论:〔2〕尽管由实心圆轴(solidcircularshaft)推出，但同样适用于空心圆轴(cored/hollowcircularshaft),只是Ip值不同。2023/6/2141(3)最大和最小切应力(maximumandminimumshearstress)

WT—抗扭截面系数〔抗扭截面模量〕sectionmodulusintorsion,单位：mm3或m3。最大切应力在圆轴外表处,且有ρ

=0时,τ=0;ρ=ρmax=r时,τ=τmax2023/6/2142Ttmax(4)应力分布StressdistributionSolidcircularshaftcored/hollowcircularshafttmaxT2023/6/21436.4.2CalculationofIpandWTForsolidcircularshaft(对于实心圆轴

)DdO2023/6/2144Forhollow/coredcircularshaft(对于空心圆轴)dDOd工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻，结构轻便，应用广泛。2023/6/2145知：长为

l一段杆两截面间相对扭转角为6.4.3圆轴扭转时的变形Deformationoftorsionofcircularshaft1〕应用于T、G、Ip相同的一段；2〕T代入代数值2023/6/2146单位扭转角：or

theangleoftwistperunitlengthGIp——torsionalstiffness截面的抗扭刚度，反映了截面抵抗扭转变形的能力Extensionalrigidity〔抗拉〔压〕刚度〕2023/6/2147讨论：2〕以下圆轴扭转的切应力分布图是否正确?1〕二轴长度及所受外力矩完全相同。假设二轴截面尺寸不同，其扭矩图相同否?假设二轴材料不同、截面尺寸相同，各段应力是否相同？变形是否相同？相同相同不同oToToTo

T2023/6/2148例.空心圆轴如图，MA=150N.m，MB=50N.mMC=100N.m，材料G=80GPa，试求〔1〕轴内的最大剪应力；〔2〕C截面相对A截面的扭转角。解:1)画扭矩图。2)计算各段应力:AB段：N-mm-Mpa单位制

f22

f18

f2410001000ABCMBMCMAT/kN·mxo1001502023/6/2149BC段：故tmax=86.7MPa

f22

f18

f2410001000ABCMBMCMA3)计算扭转角ACradGIlTGIlTBCBCBCABABABAC183.0=+=rrjT/kN·mxo1001502023/6/2150圆轴扭转时的破坏现象低碳钢试件：沿横截面断开。铸铁试件：沿与轴线约成45的螺旋线断开。因此还需要研究斜截面上的应力。§6.5圆轴扭转时的强度条件和刚度条件

Condition

ofstrengthandstiffnessinaCircularShaft2023/6/21511.点M的应力单元体如图(b)：(a)M(b)tt´tt´(c)2.斜截面上的应力；取别离体如图(d)：(d)t´ttasax2023/6/2152(d)t´ttasaxnt转角规定：x轴正向转至截面外法线逆时针：为“+〞顺时针：为“–〞由平衡方程：解得：2023/6/2153分析：当=0°时，当=45°时，当=–45°时，当=90°时，tt´smaxsmin

由此可见：圆轴扭转时，在横截面和纵截面上的剪应力为最大值；在方向角=45的斜截面上作用有最大压应力和最大拉应力。根据这一结论，就可解释前述的破坏现象。45°2023/6/2154here[]—allowableshearstress许用切应力6.5.2强度条件(Strengthcondition)(1)Checkstrength：(2)Designdimensionofsection：(3)Determinateallowableload：三大作用:2023/6/2155例:电动机转子轴,功率P=150kW,转速n=15.4r/s,[]=30MPa,请校核该轴的强度。

T1550N.mSolution:

(1)Determinetwistingmomentanddrawtwistingmomentdiagram

(2)CheckstrengthoftheshaftD3

=135D2=75D1=70ABCmmxSotheshaftissafeforstrength.2023/6/2156解:2.43kNm1.58kNm2023/6/2157or[]isnamedastheallowableangleoftwistperunitlength.刚度条件StiffnessConditioninaCircularShaft2023/6/2158(1)Checkstiffness：(2)Designdimensionofsection(3)Determinateallowableload：Function:2023/6/2159Example:长为L=2m的圆杆受均布力偶(uniformcouple)m=20Nm/m的作用，如图，假设杆的内外径之比(ratioofinnerdiametertoouterdiameter=0.8，G=80GPa,[]=30MPa，试设计杆的外径；假设[]=2º/m，试校核此杆的刚度，并求右端面转角φAB。解:

(1)设计杆的外径2023/6/216040NmxT代入数值得：D0.0226m。(2)由扭转刚度条件校核刚度2023/6/216140NmxT(3)右端面转角为：2023/6/2162某传动轴设计要求转速n=500r/min，输入功率P1=500马力，输出功率分别P2=200马力及P3=300马力，：G=80GPa，[]=70MPa，[]=1º/m，试确定：(1)AB段直径d1和BC段直径d2？(2)假设全轴选同一直径，应为多少？(3)主动轮与从动轮如何安排合理？解:

(1)图示状态下

500400P1P3P2ACB由强度条件：扭矩图如图Tx7.024kNm4.21kNm2023/6/2163由刚度条件500400P1P3P2ACB得：Tx7.024kNm4.21kNm2023/6/2164综上：(2)全轴选同一直径时