高中数学-【课堂实录】一元二次不等式及其解法教学设计学情分析教材分析课后反思

一元二次不等式解法（第二课时）教学设计【学习目标】1．知识与技能：理解一元二次不等式解法与二次函数的关系本质，继续探究一元二次不等式解法的步骤和过程。2．过程与方法：培养数形结合的能力，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；3．情感、态度与价值观：激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会从不同侧面观察同一事物思想

【教学目的】（1）、在第一节授课的基础上，开展探究性学习，探索不等式解集与方程的关系；探索解集为全体实数的有关不等式的特征和应用。（2）、教学的同时传授数形结合的数学思想，分类讨论的思想。（3）、教会学生建设知识架构体系，学会学习。【教学重点】（1）不等式的解集和二次方程的根的关系，学会逆向思维（2）探索解集为全体实数的不等式的特征，学习、思考、应用。【教学难点】（1）在基本原理学习的基础上，如何引导学生开展探索，这个课例，运用幻灯片、采用数形结合的手段，逐步引导学生深入探究，课堂探究过程很顺利，较好的完成了设计的教学任务。（2）分类讨论的思想的运用，采用相等是特殊，不等是一般这个原理，先讨论相等，再讨论不等，展开分类讨论。让学生参悟道理，领会精神。【教学方法】采用了复习准备；引导探索，演示，练习多种手法相结合的教学方法。【授课类型】新授课【学习过程】一、引入1.复习:一元二次不等式与相应的函数、相应的方程之间有什么关系？判别式二次函数的图象一元二次方程的根有两个相异实数根有两个相等实数根没有实数根一元二次不等式的解集（设计意图：这里我将运用多媒体图标的形式来展现出其解法思路，学生有一个完整的逻辑思维，让学生在探究中建立知识间的联系，体会数形结合，强调突出本节的难点．）2．归纳解一元二次不等式的步骤：（1）二次项系数化为正数；（2）解对应的一元二次方程；（3）根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；（4）写出不等式的解集．二、新课学习例1某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离sm和汽车的速度km/h有如下的关系：在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于，那么这辆汽车刹车前的速度是多少？（精确到km/【审题要津】从实际问题出发，构造数学模型，抽象出一元二次不等式模型.解：设这辆汽车刹车前的速度至少为xkm/h，根据题意，我们得到移项整理得：.显然，方程有两个实数根，即.所以不等式的解集为.在这个实际问题中，，所以这辆汽车刹车前的车速至少为km/h.【方法总结】解不等式应用题，一般可按如下四个步骤进行：⑴阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系；⑵引进数学符号，用不等式表示不等关系；⑶解不等式；⑷回扣实际问题.对点训练1：一个汽车制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量（辆）与创造的价值（元）之间有如下的关系：若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收元以上，那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？【审题要津】解一元二次不等式应用题的关键是设未知数，根据题目中的不等关系列出一元二次不等式，解不等式即可.解：设在一个星期内大约应该生产x辆摩托车，根据题意，我们得到移项整理，得因为，所以方程有两个实数根由二次函数的图象，得不等式的解为：因为只能取正整数，所以，当这条摩托车整车装配流水线在一周内生产的摩托车数量在辆之间时，这家工厂能够获得元以上的收益.例2已知二次不等式的解集为，求的值一元二次不等式的解集为，所以且方程的根为，。根据根与系数的关系，有，，解得小结：二次不等式给出解集，既可以确定对应的二次函数图象开口方向（即a的符号），又可以确定对应的二次方程的两个根，由此可根据根与系数关系建立系数字母关系式，或通过代入法求解不等式.对点训练2：已知方程的两根为（1）求的值（2）解不等式解：（1）∵方程的两根为有根与系数的关系，得解得（2）由（1）知不等式可变为，即解得∴不等式的解集为（设计意图：先让学生来解答例题，若教师巡视、指导，讲评学生完成情况，寻找学生中的闪光点，给予热情表扬．）例3、已知不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1＜0的解集为R，求实数a的取值范围．解：若a2－1＝0，即a＝1或a＝－1.当a＝－1时，原不等式解集为{x|x＜eq\f(1,2)}，不满足题意；当a＝1时，原不等式解集为R，满足题意．若a2－1≠0，即a≠±1时，要使原不等式的解集为R，必须eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－1<0,Δ<0))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－1<0,(a－1)2－4(a2－1)(－1)<0))－eq\f(3,5)＜a＜1.∴实数a的取值范围是(－eq\f(3,5)，1)∪{1}＝(－eq\f(3,5)，1]．变式：不等式(a2－1)x2－(a－1)x+1>0的解集为R解：若a2－1＝0，即a＝1或a＝－1.当a＝－1时，原不等式解集为{x|x>-eq\f(1,2)}，不满足题意；当a＝1时，原不等式解集为R，满足题意．若a2－1≠0，即a≠±1时，要使原不等式的解集为R，必须综上：，，小结：a的不同实数取值对不等式的次数有影响，当不等式为一元二次不等式时，a的取值还会影响二次函数图象的开口方向，以及和x轴的位置关系.因此求解中，必须对实数a的取值分类讨论.设计意图：通过练习，反馈教学情况，内化学生所学知识。同时这几道练习题由浅入深，并能结合函数定义域和对数函数等内容，可以有效帮助学生实现知识间的融会贯通。师生活动：学生上台演板，教师巡视课堂，给予个别指导。演板结束后，针对学生暴露出的问题，如解题不规范、运算错误等做详细点评。对点训练3：设函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，求m的取值范围．[思路探索]解答本题的关键是根据题目条件，构造恰当的函数，将不等式问题转化为函数问题来处理．要使恒成立若，不等式-1<0恒成立.若≠0∴综上：≤0三：eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(课堂小结))1．由学生回顾上节课的探究过程，再次领悟通过二次函数图象解一元二次不等式的方法要领．点拨学生注意不要死记书上的解集表，要抓住对应的二次方程的“根”来活记活用，要重视数形结合思想．解一元二次不等式就是借助于二次函数的图象，抓住抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)与x轴的交点，从而确定不等式的解集．同时运用二次函数图象的直观性帮助记忆．2．教师进一步强调，一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的联系，通常称为“三个二次问题”．我们要深刻理解、牢牢掌握，并灵活地应用它，它是函数与方程思想的应用范例．四：课堂反馈：已知关于x的不等式ax2＋(a－1)x＋a－1＜0的解集为R，求a的取值范围．活动：原不等式的解集为R，即对一切实数x不等式都成立，首先考虑二次项系数a的值是否为0；其次二次项系数不为0，必然有y＝ax2＋(a－1)x＋a－1的图象开口向下，且与x轴无交点，反映在数量关系上则有a＜0且Δ＜0.解：ａ＝0时，不等式化为-x-1<0,即x>-1,不满足题意。ａ0时由题意，知要使原不等式的解集为R，必须eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ<0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0,(a－1)2－4a(a－1)<0))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0,3a2－2a－1>0))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0,a>1或a<－\f(1,3)))a＜－eq\f(1,3).∴a的取值范围是(－∞，－eq\f(1,3))．（设计意图：为了巩固和加深一元二次不等式的解法，让学生学以致用，接下来及时组织学生进行课堂练习．然后就学生在解题中出现的问题共同纠正．）五：布置作业第一：习题A组5题6题；第二：预习课本3-3从心理特征来说，这一阶段的学生逻辑思维从经验型逐渐像理论型发展，观察能力、记忆能力和想象能力也随着迅速的发展。一方面运用直观生动的形象，引发学生的兴趣，一方面，要创造条件和机会，使他们的注意力始终集中在课堂上。

从学生的知识技能基础来看，在之前学习过变量、函数等概念，对二次次函数、二次方程也有所理解。在这些基础上，对于学习二次不等式都是很好的铺垫性知识。

从学生活动经验基础来看，在相关的知识学习的过程中，学生已经具有解决一些实际问题的能力，感受到了二次不等式求解过程。获得了探究新的知识的基础；同时，在以前的学习中学生经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作交流能力。本节内容对学生来说不算太陌生，涉及的概念也不算多，所表现的数学基本思想也不复杂．但是，一元二次不等式解法作为高中数学最重要的内容之一，也是中学数学的一个基础和工具．由于一元二次不等式解法与二次函数联系紧密，而二次函数又是学生在初中数学学习中的一个薄弱环节，因此很多学生对此学习表现出困惑．要使学生通过学习本节内容后，达到《新课标》所规定的要求却并非易事．因此在教学中要根据学生的实际情况，通过大量的实例，引导学生抽象概括，逐步理解掌握有关概念及思想方法，不可期待一蹴而就．要通过解题，逐步理解掌握有关方法与思想的内涵，避免陷入烦琐的计算与人为技巧之中，要重视引导学生经历探索、解决问题的过程．教师要充分阅读《新课标》，深刻理解本节的编写意图．本课题从实际情景中抽象出一元二次不等式模型，巩固一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，利用三个二次的关系解决恒成立问题，培养数形结合的能力，培养抽象概括能力和逻辑思维能力。本课题的教学重点是不等式的解集和二次方程的根的关系，学会逆向思维，探索解集为全体实数的不等式的特征，学习、思考、应用，本课题的难点在基本原理学习的基础上，如何引导学生开展探索，这个课例，运用幻灯片、采用数形结合的手段，逐步引导学生深入探究，课堂探究过程很顺利，较好的完成了设计的教学任务。分类讨论的思想的运用，采用相等是特殊，不等是一般这个原理，先讨论相等，再讨论不等，展开分类讨论。让学生参悟道理，领会精神。一、“教”的效果分析：1、在本课题的教学中，紧密联系生活实际，本课时设计注重以学生为主体，改变学生学习方式，提高学习质量．为了发挥教学过程的整体教育功能，保持教学系统的最大活力，在教学中综合运用多种教学方法，形成良好的整体结构，发挥教学的最大效益．2、本课时设计根据近几年高考特点适当对例题、习题做了一些拓展，目的是让学生进一步理解一些数学方法和数学思想，拓宽学生的数学视野．但严格控制了题目难度及题目数量，以大多数学生的接受水平作为参考依据．否则，在我们的教学中就有可能“穿新鞋走老路”，随意提高教学要求，对教学效果产生负面影响．3、本课时设计没有单纯从教学内容出发而进行设计，而是注重了对深层次的教学目的的考虑．这正是值得我们深思的问题，否则，我们的教学将只停留在知识内容或方法上，而忽视能力和素质要求，缺乏深层次的思考．二、“学”的效果分析：1、学生通过本节课的学习，认识到了三个二次的关系，知道了数学在实际生活中的价值。2、学生思维不灵活对于解题的思路步骤，需要教师进行点拔以后才能有所领悟。3、学生像当初学习平面几何时识图一样，去认识函数的图象，从图象上真正把握其内在本质．学生明确了画二次函数图象只要关键点把握准即可，利用它来解不等式，并不是要它本身，因而也没有必要精益求精地把图象画得十分精确．总之，本课时设计体现新课标理念．由于本节内容的工具性特点，课堂上要鼓励学生思考交流与动手实践，让学生养成独立思考和勇于质疑的习惯．同时也应学会与他人交流合作、培养严谨的科学态度和不怕困难的顽强精神．1、本节课是数学《一元二次不等式》。从内容上看它是我们初中学过的一元一次不等式的延伸，同时它也与一元二次方程、二次函数之间联系紧密，涉及的知识面较多。从思想层面看，本节课突出本现了数形结合思想。同时一元二次不等式是解决函数定义域、值域等问题的重要工具，因此本节课在整个中学数学中具有较重要的地位和作用。2、本节分为三个课时．第一课时，理解一元二次不等式及其解法中的一些基本概念，求解一元二次不等式的步骤，求解一元二次不等式的程序框图．根据这些图表，得出一元二次不等式解法与二次函数的关系两者之间的区别与联系．第二课时通过例题的讲解和学生的练习，更深入揭示一元二次不等式解法与二次函数的关系，继续探究一元二次不等式解法的步骤和过程，利用三个二次的关系解决恒成立问题．第三课时通过进一步探究一元二次不等式的解法、一元二次不等式解集与一元二次方程根的关系，研究含有参数的一元二次不等式的解法．通过例题的探究和变式训练，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力．一级指标二级指标序号二级指标分值教学内容1教学目标明确，观点正确，紧扣主题，重点、难点突出102学识水平高，教学信息量饱满，注意介绍本学科前沿和发展动态83讲授过程熟练，条理清晰，论证严密，语言生动清晰，理论联系实际9教学方法4采取有效方法，启发学生积极思考，105因材施教，教学手段先进，教学方法灵活96注重师生互动9教学效果7重视学生能力培养、调动学生学习的自主性108培养学生正确的人生观与世界观8教学态度9备课充分，责任心强，遵守教学纪律1010为人师表，教书育人，爱岗敬业，尊重学生10总评成绩93对任课教师的总体评价1、这是一节非常好的示范课：重点突出，教学内容完成得较好，能达到教学目标及要求；2、学案设计容量大，习题设置有梯度，层次明显，使学生有兴趣，积极参与。3、习题的设计注重学生能力的培养，注重分类讨论、数形结合等数学思想的渗透。4、教学策略好。精简多练，体现了以学生为主体，教师为主导的教育理念。教师在学生训练的过程中及时发现问题，适时点拨；采取分层递进的教学方式，教学效率大幅度提高。说明：1、在相应栏目内填入你认为教师应该得的分数。2、评价等级：90～100分为优秀；80～89分为良好；70～79分为中等；60～69分为合格；60分以下为不合格。1、已知不等式的解集为，则不等式的解集为.2、用一根长为的绳子围成一个面积大于的矩形吗？当长、宽分别为多少米时，所围成的矩形的面积最大？3、已知恒成立，求的范围.4、已知不等式的解集为，求的解集.5、已知关于的不等式的解集为，其中，求不等式的解集6、为何值时，不等式对任意实数恒成立。1、2、解：设矩形一边为，则另一边的长为，由题意，得即，解得，所以，当矩形的一边的长在的范围内取值时，能围成一个面积大于的矩形.用表示矩形的面积，则所以当时，取最大值，此时，即长、宽都是时，所围成的矩形的面积最大.3、解：①当时，显然成立.②即解得，由①②知：.4、解：由题意可知解得:,所以一元二次不等式可化为：即，所以原不等式的解集为：.5、解：由已知条件可知，且所以不等式可转化为：又，所以原不等式等价于，即又因为，所以原不等式的解集为：.6、解：，（1）当时，对任意实数都成立，所以，；（2）当，根据不等式的解集为全体实数，所以，综合（1），（2）得：。教学就是教与学，两者是相互联系，不可分割的，有教者就必然有学者。学生是被教的主体。因此，了解和分析学生情况，有针对性地教对教数学学习的情况，我作了以下反思。在教学的设计中要充分为学而教，以学生如何有效获取知识，提高能力的标准来设计教学，在教学中，备课是一个必不可少，十分重要的环节，备学生，又要备教法。根据我们学生的实际情况，和备课组其他老师商量后决定通过实际情境中抽象出一元二次不等式模型，所以，我首先来一个复习：通过表格回顾三个二次之间的关系，引导学生思考解决二次不等式解法的步骤。但是对步骤的引入过快，给学生思考的时间太少，应该让学生通过探究讨论总结步骤，这样效果会更好些。其次在新课讲解中教学内容安排要合理。每一节的教学内容要适合学生的实际情况，不能太多，也不能太少了。今